Η αναζήτηση βρήκε 556 εγγραφές

από Γ.-Σ. Σμυρλής
Τρί Δεκ 10, 2019 11:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γενίκευση τοῦ Θεμελιώδους Θεωρήματος τοῦ Ἀπειροστικοῦ
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 355

Γενίκευση τοῦ Θεμελιώδους Θεωρήματος τοῦ Ἀπειροστικοῦ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω f:\mathbb R\to\mathbb R διαφορίσιμη. Ἂν ἡ f' εἶναι τοπικῶς ὁλοκληρώσιμη Lebesgue, τὸτε διὰ κάθε
a,b\in\mathbb R ἰσχύει ὅτι


\displaystyle{ 
\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a). 
}
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Τρί Δεκ 10, 2019 11:52 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κάθε 8-αδα μεταξὺ τῶν 1,2,...,30 περιέχει δύο 4-δες μὲ τὸ ἴδιο ἄθροισμα.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 207

Κάθε 8-αδα μεταξὺ τῶν 1,2,...,30 περιέχει δύο 4-δες μὲ τὸ ἴδιο ἄθροισμα.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ὁποιαδήποτε ὀκτάδα ἀκεραίων στὸ $\{1,2,\ldots,30\}$ περιέχει δύο διαφορετικὲς τετράδες μὲ τὸ ἴδιο ἄθροισμα. ΣΧΟΛΙΑ. (i) Τὸ πρόβλημα τὸ βρῆκα σὲ δύο ἰστοσελίδες καὶ λογικὰ ἔχει σχετικῶς ἁπλὴ λύση, ποὺ δὲν ἔχω κατορθώσει νὰ βρῶ. (ii) Ἔτρεξα πρόγραμμα FORTRAN καὶ πράγματι ἰσχύει τὸ ἀνωτέρω. ...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Τρί Δεκ 10, 2019 11:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 307

Re: Τρεις συγκλίνουσες ακολουθίες

Ἡ ἀναδρομικὴ σχέση δίδεται ἀπὸ τὴν σχέση $v_{n+1}=Av_n$, ὅπου $\{v_n\}$ ἡ ἀκολουθία διανυσμάτων $v_n=(a_n,b_n,c_n)$ καὶ $\displaystyle{ A= \left(\begin{array}{ccc} 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 \end{array}\right) }$ Χαρακτηριστι...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Σάβ Νοέμ 23, 2019 12:21 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση ακολουθίας
Απαντήσεις: 23
Προβολές: 2082

Re: Σύγκλιση ακολουθίας

Δέκα χρόνια μετὰ τὴν ὑποβολή: Σύμφωνα μὲ τὴν εργασία: Salikhov, V. Kh., On the Irrationality Measure of π, Usp. Mat. Nauk 63, 163-164, 2008. English transl. [Russ. Math. Surv 63, 570-572, 2008.] Τὸ μέτρον ἀρρητότητος (measure of irrationality) τοῦ π είναι μικρότερον τοῦ 7.6063. Αὐτὸ ἔχει ὡς συνέπεια...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Κυρ Νοέμ 17, 2019 6:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Τὸ πρόβλημα τῶν 3 ὑπηρεσιῶν μὲ Μιγαδικὴ Ἀνάλυση
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 162

Τὸ πρόβλημα τῶν 3 ὑπηρεσιῶν μὲ Μιγαδικὴ Ἀνάλυση

Σὲ λίστα (μάλλον δύσκολων) προβλημάτων Μιγαδικῆς Ἀναλύσεως (νομίζω τοῦ Μιχ. Παπαδημητράκη) βρῆκα τὸ ἀκόλουθο πρόβλημα: Ἔστω ἕξι διαφορετικὰ σημεῖα $z_1$, $z_2$, $z_3$, $w_1$, $w_2$, $w_3$. Εἶναι δυνατὸν νὰ ἑνώσουμε κάθε $z_k$ μὲ κάθε $w_j$ μὲ ἁπλὲς καμπύλες $\gamma_{k,j}$ τῶν ὁποίων οἱ τροχιὲς εἶναι...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Δευ Οκτ 28, 2019 8:41 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Ύπαρξη συνάρτησης
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 724

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Ἰσχύουν τὰ ἀκόλουθα: 1. Ἂν $g: \mathbb R\to\mathbb R$ συνεχῶς διαφορίσιμη, τότε τὸ ΠΑΤ $\displaystyle{ \qquad x'=g(x), \quad x(0)=a, }$ ἔχει λύση σὲ κάποιο ἀνοικτὸ διάστημα ποὺ περιέχει τὸ 0, καὶ ἀπολαμβάνει καθολικῆς μοναδικότητος. Δηλαδή, δύο ὁποιεσδήποτε λύσεις του ταυτίζονται στὸ κοινὸ πεδίο ὁρι...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Παρ Σεπ 13, 2019 1:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύνολο τιμών πολυμεταβλητής συνάρτησης
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 373

Re: Σύνολο τιμών πολυμεταβλητής συνάρτησης

Ἀφοῦ ἡ $f$ εἶναι συνεχῶς διαφορίσιμη καὶ ἔχει ἀντιστρέψιμο διαφορικό, τότε εἶναι ἀνοικτὴ ἀπεικόνιση (Inverse Function Theorem). Ἄρα $f[\mathbb R^n]$ ἀνοικτό. Ἔστω $\mathbb R^n\setminus f[\mathbb R^n]\ne\varnothing$ καὶ $y_0\in \partial f[\mathbb R^n]\ne\varnothing$. Προφανῶς $y_0\not \in f[\mathbb R...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Κυρ Αύγ 11, 2019 12:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σημειακὴ σύγκλιση συνεχῶν συναρτήσεων
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 250

Σημειακὴ σύγκλιση συνεχῶν συναρτήσεων

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f_n: [a,b]\to\mathbb R$, $n\in\mathbb N$, ἀκολουθία συνεχῶν συναρτήσεων, ἡ ὁποία συγκλίνει κατὰ σημεῖον στὸ 0. Δηλαδή, $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$, διὰ κάθε $x\in [a,b]$. Δείξατε ὅτι διὰ κάθε $\varepsilon>0$, ὑπάρχει $[c,d]\subset[a,b]$, ὅπου $c<d$ καὶ $N\in\mathbb N$, ὥστε $|f_n(x...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Δευ Ιούλ 29, 2019 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γιὰ ποιὰ p ἡ σειρὰ συγκλίνει
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 355

Γιὰ ποιὰ p ἡ σειρὰ συγκλίνει

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω ὅτι ἡ σειρὰ \sum a_n ἀποκλίνει, ὅπου a_n>0, διὰ κάθε n\in\mathbb N. Γιὰ ποιὲς τιμὲς τοῦ p>0 συγκλίνει ἡ σειρά:

\displaystyle{ 
\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{(a_1+\cdots+a_n)^p}; 
}
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Δευ Ιούλ 29, 2019 10:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Χαρακτηρισμός συνάρτησης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 249

Re: Χαρακτηρισμός συνάρτησης

Ἂν f μία τέτοια, τότε ἡ g(z)=f(z)-z μηδενίζεται στούς ἀκεραίους καὶ ἄρα ἡ

\displaystyle{ 
h(z)=\frac{f(z)-z}{\sin (\pi z)}, 
}

εἶναι μία τυχοῦσα ἀκεραία συνάρτηση. Καὶ ἀντιστρόφως.

῎Ητοι,

\displaystyle{ 
f(z)=\sin (\pi z)h(z)+z 
}

ὅπου h τυχοῦσα ἀκεραία ἀναλυτική.
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Τρί Ιούλ 16, 2019 12:07 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Είναι σταθερή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 938

Re: Είναι σταθερή

Παραθέτω ἄλλη ἀπόδειξη, τροποποιημένη, διορθωμένη καὶ ἁπλουστευμένη ἐκδοχὴ τῆς προηγουμένης , ἡ ὁποία ὅμως ἀποτελεῖ ἀπόδειξη τοῦ κάτωθι γενικότερου προβλήματος: Ἄν $f'(x)\ge 0$, διὰ κάθε $x\in [a,b]\setminus A$, ὅπου $A$ ἀριθμήσιμο σύνολο, τότε $f$ αὔξουσα. [Δὲν διαγράφω τὴν προηγούμενή μου ἀπόδειξη...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Σάβ Ιούλ 06, 2019 11:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Είναι σταθερή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 938

Re: Είναι σταθερή

Ἔστω τυχὸν $\varepsilon>0$. Θὰ δείξομε ὅτι $\displaystyle{ \max_{x\in[0,1]}f(x)-\min_{x\in[0,1]}f(x)<2\varepsilon, }$ καὶ κατὰ συνέπειαν $f$ σταθερά. Ἀπαριθμοῦμε κατ᾽ ἀρχὰς τὸ $A$ ὡς $A=\{a_n\}_{n\in\mathbb N}$ καὶ ἐπιλέγομε διαστήματα $\displaystyle{ I_n=(a_n-\delta_n,a_n+\delta_n), \,\, \delta_n>0...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Τρί Οκτ 02, 2018 12:20 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μη μηδενική ακολουθία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 465

Re: Μη μηδενική ακολουθία

Ἔστω $\{a_n\}$ μία τέτοια ἀκολουθία. Παρατηροῦμε ὅτι τόσο ἡ ἀκολουθία ὅσο καὶ ὅλες οἱ ἀκολουθίες $SA, SSA, \ldots$, ποὺ προκύπτουν μέσω ἐπαναλαμβανομένων μερικῶν ἀθροισμάτων, συγκλίνουν στὸ μηδέν. Θέτομε $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$. Ἀφοῦ ἡ $\{a_n\}$ συγκλίνει στὸ μηδέν, τότε ἡ $f$ εἶναι ἀναλυτικ...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Δευ Οκτ 01, 2018 3:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύνολο Cantor
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 951

Re: Σύνολο Cantor

Τὸ μέτρο τοῦ συνόλου Cantor εἶναι ΜΗΔΕΝ. Αὐτὸ φαίνεται ἀπὸ τὸ ἑξῆς: $C\subset C_n$ καὶ $\mu(C_n)=(2/3)^n$. Ἄρα $\displaystyle{ \mu(C)\le \frac{2^n}{3^n}, }$ διὰ κάθε $n\in\mathbb N$, καὶ ἄρα $\mu(C)=0$. Εἶναι ἰσοπληθικὸ μὲ τὸ $\mathbb R$, καθὼς περιέχει ὅλους τοὺς ἀριθμοὺς στὸ $[0,1]$, οἱ ὁποῖοι στὸ...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Δευ Οκτ 01, 2018 12:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ανισότητα τύπου Hardy
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 558

Re: Ανισότητα τύπου Hardy

Μάλλον Poincaré type. Ὑποδείξεις. Κατ᾽ ἀρχάς, ἡ συνθήκη $\displaystyle{ \overline{(x,y): f(x,y)\ne 0} \subset \mathbb R^2\setminus A, }$ ἔχει ὡς συνέπεια ὅτι ἡ $f$ μηδενίζεται σὲ κάποια περιοχὴ τῆς ἡμιευθείας $\{(x,ax): x>0\}$. Χωρὶς βλάβη ὑποθέτομε ὅτι $a=0$. Ὁπότε $\displaystyle{ f(r\cos\vartheta,...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Δευ Οκτ 01, 2018 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Φράγμα Ολοκληρώματος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 489

Re: Φράγμα Ολοκληρώματος

Σχεδιάγραμμα τῆς Ἀποδείξεως. A. Γιὰ $a=0$, ἡ συνάρτηση $f(x)=\int_0^x\frac{\sin t\,dt}{t}$ εἶναι αὔξουσα στὰ διαστήματα $[2k\pi, (2k+1)\pi]$ καὶ φθίνουσα στὰ $[(2k+1)\pi, 2(k+1)\pi]$, καὶ εὐκόλως διαπιστοῦται ὅτι λαμβάνει ἀπόλυτο μέγιστο γιὰ $x=\pi$, καὶ $f(\pi)<3$. Β. Γιὰ $0<a\le k\pi \le \ell\pi \...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Δευ Ιουν 25, 2018 2:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 512

Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω x θετικὸς πραγματικός, ὥστε γιὰ κάποιο n\in\mathbb N, οἱ ἀριθμοὶ
\displaystyle{ 
x^n+\frac{1}{x^n}, \quad x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}, 
}
νὰ εἶναι ρητοί. Δείξατε ὅτι \displaystyle x+\frac{1}{x}\in\mathbb Q.
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Πέμ Ιουν 07, 2018 8:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ὅριο ἀκολουθίας
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 825

Re: Ὅριο ἀκολουθίας

Παρεμπιπτόντως, τὸ ὅτι $\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^\infty \mathrm{e}^{-k} }$ δύναται νὰ ἀποδειχθεῖ καὶ διὰ τοῦ Lebesgue Dominated Convergence Theorem (ἢ τὸ Monotone Convergence Theorem), ἂν θέσομε $\displaystyle{ f_n(k)=\left\{\begin{arra...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Πέμ Ιουν 07, 2018 8:23 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Απόλυτη σύγκλιση σειράς
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 323

Re: Απόλυτη σύγκλιση σειράς

Συνεπείᾳ τῆς ὑποθέσεως, ὑπάρχει $n_0\in\mathbb N$ καὶ $B>0$, ὥστε $A<-B<-1$ καὶ $\displaystyle{ \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\le 1-\frac{B}{n}, }$ διὰ κάθε $n\ge n_0$. Ἄρα $\displaystyle{ |u_n|\le |u_0|\left(\frac{n_0}{n}\right)^B, }$ διότι, $\displaystyle{ \left(\frac{n-1}{n}\right)^B=\left(1-\f...
από Γ.-Σ. Σμυρλής
Πέμ Ιουν 07, 2018 6:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 397

Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω f:[0,1]\to[0,1] συνεχής. Ὁρίζομε τὴν ἀναδρομικὴ ἀκολουθία x_{n+1}=f(x_n), ὅπου x_0\in [0,1], αὐθαιρέτως ἐπιλεγέν. Ἂν x_{n+1}-x_n\to 0, τότε δείξατε ὅτι ἡ \{x_n\} συγκλίνει.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση