Μεσοκαθετότητα.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , το σημείο $N$ είναι το μέσο της διαμέσου $BM$ . Αν : $BM=5 $ , $ AC=6$ και : $AN \perp BC$ , υπολογίστε τo εμβαδόν του τριγώνου . μεσοκαθετότητα.png . Mε αρχή των αξόνων το $S$ είναι $A(0,2a), \, C(2c,0)$, οπότε $M(c,a)$. Αφού το $N$ είναι στον άξονα των $y$ κα...

Κατασκευή ισοσκελούς.pngΝα κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο $ABC , (AB=AC)$ , στο οποίο αν φέρουμε το ύψος $BD$ , την διχοτόμο $BE$ και την διάμεσο $BM$ , να είναι : $DE=EM$ . κατασκευή.png ' Έστω $BC=a, \, AB=AC=b$. Από τα όμοια τρίγωνα $ABK, BCD$ έχουμε $\dfrac {b}{a/2}= \dfrac {a}{CD}$. Άρα $CD= ...

Έστω $x,y$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $x+y=1$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} \ge 1. $ Για ποιες τιμές των $x$ και $y$ ισχύει η ισότητα; . Από Α.Μ.-Γ.Μ. είναι $2\sqrt {xy} \le x+y=1$, οπότε $\dfrac {1}{xy}\ge 4$. Άρα $ \dfrac{(3x-1)^2}{x}+\dfrac{(3y-1)^2...

Σχέση πλευρών από σχέση γωνιών.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ του παρατιθέμενου σχήματος , δείξτε ότι : $AB+AS=BC$ . shesi.png . Φέρνουμε την $AT$ ώστε να σχηματίζει γωνία $66^o$ με την βάση, οπότε το $AST$ είναι ισοσκελές. Εύκολα τώρα βλέπουμε τα μέτρα των γωνιών, όπως στο σχήμα. Ειδικά, αφού $18+48=66$ σημ...

Βρείτε τις ακέραιες λύσεις του συστήματος : $\left\{\begin{matrix} x+y+x^2y^2 &=41 \\ & \\ x^2+y^2+xy&=31 \\ \end{matrix}\right.$ . Aν $(a,b) $ λύση τότε λόγω συμμετρίας είναι και η $(b,a)$, οπότε μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε ότι $|y|\ge |x|$. H δεύτερη ως δευτεροβάθμια ως προς $x$ έχει διακρ...

αρψ2400 έγραψε: ↑

Τρί Απρ 14, 2026 9:49 am

Μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο απλά , (μη αυτοτεμνόμενα), τετράπλευρα έτσι ώστε...

.

Έγχορδη.pngΗ χορδή $CD$ είναι παράλληλη προς την διάμετρο $AB$ του ημικυκλίου . Θεωρούμε σημείο $S$ της $CD$ τέτοιο ώστε : $AS=CD$ και φέρουμε : $ST \perp AB$ . Για ποια θέση της $CD$ , είναι : $ST=TB$ ; έγχορ.png . Aν $a$ ή ακτίνα και $h$ το ύψος $h=OK=ST$ (ζητούμενο) έχουμε $CD=2KD=2\sqrt {a^2-h^...

Μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο τετράπλευρα έτσι ώστε: α)Κάθε τελίτσα να είναι στο εσωτερικό τουλάχιστον ενός από τα δύο . β)Κάθε τελίτσα να είναι απομονωμένη από τις άλλες ,δηλαδή να μην μπορούμε να συνδέσουμε οποιεσδήποτε δύο τελίτσες με μία συνεχόμενη γραμμή χωρίς αυτή να τέμνει κάποια πλευρά τετραπ...

Μέγιστη διαφορά.pngΣε κύκλο ακτίνας $r$ εγγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές ισούνται με $r$ . Υπολογίστε την μέγιστη ( θετική ) διαφορά μεταξύ των εμβαδών των τριγώνων $ADC$ και $ABC$ . Μεγ διαφ.png . Θέτουμε $AD=a, \, BC=b$ οπότε το κοινό ύψος των τριγώνων είναι $h= \...

Στον πλανήτη Μαθστάρ οι μαθητές μαθαίνουν την πράξη $\displaystyle{\bigstar}$ (αστέρι) ... (γ) Αν ισχύει $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{a=b}$. ... Η άσκηση είναι από διαγωνισμό δημοτικού. Έτσι όπως ήταν την ανέβασα , δηλαδή με το "ακέραιοι". . Φώτη, ...

(γ) Αν ισχύει $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{a=b}$. . Προσοχή, δεν ισχύει το παραπάνω στους ακεραίους στους οποίους, σύμφωνα με την εκφώνηση, ορίζεται η πράξη $ \bigstar$ Οπότε προσθέτω (δ) Δώστε παράδειγμα όπου δεν ισχύει το ζητούμενο. (ε) Δείξτε ότ...

Μία ακόμη λύση που δεν ξέρω αν μετράει: $\displaystyle{1=1!}$, δηλαδή παίρνω ένα από τα δύο σπίρτα που βρίσκονται στο δεξί μέλος, το στρίβω ανάποδα, και το τοποθετώ δεξιά από το $\displaystyle{1}$. Με ξενίζει ότι ένα σπίρτο ανάποδα σημαίνει $\bold {!}$. To σπίρτο ένα ένα κομμάτι, ενώ το παραγοντικό...

Κάντε την εξίσωση να ισχύει μετακινώντας μόνο ένα σπίρτο. :idea: . Δεν ξέρω αν η ακόλουθη λύση μετράει ${\bold {1=1^1}}$ (μετακίνηση του τελευταίου $1$ ώστε να γίνει εκθέτης). Αν μετράει, τότε είναι μάλλον ατυχής ο γρίφος αφού θε έπρεπε ο εκθέτης να ήταν λίγο πιο μικρός. Πάντως δεν μπορώ να σκεφτώ ...

Ευχαριστούμε που μοιράστηκες μαζί μας την διαδικασία κατασκευής ενός προβλήματος. Θα ήθελα όμως ένα σχόλιο για το εξής σημείο: Φανταστείτε λοιπόν ο λόγος αυτός να ήταν ας πούμε : $2,000032$ . Αυτό θα ήταν κατά την δική μου θεώρηση άκρως διασκεδαστικό . . Σίγουρα θα ήταν διασκεδαστικό, αλλά αυτό δεν ...

Μου διαφεύγει όμως το διασκεδαστικό της άσκησης! Θα συμφωνήσω: Το θέμα δεν έχει κάμια σχέση με Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Είναι παλιά ιστορία, συνεχώς επαναλαμβανόμενη. Ελάχιστο δείγμα εδώ (ποστ #2) εδώ (πόστ #5) εδώ (πόστ #2) εδώ (ποστ #2) εδώ (ποστ #7) εδώ (ποστ #6) και σε πολλά ακόμη σημεία. Όπως...

Το πρόβλημα δεν αφορούσε βιβλία αλλά μπάλες που εφάπτονταν σε ευθείες ράγες. 3 ή 4.png . Νομίζω ότι η συζήτηση έχει ξεφύγει. Τι βιβλία, τι μπάλες. Η ουσία είναι η ίδια. Και άλλη φορά θεωρείς (από την εικόνα που παραθέτεις) ότι έχουμε μαντέψει το είδος του ραφιού που χρησιμοποιείς και τον ειδικό προ...

... το ενδιαφέρον κομμάτι δεν είναι το πρόβλημα αυτό καθεαυτό... αλλά η λογική ερμηνεία της διατύπωσης. Λάθος οπτική. Οι διατυπώσεις των προβλημάτων πρέπει να είναι απόλυτα σαφείς. Να μην χρειάζεται να μανέψει κανείς τι έχει στον νου του ο θεμάμοθέτης, χωρίς να πρέπει να μυρίσει τα νύχια του. Υπενθ...

... συμπλήρωση του "και λοιπά " . ( Το $M$ είναι το μέσο της $BC$ ) Θανάση, σωστά. Τώρα είναι πλήρες. Όμως επειδή κανείς, μα ΚΑΝΕΙΣ, δεν έχει πρόβλημα να βρει $x$ με $x^2=cd$ με $c,d$ δοθέντα (που άλλωστε είναι θεωρία σε όλες ανεξαιρέτως τις Σχολικές Γεωμετρίες, διαχρονικά) είναι καλύτερο να μείνει...

Είναι το ίδιο πράγμα με το γνωστο ''Πέφτει ένα βατράχι στον πάτο ενός πηγαδιού 100 μέτρων. Την ημέρα ανεβαίνει 10 μέτρα και το βράδυ κατεβαίνει 9 μέτρα. Πόσες μέρες χρειάζεται για να βγεί από το πηγάδι ;'' . Όχι δεν είναι το ίδιο. Στο βατραχάκι το πρόβλημα λέει ότι ανεβαίνει τόσο τις ημέρες και κατ...

. Παρατηρώ ότι με την νέα διατύπωση του προβλήματος εξαλήφθηκε οποιαδήποτε αναφορά σε βήματα μεγαλύτερα της μονάδος, πράγμα που με μπέρδευε. Και επίσης μπέρδεψε το ΑΙ, παρότι το ίδιο νομίζει ότι ερμήνευσε σωστά την ερώτηση. Αλλά δεν θα μπω στις λεπτομέρειες διότι ως ΑΙ μπορεί να λέει ότι θέλει, χωρ...