Σωτήρη έπιασες την "ραχοκοκαλιά" της άσκησης , αλλά ας μην υποτιμούμε και τις "σάρκες " . Υποθέτω ότι θα επανέλθεις με τα "υπολογιστικά ": Μου αρέσουν δύο πράγματα στην σοβαρή ενασχόληση με το art of problems solving κατά την καθ' ύλην διδασκαλία μου στα παιδιά που αποτελούν τη ραχοκοκαλιά των διαγ...

Τμήμα $ST=4$ , ολισθαίνει στην υποτείνουσα $AB$ ορθογωνίου τριγώνου $OAB$ , με κάθετες πλευρές : $OA=8 , OB=6$ . Έστω : $\theta=\widehat{SOT}$ . α) Όταν η γωνία $\theta$ γίνει ελάχιστη , βρείτε την εφαπτομένη της . β) Όταν η γωνία $\theta$ γίνει $45^{\circ}$ , βρείτε την θέση του $S$ . γ) Όταν η γω...

Απλά επανέρχομαι για να δώσω και την κατασκευή στο σχήμα που παραθέτω, με βάση την ανάλυση που ήδη έκανα. Μιχάλη ίσως δεν έγινε κατανοητό το γενικό ερώτημα : Έχουμε ένα τρίγωνο $ABC$ και μια ευθεία $\varepsilon$ . Να αχθεί τμήμα : $ST \parallel \varepsilon$ , τέτοιο ώστε : $AS=TC$ . Η προσπάθεια επί...

Μιχάλη ίσως δεν έγινε κατανοητό το γενικό ερώτημα : Έχουμε ένα τρίγωνο $ABC$ και μια ευθεία $\varepsilon$ . Να αχθεί τμήμα : $ST \parallel \varepsilon$ , τέτοιο ώστε : $AS=TC$ . Η προσπάθεια επίλυσης με χρήση συντεταγμένων δεν αντέχεται . Μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί στο παράδειγμα . Ούτως ή άλλως...

Για το πρόβλημα 2. Απλά για την ιστορία: Θέτουμε: $2{x^2} + 1 = 2a > 0,\;2{y^2} + 1 = 2b > 0,\;2{y^2} + 1 = 2b > 0.$ Οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι: $\displaystyle{\frac{{a - b}}{a} + \frac{{b - c}}{b} + \frac{{c - a}}{c} \leqslant 0 \Leftrightarrow 3 \leqslant \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c...

Το οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ και το $AD$ , ένα από τα ύψη του .Τα σημεία : $M , N , K , L $ είναι τα μέσα των τμημάτων : $AB , AC , MN , OD$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $KL \parallel AD$ . Προς μεγαλύτερους : Υπάρχει περίπτωση να υπολογισθεί το τμήμα $KL$ , συναρτήσει τ...

ΠΟΛΛΑ ΚΑΙ ΕΙΛΙΚΡΙΝΗ ΣΥΓΧΑΡΗΤΉΡΙΑ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΑΥΤΟΥΣ ΠΟΥ ΔΙΑΒΑΙΝΟΥΝ ΑΥΤΌ ΤΟ ΚΟΡΥΦΑΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΟΔΟΙΠΟΡΙΚΟ ΤΗΣ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ ΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΗΧΗΡΟ ΜΗΝΥΜΑ ΣΤΗ ΠΡΟΚΛΗΣΗ ΤΗΣ ΕΠΟΧΗΣ. ΚΑΛΗ ΣΥΝΕΧΙΑ ΣΤΟΥΣ ΕΠΙΤΥΓΧΟΝΤΕΣ. ΌΛΑ ΤΑ ΕΥΣΗΜΑ ΣΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΥΣ ΚΑΘΥΛΗΝ ΑΡΜΟΔΙΟΥΣ ΠΟΥ ΧΩΡΙΣ ΚΑΜΜΙΑ ΜΑ ΚΑ...

Δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC (A=90^o)}$ με σταθερή την κορυφή $\displaystyle{A=(0,2)}$ και μεταβλητές τις άλλες κορυφές $\displaystyle{B,C}$ και με $\displaystyle{B=(t,0), \ \ -15\leq t\leq 17 }$. Ακόμα είναι: $\displaystyle{(AB)(AC)=16}$. Να βρεθεί η παραμετρική εξίσωση του γεω...

Απόλυτα Γεωμετρική κατασκευή και μόνο για την other opinium:

Από το θεώρημα του Maclaurin η ελάχιστη απόσταση είναι η

Στο ημικύκλιο διαμέτρου $AB=2r$ , εγγράψτε τρίγωνο $MSB$ , με : $MS=MB=2x , SB=3x$ και υπολογίστε το : $\sin\theta$ . Για να «γεμίσουμε» τη χειμωνιάτικη βραδιά ας δώσουμε και την δική μας κατασκευαστική εκδοχή. Επί της διαμέτρου $AB$ και από το $A$ ως το $B$ θεωρούμε $AC=CD=DE.$ Οι κύκλοι $(A, AD),...

Επειδή τα πάντα είναι θετικά υπάρχει και η άποψη να συγκρίνω τα τετράγωνά τους. Άρα παίρνουμε: $y > x > 0 \Rightarrow {y^2}\left( {1 + {x^2}} \right) > {x^2}\left( {1 + {y^2}} \right) \Rightarrow $ $2y\sqrt {1 + {x^2}} > 2x\sqrt {1 + {y^2}} \Rightarrow {\left( {y + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)^2} > {...

Έστω $\left( \Pi \right)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος , τριγώνου $\vartriangle ABC$ και $\left( E \right)$ ο εγγεγραμμένος του κύκλος , κέντρου $I.$ Έστω , $D$ το σημείο επαφής του $\left( E \right)$ με την πλευρά $BC$ Ας είναι $S$ ο νότιος πόλος του $\vartriangle ABC.$ Αν η $SD$ τέμνει ακόμα τον κύκλ...

Το ορθογώνιο $DEZH$ είναι ισεμβαδικό του $ABCD$ . Εξηγήστε γιατί η πλευρά του $ZH$ διέρχεται από την κορυφή $C$ . Μετά από τις πανέμορφες λύσεις των άριστων Μιχάλη και Νίκο, στους οποίους στέλνω τα Χρόνια Πολλά, ας δούμε και την άποψη που ακολουθεί και μόνο για λόγους πλουραλισμού. Θεωρούμε το παρα...

Δίνονται τα σημεία $A(0,3)$ και $B(16,5)$ . Να βρεθούν σημεία $S$ ( πόσα ; ) του οριζόντιου άξονα , τέτοια ώστε : $SA+SB=18$ . β) Τώρα τα $A , B$ είναι απλά δύο σημεία στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία . Έχοντας και την δυνατότητα χρήσης λογισμικού (π.χ. Geogebra ) , διατυπώστε και λύστε το αν...

Τα σημεία $S , T$ της πλευράς $AC$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ είναι τέτοια , ώστε τα τμήματα $BS , BT$ να τριχοτομούν την γωνία $\hat{B}$ . Αν είναι : $TC=2AS$ , μπορούμε άραγε να υπολογίσουμε την γωνία $\hat{B}$ ; Για τα χρόνια πολλά μία προσπάθεια; Αν $F$ είναι το συμμετρικό του $S$ ως προς $B...

Καλημέρα-καλημέρα. Οι κύκλοι $(O,4)$ και $(K,3)$ έχουν κοινή χορδή την : $AB=5$ . Θεωρούμε σημείο $S$ στην προέκταση της $BA$ , ώστε : $AS=4$ . Να αχθεί τέμνουσα $STP$ του μικρού κύκλου , τέτοια ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου $TP$ να εφάπτεται του μεγάλου κύκλου . Σε γενίκευση και χωρίς αριθμητικές «δε...

Πρόβλημα 3, Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ. Αν έχω πέσει στην ίδια λύση με κάποιον και δεν το έχω πάρει χαμπάρι, το αφήνω για τον κόπο. Σε γενικές γραμμές έχουμε: Έστω λοιπόν ότι υπάρχουν $x,y$ διάφορα του μηδέν τέτοια που ... Mε Euler υπό συνθήκη καταλήγουμε $\displaystyle{\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} = {a^3...

Για το 3ο της Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια διαπραγμάτευση χωρίς κύκλους. Από την ομοιότητα των ορθογώνιων τριγώνων $\displaystyle{\vartriangle \Delta {\rm B}{\rm \Delta_1},\;\vartriangle \Gamma {\rm A}{\rm Z}}$ παίρνουμε: $\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm B}}}{{{\rm B}{\Delta _1}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\...