Η αναζήτηση βρήκε 10357 εγγραφές

από Mihalis_Lambrou
Τρί Απρ 23, 2019 7:41 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 263

Re: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

Κλέβοντας ιδέες από τις δύο προηγούμενες λύσεις, ας δούμε και μία λύση ενδιάμεση των δύο. Ξανατονίζω, δεν λέω απολύτως τίποτα νέο: Είναι $(x+7)P(2x)=8xP(x+1)$ οπότε (όπως ο Αλέξανδρος) εξισώνοντας τους μεγιστοβάθμιους συντελεστές των δύο μελών βρίσκουμε ότι το $P$ είναι βαθμού $3$. Θέτοντας (όπως ο ...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Απρ 22, 2019 9:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 170

Re: Ολοκλήρωμα

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle\int \sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x}dx$ Αν γράψουμε $y= \sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x}$ τότε, λύνοντας ως προς $x$ θα βρούμε $x= \dfrac {1-y^4}{2y^2}$. Με άλλα λόγια η προς ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη της $f(x)= \dfrac {1-x^4}{2x^2}$. Τώρα, από τον τύπο (γνωστός και βγ...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Απρ 22, 2019 5:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Θέμα: ΠΕΖΟΣ ΕΛΚΩΝ ΒΑΡΚΑ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 140

Re: ΠΕΖΟΣ ΕΛΚΩΝ ΒΑΡΚΑ

To θέμα είναι πολύ γνωστό και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Καμπύλων. Δεν υπάρχει λόγος να το επαναλάβουμε εδώ.
Βλέπε π.χ. εδώ ή βάλτε στο Google την λέξη "έλκουσα" ή "tractrix".
από Mihalis_Lambrou
Δευ Απρ 22, 2019 10:18 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ίσες διαφορές.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 90

Re: Ίσες διαφορές.

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 10:22 pm

Στο παραπάνω σχήμα το O είναι κέντρο του κύκλου.

Δείξτε ότι MH-HN=LR-RJ.
Αν K το μέσον της MN τότε MH-HN= (MK+KH)-(KN-KH)=2KH= σταθερό (όσο η απόσταση του O από την AB).
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Απρ 21, 2019 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ύπαρξη σταθεράς
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 406

Re: Ύπαρξη σταθεράς

Υπάρχει και άλλη πιο μακροσκελή λύση αλλά και αυτή μας κάνει. Τόλη, κάτι έχεις παρανοήσει εδώ. Η λύση που γράφεις είναι ακριβώς η λύση του Σταύρου (μόνο που δεν έβαλε τις πράξεις) που με την σειρά της είναι η λύση που έγραψα με διόρθωση των εκθετών στα $x$ έξω από το ολοκλήρωμα (ώστε να βγει το σωσ...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Απρ 21, 2019 8:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ύπαρξη σταθεράς
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 406

Re: Ύπαρξη σταθεράς

Μιχάλη , κάτι πήγε λάθος αφού το ισοδύναμο είναι: $\displaystyle{2\xi \int_0^\xi x f(x) \, \mathrm{d}x = 3\xi^2 \int_{0}^{\xi} f(x) \, \mathrm{d}x \Leftrightarrow \int_{0}^{\xi}x f(x) \, \mathrm{d}x = \frac{3\xi}{2} \int_0^\xi f(x) \; \mathrm{d}x }$ ενώ ζητάω $\frac{2\xi}{3}$. Ναι, αβλεψία μου εκ π...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Απρ 21, 2019 1:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ύπαρξη σταθεράς
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 406

Re: Ύπαρξη σταθεράς

Έστω $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και $f(0)=0$. Αν είναι $\displaystyle{\int_0^1 f(x) \; \mathrm{d}x =\int_0^1 x f(x) \; \mathrm{d}x}$ τότε να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi \in (0, 1)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\int_0^\xi x f(x) \; \mathrm{d}x = \frac{2\xi}{3} \int_...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Απρ 21, 2019 12:53 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ἀνάγωγο πολυώνυμο
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 802

Re: Ἀνάγωγο πολυώνυμο

Γενίκευση τοῦ http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=37111 Γιά ποιούς θετικούς ἀκεραίους $n$ τό πολυώνυμο $X^8+nX^4+1$ δέν εἶναι ἀνάγωγο στό ${\mathbb Z}[X]$ ; Δεν ξέρω πόσο εύκολο είναι να περιγράψουμε τα ζητούμενα $n$. Για παράδειγμα η απάντηση περιλαμβάνει τα $n=2 \pm 8c^2+4c^4$ γ...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 9:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ύπαρξη μετρικής
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 290

Re: Ύπαρξη μετρικής

Υπάρχει μετρική, ισοδύναμη της συνήθους μετρικής $|\cdot|$ του $\mathbb{R}$, τέτοια ώστε το σύνολο $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$, εφοδιασμένο με αυτήν την μετρική, να είναι πλήρης χώρος; Ένα επιπλέον ερώτημα: Να εξετασθεί το ίδιο πρόβλημα ύπαρξης μετρικής η οποία είναι ισχυρά ισοδύναμη(*...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 7:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 366

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Prodigy, εύγε που ασχολήθηκες αλλά κάτι δεν καταλαβαίνω εδώ: i)$\frac{(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)}{4}\geq \frac{x^3-1}{x}\Leftrightarrow (x^3+1)^2 x\geq 4$ Μπορείς να εξηγήσεις; Επίσης δεν καταλαβαίνω τον συλλογισμό Άρα $x^4-1\geq 0\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x^2+1)\geq 0$ που αληθεύει αφού προφανώς η αρχι...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 7:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ημιτονικό ... όριο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 160

Re: Ημιτονικό ... όριο

Τι μπορείτε να πείτε για το όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n \sin n}}$ Θα δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει. Έστω ότι το όριο υπάρχει και έστω $L$ η τιμή του. Από την πυκνότητα της $\cos n$, υπάρχει υπακολουθία $n_k$ τέτοια ώστε $\cos n_k \to 1$. Είναι τότε $\displ...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 6:04 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Είναι μετρική;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 180

Re: Είναι μετρική;

Να εξεταστεί αν η $\rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right |$ όπου $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} \arctan x & , & x \in \mathbb{Q} \\ \arctan (x+1) & , & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{matrix}\right.}$ ορίζει στον $\mathbb{R}$ μετρική. Να γίνει το ίδιο για την $\rho(x, y) = \l...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 3:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 366

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Πρόβλημα 4[/color] Να βρεθούν $\displaystyle{10}$ διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, οι οποίοι να διαιρούν τον αριθμό $\displaystyle{A=11111^{60}-10009^{60}}$. Εύκολα βλέπουμε ότι το $a^{60}-b^{60} $ έχει παράγοντα το $a^6-b^6=(a^2-b^2)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$. Ο πρώτος παράγοντας δείχνει ότι ο $11111^2...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 20, 2019 12:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύνολο τιμών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 115

Re: Σύνολο τιμών

Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $k>2$ , βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{2x^2+4x+k}$ . Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους . Ας προσθέσω ότι η ωραία αυτή τεχνική με διακρίνουσα ήταν στάνταρ ύλη στα παλαιότερα σχολικά βιβλία. Π.χ. στο βιβλίο των Βα...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Απρ 14, 2019 10:31 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Γινόμενο παραγοντικών
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 266

Re: Γινόμενο παραγοντικών

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Κυρ Απρ 14, 2019 9:37 pm
Εύκολα βλέπει κανείς ότι k=5\left ( 1+2+...+20 \right )=5\cdot \dfrac{20\cdot 21}{2}=50\cdot 21=1050

Άρα λήγει σε 1050 μηδενικά.
Πρόδρομε, μάλλον έχει παραβλέψει ότι οι 25, \, 50, \,75,\,100 έχουν από δύο πεντάρια.

Και εγώ βγάζω 1124, όπως ο Ορέστης.
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 13, 2019 12:39 pm
Δ. Συζήτηση: Χρήσιμες Μαθηματικές Ιστοσελίδες
Θέμα: Celebratio Mathematica
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 307

Celebratio Mathematica

Ιστοσελίδα με ψηφιοποιημένο υλικό των (κυρίως ερευνητικών) εργασιών, φωτογραφικό υλικό και όχι μόνο, καμιά τριανταριά σύγχρονων Μαθηματικών. Βλέπε τo Celebratio Mathematica εδώ.
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Απρ 13, 2019 8:57 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κλασικό τετράγωνο
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 181

Re: Κλασικό τετράγωνο

Και αλλιώς: Με αρχή των αξόνων το A και πλευρά τετραγώνου a, έστω S(p,q). Είναι τότε p^2+q^2=SA^2=9 και όμοια (a-p)^2+q^2=SB^2=49, p^2+(a-q)^2=SD^2=25. Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε a = \sqrt {58}, \, p = \frac {9}{58} \sqrt {58}, \,  q = \frac {21}{58} \sqrt {58}.
από Mihalis_Lambrou
Παρ Απρ 12, 2019 11:07 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Σχέση εξυπνάδας - μαλλιών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 269

Re: Σχέση εξυπνάδας - μαλλιών

Τέτοιου είδους επισφαλή Στατιστικά επιχειρήματα είναι χαριτωμένα αλλά εσφαλμένα. Για να μην επαναλαμβάνω χιλιοειπωμένα παραπέμπω στο βιβλίο του Darrell Huff, How to lie with Statistics. Για παράδειγμα αν δεν ληφθεί υπόψη η κατανομή του χρώματος μαλλιών στην κοινωνία, δεν βγαίνει συμπέρασμα για το αν...
από Mihalis_Lambrou
Παρ Απρ 12, 2019 10:39 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γνωστό "σύστημα"
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 137

Re: Γνωστό "σύστημα"

Ένα μάλλον γνωστό θέμα : Αν : $x^3-3x^2+5x=1$ και $y^3-3y^2+5y=5$ , βρείτε το $x+y$. Υποθέτω ότι επιδέχεται διάφορες προσεγγίσεις ... Ναι, υπάρχουν πολλές λύσεις. Άλλη μία: Προσθέτουμε κατά μέλη. Με χρήση της ταυτότητας $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ εύκολα την παραγοντοποιούμε ως $(x+y-2)(x^2+y^2-xy-...
από Mihalis_Lambrou
Παρ Απρ 12, 2019 10:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γνωστό "σύστημα"
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 137

Re: Γνωστό "σύστημα"

Ένα μάλλον γνωστό θέμα : Αν : $x^3-3x^2+5x=1$ και $y^3-3y^2+5y=5$ , βρείτε το $x+y$. H καθεμία έχει μοναδική πραγματική ρίζα όπως φαίνεται από Rolle (για παράδειγμα η δεύτερη έχει παράγωγο $3y^2 -6y+5$ που δεν έχει ρίζες αφού έχει αρνητική διακρίνουσα). Θέτοντας $x=2-t$ στην πρώτη, δίνει μετά από τ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση