ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω διαφορίσιμη. Ἂν ἡ εἶναι τοπικῶς ὁλοκληρώσιμη Lebesgue, τὸτε διὰ κάθε
ἰσχύει ὅτι

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ὁποιαδήποτε ὀκτάδα ἀκεραίων στὸ $\{1,2,\ldots,30\}$ περιέχει δύο διαφορετικὲς τετράδες μὲ τὸ ἴδιο ἄθροισμα. ΣΧΟΛΙΑ. (i) Τὸ πρόβλημα τὸ βρῆκα σὲ δύο ἰστοσελίδες καὶ λογικὰ ἔχει σχετικῶς ἁπλὴ λύση, ποὺ δὲν ἔχω κατορθώσει νὰ βρῶ. (ii) Ἔτρεξα πρόγραμμα FORTRAN καὶ πράγματι ἰσχύει τὸ ἀνωτέρω. ...

Ἡ ἀναδρομικὴ σχέση δίδεται ἀπὸ τὴν σχέση $v_{n+1}=Av_n$, ὅπου $\{v_n\}$ ἡ ἀκολουθία διανυσμάτων $v_n=(a_n,b_n,c_n)$ καὶ $\displaystyle{ A= \left(\begin{array}{ccc} 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 \end{array}\right) }$ Χαρακτηριστι...

Δέκα χρόνια μετὰ τὴν ὑποβολή: Σύμφωνα μὲ τὴν εργασία: Salikhov, V. Kh., On the Irrationality Measure of π, Usp. Mat. Nauk 63, 163-164, 2008. English transl. [Russ. Math. Surv 63, 570-572, 2008.] Τὸ μέτρον ἀρρητότητος (measure of irrationality) τοῦ π είναι μικρότερον τοῦ 7.6063. Αὐτὸ ἔχει ὡς συνέπεια...

Σὲ λίστα (μάλλον δύσκολων) προβλημάτων Μιγαδικῆς Ἀναλύσεως (νομίζω τοῦ Μιχ. Παπαδημητράκη) βρῆκα τὸ ἀκόλουθο πρόβλημα: Ἔστω ἕξι διαφορετικὰ σημεῖα $z_1$, $z_2$, $z_3$, $w_1$, $w_2$, $w_3$. Εἶναι δυνατὸν νὰ ἑνώσουμε κάθε $z_k$ μὲ κάθε $w_j$ μὲ ἁπλὲς καμπύλες $\gamma_{k,j}$ τῶν ὁποίων οἱ τροχιὲς εἶναι...

Ἰσχύουν τὰ ἀκόλουθα: 1. Ἂν $g: \mathbb R\to\mathbb R$ συνεχῶς διαφορίσιμη, τότε τὸ ΠΑΤ $\displaystyle{ \qquad x'=g(x), \quad x(0)=a, }$ ἔχει λύση σὲ κάποιο ἀνοικτὸ διάστημα ποὺ περιέχει τὸ 0, καὶ ἀπολαμβάνει καθολικῆς μοναδικότητος. Δηλαδή, δύο ὁποιεσδήποτε λύσεις του ταυτίζονται στὸ κοινὸ πεδίο ὁρι...

Ἀφοῦ ἡ $f$ εἶναι συνεχῶς διαφορίσιμη καὶ ἔχει ἀντιστρέψιμο διαφορικό, τότε εἶναι ἀνοικτὴ ἀπεικόνιση (Inverse Function Theorem). Ἄρα $f[\mathbb R^n]$ ἀνοικτό. Ἔστω $\mathbb R^n\setminus f[\mathbb R^n]\ne\varnothing$ καὶ $y_0\in \partial f[\mathbb R^n]\ne\varnothing$. Προφανῶς $y_0\not \in f[\mathbb R...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f_n: [a,b]\to\mathbb R$, $n\in\mathbb N$, ἀκολουθία συνεχῶν συναρτήσεων, ἡ ὁποία συγκλίνει κατὰ σημεῖον στὸ 0. Δηλαδή, $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$, διὰ κάθε $x\in [a,b]$. Δείξατε ὅτι διὰ κάθε $\varepsilon>0$, ὑπάρχει $[c,d]\subset[a,b]$, ὅπου $c<d$ καὶ $N\in\mathbb N$, ὥστε $|f_n(x...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω ὅτι ἡ σειρὰ ἀποκλίνει, ὅπου , διὰ κάθε . Γιὰ ποιὲς τιμὲς τοῦ συγκλίνει ἡ σειρά:

Ἂν μία τέτοια, τότε ἡ μηδενίζεται στούς ἀκεραίους καὶ ἄρα ἡ



εἶναι μία τυχοῦσα ἀκεραία συνάρτηση. Καὶ ἀντιστρόφως.

῎Ητοι,



ὅπου τυχοῦσα ἀκεραία ἀναλυτική.

Παραθέτω ἄλλη ἀπόδειξη, τροποποιημένη, διορθωμένη καὶ ἁπλουστευμένη ἐκδοχὴ τῆς προηγουμένης , ἡ ὁποία ὅμως ἀποτελεῖ ἀπόδειξη τοῦ κάτωθι γενικότερου προβλήματος: Ἄν $f'(x)\ge 0$, διὰ κάθε $x\in [a,b]\setminus A$, ὅπου $A$ ἀριθμήσιμο σύνολο, τότε $f$ αὔξουσα. [Δὲν διαγράφω τὴν προηγούμενή μου ἀπόδειξη...

Ἔστω τυχὸν $\varepsilon>0$. Θὰ δείξομε ὅτι $\displaystyle{ \max_{x\in[0,1]}f(x)-\min_{x\in[0,1]}f(x)<2\varepsilon, }$ καὶ κατὰ συνέπειαν $f$ σταθερά. Ἀπαριθμοῦμε κατ᾽ ἀρχὰς τὸ $A$ ὡς $A=\{a_n\}_{n\in\mathbb N}$ καὶ ἐπιλέγομε διαστήματα $\displaystyle{ I_n=(a_n-\delta_n,a_n+\delta_n), \,\, \delta_n>0...

Ἔστω $\{a_n\}$ μία τέτοια ἀκολουθία. Παρατηροῦμε ὅτι τόσο ἡ ἀκολουθία ὅσο καὶ ὅλες οἱ ἀκολουθίες $SA, SSA, \ldots$, ποὺ προκύπτουν μέσω ἐπαναλαμβανομένων μερικῶν ἀθροισμάτων, συγκλίνουν στὸ μηδέν. Θέτομε $f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$. Ἀφοῦ ἡ $\{a_n\}$ συγκλίνει στὸ μηδέν, τότε ἡ $f$ εἶναι ἀναλυτικ...

Τὸ μέτρο τοῦ συνόλου Cantor εἶναι ΜΗΔΕΝ. Αὐτὸ φαίνεται ἀπὸ τὸ ἑξῆς: $C\subset C_n$ καὶ $\mu(C_n)=(2/3)^n$. Ἄρα $\displaystyle{ \mu(C)\le \frac{2^n}{3^n}, }$ διὰ κάθε $n\in\mathbb N$, καὶ ἄρα $\mu(C)=0$. Εἶναι ἰσοπληθικὸ μὲ τὸ $\mathbb R$, καθὼς περιέχει ὅλους τοὺς ἀριθμοὺς στὸ $[0,1]$, οἱ ὁποῖοι στὸ...

Μάλλον Poincaré type. Ὑποδείξεις. Κατ᾽ ἀρχάς, ἡ συνθήκη $\displaystyle{ \overline{(x,y): f(x,y)\ne 0} \subset \mathbb R^2\setminus A, }$ ἔχει ὡς συνέπεια ὅτι ἡ $f$ μηδενίζεται σὲ κάποια περιοχὴ τῆς ἡμιευθείας $\{(x,ax): x>0\}$. Χωρὶς βλάβη ὑποθέτομε ὅτι $a=0$. Ὁπότε $\displaystyle{ f(r\cos\vartheta,...

Σχεδιάγραμμα τῆς Ἀποδείξεως. A. Γιὰ $a=0$, ἡ συνάρτηση $f(x)=\int_0^x\frac{\sin t\,dt}{t}$ εἶναι αὔξουσα στὰ διαστήματα $[2k\pi, (2k+1)\pi]$ καὶ φθίνουσα στὰ $[(2k+1)\pi, 2(k+1)\pi]$, καὶ εὐκόλως διαπιστοῦται ὅτι λαμβάνει ἀπόλυτο μέγιστο γιὰ $x=\pi$, καὶ $f(\pi)<3$. Β. Γιὰ $0<a\le k\pi \le \ell\pi \...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω θετικὸς πραγματικός, ὥστε γιὰ κάποιο , οἱ ἀριθμοὶ

νὰ εἶναι ρητοί. Δείξατε ὅτι .

Παρεμπιπτόντως, τὸ ὅτι $\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^\infty \mathrm{e}^{-k} }$ δύναται νὰ ἀποδειχθεῖ καὶ διὰ τοῦ Lebesgue Dominated Convergence Theorem (ἢ τὸ Monotone Convergence Theorem), ἂν θέσομε $\displaystyle{ f_n(k)=\left\{\begin{arra...

Συνεπείᾳ τῆς ὑποθέσεως, ὑπάρχει $n_0\in\mathbb N$ καὶ $B>0$, ὥστε $A<-B<-1$ καὶ $\displaystyle{ \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\le 1-\frac{B}{n}, }$ διὰ κάθε $n\ge n_0$. Ἄρα $\displaystyle{ |u_n|\le |u_0|\left(\frac{n_0}{n}\right)^B, }$ διότι, $\displaystyle{ \left(\frac{n-1}{n}\right)^B=\left(1-\f...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω συνεχής. Ὁρίζομε τὴν ἀναδρομικὴ ἀκολουθία , ὅπου , αὐθαιρέτως ἐπιλεγέν. Ἂν , τότε δείξατε ὅτι ἡ συγκλίνει.