Καλημέρα. Καταρχάς επιτρέψτε μου να επισημάνω ότι μου άρεσαν πολύ οι λύσεις που παρέθεσε ο Δημήτρης. Επιτρέψτε μου στην συνέχεια, με την υποχρέωση που έχω ως επί σειρά ετών μέλος της επιτροπής διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε. αλλά και θεματοδότης της ότι τα θέματα αυτά είναι πολύ δύσκολα, για να ανταποκριθού...

Μία λιτή αλλά μάλλον ακριβής άποψη στο όμορφο αυτό θέμα που κατασκεύασε ο Θανάσης. Το σημείο είναι συμμετρικό του

ως προς το σημείο

Πρόβλημα 3 Έστω $ABCD$ ένα παραλληλόγραμμο με $\angle DAB < 90^\circ$ και $AB < AD$. Έστω $H$ το ορθόκεντρο του τριγώνου $\triangle BCD$ και $H'$ η αντανάκλαση του $H$ ως προς τη γραμμή $BD$. Η ευθεία $AH$ τέμνει τις ευθείες $BD$, $CD$ και $BC$ στα σημεία $E, F$ και $G$ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι οι...

Έστω η τομή των μεσοκαθέτων του και () και έστω
οπότε τελικά παίρνουμε

Απλά να αναφέρουμε ότι το θεωρητικό υπόβαθρο της άσκησης είναι η ευθεία Simson του σημείου , που δίνει άμεσα την απάντηση.
Θεωρώ ότι θα είχε ενδιαφέρον η γενίκευση που αντί για ορθή γωνία να δινόταν μία άλλη γωνία.

Είναι όντως Σοκ. Μας την κοπάνησε ο Σταύρος. Φίλος που μιλάγαμε, όποτε συναντιόμασταν, για ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ και την ΛΟΓΙΚΗ ΤΟΥΣ και μίλαγε πάντα όπως οι κορυφαίοι άνθρωποι της λογοτεχνίας και της τέχνης για ωραία ποιήματα ή διηγήματα και μίλαγε με το πάθος του ανθρώπου που απορρέει από την κορυφαία Μαθημα...

Σπύρο Πολλά και Ειλικρινή συγχαρητήρια για την προσφορά σου αυτή στην Μαθηματική κοινότητα. Οι Μαθηματικές σου παρεμβάσεις αποτελούν επιστημονικές απαντήσεις στην πρόκληση της εποχής. Και αυτά τα λέω όχι τόσο επειδή με τιμάς με την φιλία σου αλλά επειδή λέω μετά λόγου γνώσης ότι γνωρίζεις πολλά καν...

Μία ερώτηση τελείως διαδικαστικού χαρακτήρα και επειδή στο mathematica έχουν υψηλή μαθηματική παρουσία Άριστοι συνάδελφοι που είναι κορυφαία μέλη της επιτροπής διαγωνισμών: Απλά και επειδή με ρωτούν συνάδελφοι, θα ανακοινωθούν οι βαθμολογίες των αναπληρωματικών που διαγωνίστηκαν και αυτοί εδώ στα γ...

Μία ερώτηση τελείως διαδικαστικού χαρακτήρα και επειδή στο mathematica έχουν υψηλή μαθηματική παρουσία Άριστοι συνάδελφοι που είναι κορυφαία μέλη της επιτροπής διαγωνισμών: Απλά και επειδή με ρωτούν συνάδελφοι, θα ανακοινωθούν οι βαθμολογίες των αναπληρωματικών που διαγωνίστηκαν και αυτοί εδώ στα γρ...

Πολλά - πολλά συγχαρητήρια καταρχήν σε όλους τους Διαγωνιζόμενους (Έλληνες και αδελφούς Κυπρίους). Εύχομαι από καρδιάς στους τροπαιούχους Καλή συνέχεια με Υγεία και Καλή Τύχη στο πανέμορφο Μαθηματικό οδοιπορικό του μέγιστου εκείνου επίπεδου των Μαθηματικών Διαγωνισμών. Επιτρέψτε μου να συγχαρώ τους...

Από σταθερό σημείο 34.pngΣτην "άνω" ημιευθεία με εξίσωση : $y=-\dfrac{4}{3}x$ , κινείται σημείο $A$ , ώστε : $OA=a$ . Στον ημιάξονα $Ox$ , θεωρούμε σημείο $B$ , ώστε : $OB=\dfrac{2a}{2+a}$ . Δείξτε ότι η ημιευθεία $AB$ διέρχεται από σταθερό σημείο . Γεια και χαρά στους φίλους Νίκο και Γιώργο. Εύκολ...

Σε σημείο $T$ της ακτίνας $OA$ ενός τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , υψώνουμε το κατακόρυφο τμήμα $TS$ του οποίου το μέσο ονομάζουμε $M$ . Να βρείτε - με χρήση κατάλληλου τριγωνομετρικού αριθμού - το μέγιστο της γωνίας : $\widehat{SOM}=\theta$ . Στο σχήμα που ακολουθεί προσδιορίζω, για να ε...

Σε σημείο $T$ της ακτίνας $OA$ ενός τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , υψώνουμε το κατακόρυφο τμήμα $TS$ του οποίου το μέσο ονομάζουμε $M$ . Να βρείτε - με χρήση κατάλληλου τριγωνομετρικού αριθμού - το μέγιστο της γωνίας : $\widehat{SOM}=\theta$ . Εγώ πάλι (στο σχήμα που ακολουθεί) προσδιορίζ...

Εκτός λοιπόν των άλλων μπορούμε να εξετάσουμε έξι περιπτώσεις και χωρίς την χρήση της έννοιας modyllo, που μας οδηγούν στο πολυπόθητο άτοπο. κ. Λουρίδα, η περίπτωση $x\equiv 0 (mod 7)$ και $y\equiv 2(mod 7)$ δεν δίνει άτοπο. Πράγματι έγινε λάθος Σιλουανέ, συγνώμη. Απλά ήθελα να "προσανατολίσω" για ...

Απόρριψη δημοσίευσης

Στο τρίγωνο $ABC$ του σχήματος, είναι $BD$ το ύψος και $M$ το μέσο της πλευράς $BC.$ Μπορείτε να κατασκευάσετε το τρίγωνο αν γνωρίζετε ότι $AD=p, DC=q$ και $A\widehat BD=D\widehat MC;$ Ας δούμε και τη κατασκευή που ακολουθεί: Θα εργαστούμε πάνω στα σημεία $A, D, C, T.$ Με διάμετρο το $DC (DC<DT)$ κ...

:logo: Γράφουμε όλους τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Έχουμε: $2025^x = 5^y + 2000^z \Longleftrightarrow 3^{4x}\cdot 5^{2x}=5^y+2^{4z}\cdot5^{3z}$ Η μεγαλύτερη δύναμη του 5 που διαιρεί το $LHS$ είναι το $5^{2x} $. Επομένως έχουμε δύο περιπτώσεις: 1η περίπτωση: $5^{2x}=5^{y}\Leftrightar...

Στο εσωτερικό ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC\,\,\,\left( {A = 90^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = AC} \right)$ υπάρχει σημείο $S$,τέτοιο ώστε : $SC = 1\,\,,\,\,SA = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,SB = 3.$ Να κατασκευαστεί γεωμετρικά το τρίγωνο αυτό. Καλημέρα. Για να βά...

Καλημέρα. Για να βάλουμε για λίγο και την φαντασία μας σε δουλειά. Σε τυχόν ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ${A_1}{B_1}{C_1}\;\left( {{A_1}{B_1} = {A_1}{C_1}} \right)$ προσδιορίζεται στο εσωτερικό του σημείο $S_1$ ως τομή δύο Απολλώνιων κύκλων, ο πρώτος με βάση την πλευρά $A_1 C_1$ και λόγο $2$ και ...