Η αναζήτηση βρήκε 12710 εγγραφές

από Mihalis_Lambrou
Παρ Ιουν 25, 2021 7:59 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη διαδρομή 11
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 73

Re: Ελάχιστη διαδρομή 11

Ας δούμε και γεωμετρική λύση, αλλά χωρίς τις πράξεις. Πάντως γραφικά η λύση είναι λακωνική αλλά πλήρης. Μεταφέρουμε το $TS$ με παράλληλη μετατόπιση στην θέση $AA'$, οπότε σχηματίζεται ένα παραλληλόγραμμο $TSAA'$ του οποίου οι κορυφές $A,A'$ είναι δεδομένες. Επειδή $AS+ST+TB=AA'+A'T+TB=5+A'T+TB$, το ...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Ιουν 24, 2021 11:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη διαδρομή 11
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 73

Re: Ελάχιστη διαδρομή 11

Ελάχιστη διαδρομή 11.pngΑ) Λύστε την εξίσωση : $(x-4)\sqrt{x^2-4x+20}+(x-2)\sqrt{x^2-8x+20}=0$ . Β) Τμήμα $ST$ , μήκους $5$ , ολισθαίνει έχοντας τα άκρα του στις ευθείες $y=3$ και $y=0$ . Υπολογίστε - με δύο τουλάχιστον τρόπους - το ελάχιστο της διαδρομής : $AS+ST+TB$ . Ας δώσω αλγεβρική λύση αλλά ...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Ιουν 24, 2021 10:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 226

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

Για να έχει λύση ως προς χ πρέπει και αρκεί $\Delta \geq 0\Leftrightarrow y\geq 2 or \leq -2.$ Eπειδή το γινόμενο των ριζών είναι 1 οι ρίζες είναι αντίστροφοι άρα θεωρώ χ τη μία και 1/χ την άλλη. Τότε $x=\frac{y+\sqrt{y^{2}-4}}{2}$ και $\frac{1}{x}=\frac{y-\sqrt{y^{2}-4}}{2}$. Eύκολα τότε $x^{2}+\f...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Ιουν 24, 2021 9:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 226

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

4ptil έγραψε:
Πέμ Ιουν 24, 2021 7:01 pm
Τελικά:
f(x)=x^2-2, x\geqslant 2
Το x τρέχει το \mathbb{R} πλήν το 0
[/quote]

Χμμμ. Το σωστό είναι x\in (-\infty, -2]\cup [2, \infty ) (βγαίνει από την διακρίνουσα, και υπάρχει στα παραπάνω).

Το ίδιο συνοπτικότερα: |x| \ge 2.
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Ιουν 24, 2021 2:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
Θέμα: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 226

Re: Εύρεση Τύπου Συνάρτησης

... αλλά έτσι δε βγαίνει επειδή προκύπτει τριωνυμο... O σωστός και καλός τρόπος είναι αυτός που σημειώνει το αμέσως προηγούμενο ποστ. Όμως για να μην δίνουμε εσφαλμένη εικόνα, ας προσθέσω ότι βγαίνει και με τον τρόπο που προσπάθησες, παρόλο τον ισχυρισμό σου. Κάνε μία προσπάθεια, αλλιώς με χαρά θα ...
από Mihalis_Lambrou
Τετ Ιουν 23, 2021 8:55 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ακέραιος!
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 398

Re: Ακέραιος!

Αν $\sqrt a + \sqrt b$ ρητός για κάποιους (χωρίς βλάβη άνισους) θετικούς ρητούς $a,b$, τότε ο καθένας από τους $\sqrt a,\, \sqrt b$ είναι ρητός. ... Υπάρχουν και άλλες αποδείξεις, εξ ίσου απλές. Προσκαλώ τους αναγνώστες να επινοήσουν τουλάχιστον άλλη μία. Θα χαρούμε να την δούμε εδώ. Ας δούμε μία τ...
από Mihalis_Lambrou
Τρί Ιουν 22, 2021 10:13 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ψηφιακή ρίζα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 141

Re: Ψηφιακή ρίζα

Έστω οι αριθμοί $a,b,k\in\mathbb{N}$ με $a\geqslant b$ τέτοιοι, ώστε: $a+b=10^k$. Αν οι αριθμοί $c$ και $d$, προκύπτουν από το ανακάτεμα ή/και την αναδιάταξη των ψηφίων των αριθμών $a$ και $b$ του καθένα ατομικά ή/και συλλογικά. Να δείξετε ότι η ψηφιακή ρίζα του $c+d$ είναι ίση με $1$. Είναι σχεδόν...
από Mihalis_Lambrou
Τρί Ιουν 22, 2021 9:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισότητα τμημάτων 33
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 133

Re: Ισότητα τμημάτων 33

Ισότητα τμημάτων 33.pngΕπί των ευθειών και $y=0 , y=2x$ , εντοπίστε σημεία $A , B$ αντίστοιχα , ώστε για το : $S(10,3)$ , να προκύψει : $SA=SB$ και : $SA \perp SB$ . (Στο σχήμα η ευθεία μοιάζει περισσότερο με την $y=x$ παρά με την $y=2x$, όμως θα εργαστώ με την δεύτερη, όπως ακριβώς το θέτει η εκφώ...
από Mihalis_Lambrou
Τρί Ιουν 22, 2021 8:53 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Κοινή εφαπτομένη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 156

Re: Κοινή εφαπτομένη

Κοινή εφαπτομένη.pngΝα δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$ , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο , στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτομένη . Το κοινό σημείο ικανοποιεί $x^2=-x^2+4x-0$, ισοδύναμα $2(x-1)^2=0$, δηλαδή (διπλή) ρίζα $x=1$. Άρα έχουν ένα κοινό σημείο, το $(1,1)$, και κλ...
από Mihalis_Lambrou
Τρί Ιουν 22, 2021 6:37 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Εξίσωση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 244

Re: Εξίσωση

Να λυθεί στους πραγματικούς $\displaystyle \mid sin2x\mid=\mid cos(\pi-x)\mid$ Ξεχασμένη. Για να κλείνει: Ισοδύναμα $ \mid sin2x\mid=\mid -cos x\mid$, ή αλλιώς $\sin ^2 2x = (-\cos x)^2$ και άρα $(\sin 2x - \cos x) (\sin 2x + \cos x)=0$ Oπότε είτε $\sin 2χ = \cos x $ ή $\sin 2x =- \cos x$. Και οι δ...
από Mihalis_Lambrou
Τρί Ιουν 22, 2021 6:12 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Α,Β,Γ
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 401

Re: Α,Β,Γ

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Δευ Φεβ 22, 2021 12:55 pm
Δ
26
Α
12
Β
26
Γ

Βρείτε τα Α,Β,Γ.
Απάντηση ή υπόδειξη εδώ;
από Mihalis_Lambrou
Δευ Ιουν 21, 2021 1:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Αλγεβρικός γεωμετρικός τόπος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 96

Re: Αλγεβρικός γεωμετρικός τόπος

Αλγεβρικός γεωμετρικός τόπος.pngΤα σημεία $A , B$ των ημιαξόνων $Ox , Oy$ είναι σταθερά , ενώ τα $ S , T$ κινούνται , έτσι ώστε : να είναι : $SA+BT=ST$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου $M$ του τμήματος $ST$ . (Υποθέτω ότι το $A$ είναι $A(9,{\color{red} 0})$ ) Αν $S(s,0),\, T(0,t)$ (με $0\le s...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιουν 20, 2021 10:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ακέραιος!
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 398

Re: Ακέραιος!

Ας δούμε μερικές αποδείξεις του (γνωστού και απλού, άλλωστε) αποτελέσματος που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω: Αν $\sqrt a + \sqrt b$ ρητός για κάποιους (χωρίς βλάβη άνισους) θετικούς ρητούς $a,b$, τότε ο καθένας από τους $\sqrt a,\, \sqrt b$ είναι ρητός. Μία απόδειξη είναι ακριβώς όπως του Μανώλη παραπάν...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιουν 20, 2021 2:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ακέραιος!
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 398

Re: Ακέραιος!

... νομίζω ότι στα πλαίσια του φορουμ δεν πειράζει αν παραληφθεί. Θα διαφωνήσω. Θα μπορούσε μεν η απόδειξη να παραληφθεί, όμως πρέπει τουλάχιστον να μνημονευθεί το επιχείρημα στο οποίο βασίζεται. Το φόρουμ, όπως και στα διαγωνίσματα ή οποιοδήποτε Μαθηματικό κείμενο, δεν παύει να έχει απαιτήσεις για...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιουν 20, 2021 1:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ακέραιος!
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 398

Re: Ακέραιος!

Από το λήμμα τελειώσαμε. :10sta10: Τώρα, όλα καλά. Ας προσθέσω ότι το αποτέλεσμα αυτό είναι πολύ γνωστό. Ωστόσο έκρινα ότι πρέπει να το επισημάνω γιατί όταν θέτω τέτοιου είδους άσκηση σε διαγώνισμα σε φοιτητές, δυστυχώς το $90$% αυτών νομίζουν ότι το άθροισμα δύο άρρητων είναι πάντα άρρητος. Βασίζο...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιουν 20, 2021 1:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ακέραιος!
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 398

Re: Ακέραιος!

Προκειμένου ο δεδομένος αριθμός να είναι ακέραιος, πρέπει οι αριθμο ί $\sqrt{n}, \sqrt{n+2005}$ να είναι επίσης ακέραιοι. Νομίζω πως το πρώτο βήμα, αν και σωστό, θέλει αιτιολόγιση. Εν γένει (για αριθμούς γενικά) δεν ισχύει. Π.χ. το άθροισμα των $100+\sqrt 2,\,100-\sqrt 2$ είναι ακέραιος χωρίς να εί...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιουν 20, 2021 10:33 am
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Ελάχιστο αθροίσματος
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 168

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

george visvikis έγραψε:
Κυρ Ιουν 20, 2021 10:14 am
Να πω απλώς ότι η παράσταση \displaystyle OP + OT έχει και μέγιστη τιμή
Σωστά. Η μέθοδος που έγραψα ουσιαστικά το δείχνει αυτό. Παραθέτω το τελευταίο βήμα, με την κατάλληλη προσαρμογή:

 x+y= 8+(x-5)+(y-3) \le 8 +2\sqrt 2 με ισότητα όταν x=5 + \sqrt 2 ,\, y=3 + \sqrt 2 .
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιουν 20, 2021 9:22 am
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Ελάχιστο αθροίσματος
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 168

Re: Ελάχιστο αθροίσματος

Ελάχιστο αθροίσματος.pngΟι προβολές σημείου $S$ , του κύκλου : $(x-5)^2+(y-3)^2=4$ , στους δύο άξονες , είναι τα σημεία $P$ και $T$ . Υπολογίστε το ελάχιστο του αθροίσματος : $OP+OT$ . Θέλουμε το ελάχιστο του $x+y$ με δοδεμένο ότι $(x-5)^2+(y-3)^2=4$ . Από Cauchy-Schwarz έχουμε $|(x-5)+(y-3)| \le \...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιουν 19, 2021 7:33 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 434

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2021

28. Έστω $f(x)$ συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο $f(x)=(x-a)(x-b)^2$, όπου $a,b (a <b)$ σταθερές. Έστω $g^{-1}(x)$ η αντίστροφη συνάρτηση της $g(x) = x^3+x+1$. Να βρείτε την τιμή $f(8)$, αν η σύνθετη συνάρτηση $h(x) = \left (f \circ g^{-1}\right) (x)$ ικανοποιεί τις συνθήκες: α) η συνάρτηση $(x-1...
από Mihalis_Lambrou
Παρ Ιουν 18, 2021 3:12 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Καμπύλη
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 271

Re: Καμπύλη

Παίζοντας λίγο στο desmos αφού έχω αφαιρέσει το Backgorund απο την εικόνα . Μια καλή προσέγγιση είναι και η $y=-4/9*x^2$ Προσοχή όμως, σύμφωνα με τον κατασκευαστή της εν λόγω αψίδας (η Gateway στο St. Louis στις ΗΠΑ) είναι η αλυσοειδής καμπύλη (catenary) και όχι παραβολή. Οι δύο καμπύλες μοιάζουν, ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση