Πρόβλημα 2. Δίνεται ένα τρίγωνο $ABC$ με $AC>AB$, ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\Omega$ και το έγκεντρο του $I$. Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές του $BC,CA,AB$ στα σημεία $D,E,F$, αντίστοιχα. Έστω $X$ και $Y$ δύο σημεία στα μικρά τόξα $\wideparen{DF}$ και $\widep...

Το αντίστοιχο του θεωρήματος του Clairaut της επιπεδομετρίας. Θεωρούμε το τετράεδρο $SABC$ και επί των εδρών του $SBC, SCA, SAB$ και προς τα έξω κατασκευάζουμε τρία πρίσματα. Αν $O$ είναι η τομή των πάνω βάσεων των πρισμάτων αυτών, κατασκευάζουμε επί της τέταρτης έδρας $ABC$ πρίσμα που η παράπλευρη ...

Πρόταση 1. Σε ορθοκεντρικό τετράεδρο τα σημεία $O, G, H$ ( το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, το σημείο τομής των διαμέσων του και το σημείο τομής των υψών του αντίστοιχα) βρίσκονται στην ίδια ευθεία (ευθεία Euler ορθοκεντρικού τετράεδρου) και $G$ είναι το μέσο του $OH$. Ας μου επιτραπεί να κατ...

Ορισμός: Θεωρούμε τετράεδρο $ABCD.$ Αν μία τρίεδρη γωνία του, π.χ η τρίεδρη γωνία με κορυφή $A,$ είναι τρισορθογώνια, τότε το $ABCD$ ονομάζεται τρισορθογώνιο τετράεδρο κατά την κορυφή $A.$ Δίνεται τρισορθογώνιο τετράεδρο $ABCD$ κατά την κορυφή $A.$ Μία μεταβλητή σφαίρα $(S)$ διέρχεται από τα σημεία...

Θα ήθελα να μου επιτρέψετε να σας ενημερώσω για ένα μη καλό φραστικό στην Άσκηση 3 σελίδα 34, του περιοδικού Ευκλείδης Β΄ 2024 τεύχος 131 (σε δικό μου άρθρο), που δεν πρόλαβα για τεχνικούς λόγους να το αντικαταστήσω από το πλέον ακριβές φραστικό και που θα αναφερθεί και στο επόμενο τεύχος. Συγκεκριμ...

Αν είναι αυτή η ασκησούλα για Αρχιμήδη Μεγάλων, απλά λυπάμαι. Δεν καταλαβαίνω αυτό το υποτιμητικό και ειρωνικό " ασκησούλα ". O Αχιλλέας είναι ο πλέον αρμόδιος να κρίνει το επίπεδο δυσκολίας των ασκήσεων στα διαγωνιστικά μαθηματικά. Αφού λοιπόν ο Αχιλλέας κρίνει ότι αυτή η άσκηση είναι για Αρχιμήδη...

Αποδείξτε ότι για κάθε τετράεδρο , τα τρία γινόμενα των ζευγών των απέναντι εδρών είναι μήκη πλευρών τριγώνου. Μετά από την εκπληκτική λύση του Αλέξανδρου ας δούμε και την άποψη (με το χειροποίητο ως συνήθως σχήμα): Στο σχήμα που ακολουθεί το τρίγωνο $MDC$ είναι ίσο με το τρίγωνο $ACD$ ως εικόνα τη...

Δίνεται παραλληλόγραμμο $ABCD$ και σημείο $E$ στην προέκταση της πλευράς $AB$ προς το $B$ τέτοιο ώστε $BE=BC$. Έστω $X$ το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος $AE$ με την ευθεία που διέρχεται από το $A$ και είναι κάθετη στην ευθεία $CE$. Να δείξετε ότι τα σημεία $A$, $B$, $D$, και $X$ είναι ο...

Καλημέρα σας. Βέβαια δεν είναι η πρώτη φορά που "ανοίγει" μια συζήτηση για την παρουσία/λειτουργία (παρελθούσα, τωρινή και μελλοντική) του mathematica.gr. Με αφορμή αυτήν την συζήτηση επιτρέψτε μου να αναφερθώ σε κάποια θέματα τα οποία θεωρώ σημαντικά. Ως διαχειριστής και ενεργό μέλος του mathemati...

Καλημέρα σας. Βέβαια δεν είναι η πρώτη φορά που "ανοίγει" μια συζήτηση για την παρουσία/λειτουργία (παρελθούσα, τωρινή και μελλοντική) του mathematica.gr. Με αφορμή αυτήν την συζήτηση επιτρέψτε μου να αναφερθώ σε κάποια θέματα τα οποία θεωρώ σημαντικά. Ως διαχειριστής και ενεργό μέλος του mathemati...

Επιτρέψτε μου (Εν όψη του επερχόμενου προκριματικού σε δύο εβδομάδες) να προτείνω ένα πρόβλημα που έχει τεθεί σε επίσημο διαγωνισμό (Θα σας πληροφορήσω μετά από ενασχολήσεις με το πρόβλημα αυτό σε ποιόν, αν και οι παροικούντες γνωρίζουν ...) και που μου άρεσε πολύ. Είναι παραλλαγή γνωστού προβλήματ...

Καλημέρα καλημέρα. Αφού ευχαριστήσω τον Sot.Τ και σίγουρα τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για την αδιαμφισβήτητη και σε εμάς εδώ μαθηματική προσφορά του, να πληροφορήσω απλά ότι το πρόβλημα αυτό το είχα προτείνει και λύσει στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, το 1970 αν θυμάμαι καλά, ως Μαθητής του Πρακτικού ...

Από την ανισότητα $4\sqrt{ac}\leq 2\left | b \right |$ έχουμε ότι η διακρίνουσα είναι μη αρνητική. Άρα η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. Επιπλέον $3\left | a \right |+\left | c \right |-\left | \left | a \right |-\left | c \right | \right |\leq 2(\left | a \right |+\left | c \right |)$ Άρα $\left |...

Θεωρούμε την εξίσωση $a{x^2} + bx + c = 0,\;a,b,c \in {\Cal R}.$ Δίνεται επιπλέον ότι $ac > 0$ και $4\sqrt {ac} \leqslant 2\left| b \right| < 3\left| a \right| + \left| c \right| - \left| {\left| a \right| - \left| c \right|} \right|.$ Να αποδείξετε ότι εξίσωση αυτή έχει πραγματικές ρίζες με απόλυτη...

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: $\displaystyle{7^{3^{29}} - 8}$ διαιρείται με το $\displaystyle{5}$ Καλημέρα Δημήτρη. Μία τελείως απλή στοιχειώδης άποψη στηριζόμενη στο διώνυμο του Newton: ${7^{{3^{29}}}} - 8 = {7^{{3^{29}}}} - {2^{{3^{29}}}} + {2^{{3^{29}}}} - {2^3} = 5v + {2^3}\left( {{2^{{3^{29}} -...

Οι θετικοί αριθμοί $a,b,c,d$ δεν υπερβαίνουν την μονάδα. Να αποδείξετε την ανισότητα $\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2} \geq \dfrac{1}{4} +(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)$. Προσωπικά την είχα σκεφτεί ως εξής: Καταρχάς παρατηρούμε $x \in \left( {0,1} \right] \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right) \in \left[ {0,1} \ri...

LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 10 Μαρτίου 2024 $\bullet $ 11η τάξη, 1η μέρα Πρόβλημα 2. Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ φέρουμε το ύψος $AH$. Τα σημεία $M$ και $N$ είναι τα μέσα των τμημάτων $BH$ και $CH$. Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των καθέτων από τα σημεία $M$ και $N$ με τις ευθείες $AB...

LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 10 Μαρτίου 2024 $\bullet $ 11η τάξη, 1η μέρα Πρόβλημα 5. Στο τετράεδρο $ABCD$ οι ασύμβατες ακμές ανά δυο είναι ίσες. Από το μέσο του τμήματος $AH_{A}$, όπου $H_{A}$ το σημείο τομής των υψών της έδρας $BCD$, φέρουμε την ευθεία $h_{A}$ κάθετη προς το επίπεδο $BCD$....

Σημείο $S$ κινείται στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας $r$ . Σχεδιάζω το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $SAT$ . Δείξτε ότι η $TS$ διέρχεται από το $B$ και υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : $ST\cdot SB$ Αν $Q$ το συμμετρικό του $S$ ως προς το κέντρο $O$ και αναφέρομαι στον κύκλ...