Πρόβλημα. Ἔστω διαφορίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb R\to\mathbb R$, ὥστε $|f'(x)|=|f{(x)|,$ διὰ κάθε $x\in\mathbb R$. Τότε συμβαίνει ἀκριβῶς ἕνα ἀπὸ τὰ κάτωθι: $(i)$ Ἡ $f$ εἶναι ταυτοτικῶς μηδενική. $(ii)$ Ὑπάρχει $c\ne 0,$ ὥστε $f(x)=c e^x$, διὰ κάθε $x\in\mathbb R$. $(iii)$ Ὑπάρχει $c\ne 0,$ ὥστε $f(...

Γενικεύεται περαιτέρω:

Ἂν ἄπειρες φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση, ὥστε διὰ κάθε , ὑπάρχει , ὥστε
, τότε ἡ εἶναι πολυώνυμο.

Πρόβλημα. Ἔστω συνεχὴς, καὶ ἔστω



Δείξατε ὅτι ὑπάρχει καὶ αύξουσα ἀκολουθία ἀκεραίων , ὥστε .

Πρόβλημα. Ἔστω συνεχὴς καὶ . Ἂν



διὰ κάθε , δείξατε ὅτι .

Πρόβλημα. Ἔστω τρὶς παραγωγίσιμη. Ἄν διὰ κάθε , δείξατε ὅτι .

Μιχάλη, πράγματι ἡ συνεχὴς διαφορισιμότης τῆς ἐξασφαλίζει καθολικὴ μοναδικότητα, καὶ αὐτὸ εἶναι τὸ κλειδί!

Παραθέτω λύση μετὰ ἀπὸ σχεδὸν 8 χρόνια! Ἔστω ὅτι ἡ συνἀρτηση $f: J\to\mathbb R$ εἶναι συνεχής, ὅπου $J$ ἀνοικτὸ διάστημα, καὶ ἔστω $\varphi : I\to\mathbb R,$ λύση τῆς ἐξισώσεως $x'=f(x),$ ὅπου $I$ ἀνοικτὸ διάστημα. Νὰ ἀποδειχθεῖ ὅτι ἡ $\varphi$ εἶναι μονότονη. Ἀπόδειξη. Ἂν ἡ $\varphi$ δὲν εἶναι μονό...

[b]Πρόταση.[/b] Ἔστω συνεχῶς διαφορίσιμη, καὶ ὅπου ἀνοικτὸ διάστημα, λύση τῆς ἐξισώσεως . Τότε ἡ εἴτε εἶναι γνησίως μονότονη στὸ εἴτε σταθερή στὸ .

Δυστυχῶς ἡ διατύπωση τοῦ προβλήματος μου εἶχε μία παράλειψη, καὶ συγκεκριμένα ὅτι ἡ λύση $\color{red}\varphi:\mathbb R\to\mathbb R$ εἶναι ἐπί. Σὲ αὐτὴ τὴν περίπτωση, ὑπάρχει $\tau\in\mathbb R,$ ὥστε $\displaystyle{ \varphi(\tau)=\psi(0)=\xi. }$ Ἐπίσης, ἂν $\zeta(t)=\psi(t-\tau),$ τότε οἱ συναρτήσεις...

Ὑπόδειξη (γιὰ τὴν ἀπόδειξη ποὺ ἔχω ὑπόψη.)

Χρησιμοποιῆστε τὸ Cauchy Condensation Test https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_condensation_test δύο φορές, ὁπότε ἡ σειρὰ

συγκλίνει, ὅπου .

Πρόβλημα. Ἔστω ὅτι οἱ συναρτήσεις ἀποτελοῦν λύσεις τῆς διαφορικῆς ἐξισώσεως καὶ ἔστω ὅτι ἐνῶ Δεἰξατε ὅτι



διὰ κάθε .

Τροποποίηση τοῦ προηγούμενου θέματος, προσθέτοντας μία ἰδιότητα στὴν $f$ καὶ ἀφαιρῶντας μία ἄλλη: Πρόβλημα. Ἔστω ὅτι οἱ συναρτήσεις $\varphi,\psi : \mathbb R\to\mathbb R,$ ἀποτελοῦν λύσεις τῆς διαφορικῆς ἐξισώσεως $x'=f(x),$ ὅπου $f:\mathbb R\to\mathbb R,$ συνεχῶς διαφορίσιμη. Δείξατε ὅτι ὑπάρχει $\...

Χαιρετίσματα στην Κρήτη.

Πρόβλημα. Ἔστω ὅτι οἱ συναρτήσεις $\varphi,\psi : \mathbb R\to\mathbb R,$ ἀποτελοῦν λύσεις τῆς διαφορικῆς ἐξισώσεως $x'=f(x),$ ὅπου $f:\mathbb R\to\mathbb R,$ συνεχὴς καὶ $f(x)\ne 0,$ διὰ κάθε $x\in\mathbb R$. Δείξατε ὅτι ὑπάρχει $\tau\in\mathbb R,$ ὥστε $\displaystyle{ \psi(t)=\varphi(t-\tau), }$ ...

Ἀπόδειξη. Ἔστω $\gamma_r(t)=f(re^{it}),$ ὅπου $\,t\in [0,2\pi]$, καὶ $\,r\in (0,1]$. Καθὼς ἡ $f$ εἶναι ἐξ ὑποθέσεως ἕνα-πρὸς-ἕνα, ὅταν περιορισθεῖ στὸν μοναδιαῖο κύκλο, τότε ἡ $\gamma_1$ εἶναι ἁπλὴ κλειστὴ καμπύλη. Σύμφωνα μὲ τὸ Θεώρημα τῆς Καμπύλης Jordan , τὸ συμπλήρωμά τῆς $\gamma_1$ ἀποτελεῖται...

Ἡ ὑπόθεση ὅτι ἡ εἶναι φθίνουσα, ΔΕΝ συνεπάγεται ὅτι καὶ ἡ εἶναι ἐπίσης φθίνουσα!

Γενίκευση:

Πρόβλημα. Ἔστω $f:[0,1]\to\mathbb R^2$ συνεχὴς συνάρτηση, ὥστε $\displaystyle{ f(1)-f(0) = (1,0). }$ Δείξατε ὅτι διὰ κάθε $n\in\mathbb N,$ ὑπάρχουν $t_1,t_2\in [0,1]$, ὥστε $f(t_2)-f(t_1)=(1/n,0)$. Τὸ ἀνωτέρω ἔχει τὸ ἑξῆς πόρισμα: Πόρισμα. Ἔστω $\gamma : [0,1]\to\mathbb R^2$ κλειστὴ καμπύλη, $\gamm...

Ἡ σύγκλιση της σειρᾶς ἀποτελεῖ ὑποθεση!

Οἱ ὑποθέσεις φθίνουσα καὶ συγκλίνουσα , ἔχουν ὡς συνέπεια ὅτι .

Ἡ σίγουρα δὲν ἀποτελεῖ ἀντιπαράδειγμα!

Πρόβλημα. Ἔστω ὅτι ἡ ὅροι τῆς ἀκολουθίας εἶναι θετικοὶ, καὶ ἔστω ἐπίσης ὅτι ἡ ἀκολουθία εἶναι φθίνουσα. Ἂν ἡ σειρὰ συγκλίνει, τότε δείξατε ὅτι