Να λυθεί το σύστημα



(Την είδα χωρίς λύση σε μία εθνική Ολυμπιάδα. Η λύση μου έχει μία ωραία πονηριά, γι' αυτό θέλω να την μοιραστώ μαζί σας)

Διπλό μέγιστο.pngΤο σημείο $S$ κινείται στην κάθετη προς την διάμετρο $AB$ του ημικυκλίου ημιευθεία . Υπολογίστε το : $(SP \cdot PT)_{max}$ , καθώς και το : $(ATSC)_{max}$ . Διπλ μεγ.png . (Μόνο το πρώτο μέρος. Αργότερα το δεύτερο). Έστω $K$ το κέντρο του ημικυκλίου και $M$ το μέσον του $TP$. Από τ...

Εσωτερικό τμήμα.pngΣτις πλευρές $AB , AC$ , του τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε σημεία $P , T$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $PT \parallel BC$ και : $CT=2AP$ . Υπολογίστε το τμήμα $PT$ . Πώς κατασκευάζεται το τμήμα αυτό ; εσωτ 2.png Απλούστερα. Παίρνουμε τρίγωνο $XYZ$ όμοιο με το δοθέν. Έστω ότι είναι $XY=p...

Εσωτερικό τμήμα.pngΣτις πλευρές $AB , AC$ , του τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε σημεία $P , T$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $PT \parallel BC$ και : $CT=2AP$ . Υπολογίστε το τμήμα $PT$ . Πώς κατασκευάζεται το τμήμα αυτό ; εσωτ.png . Από τα όμοια τρίγωνα $APT, \, ABC$ έχουμε $\dfrac {x}{y}= \dfrac {c}{b}$. Ά...

Εμβαδόν από πλευρές.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου $ABCD$ , με πλευρές : $a , b , c , d$ ( βάσεις οι $b, d$ ) . Εφαρμογή , από την οποία μάλιστα μπορείτε να αρχίσετε : $a=5 , b= 3 , c=6 , d=9$ . Εμβ τραπ 2.png . Προεκτείνουμε τις πλάγιες μέχρι να τμηθούν στο $K$. Από Θαλή είναι $\dfrac {x}{...

Εμβαδόν από πλευρές.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου $ABCD$ , με πλευρές : $a , b , c , d$ ( βάσεις οι $b, d$ ) . Εφαρμογή , από την οποία μάλιστα μπορείτε να αρχίσετε : $a=5 , b= 3 , c=6 , d=9$ . Εμβ τραπ.png . Φέρνουμε $CM||AB$. Τότε $(ABCD)= (ABCM)+(CMD)$ (*). Το $CMD$ έχει πλευρές $a,c,d-...

κύκλ σε τεταρτ.png . Έστω τεταρτοκύκλιο $ABC$ στο εσωτερικό του οποίου υπάρχει κύκλος ο οποίος εφάπτεται σε δύο από τις "πλευρές" του τεταρτοκυκλίου, όπως στην εικόνα. Από το $B$ φέρνουμε την εφαπτομένη $BE$ στον κύκλο. Να βρεθεί το μήκος $BE$ συναρτήσει του $AD=a$, και ειδικά να αποδειχθεί ότι το ...

.
Σε ημικύκλιο διαμέτρου είναι εγγεγραμμένο ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές . H κορυφή απέχει από το απόσταση .

Πόση είναι η ακτίνα του ημικυκλίου;

Δηλαδή είναι έγκλημα να μπει κάποιος στο φυσικό χωρίς να έχει κάνει παραγώγους και ολοκληρώματα στο σχολείο ; Δε νομίζω πως είναι τόσο μεγάλο το κακό. . Δυστυχώς ισχύει το αντίθετο. Το κακό είναι μέγιστο. Δεν ξέρω κανένα, μα ΚΑΝΕΝΑ αξιοπρεπές Πανεπιστήμιο στον κόσμο, Ανατολή και Δύση, Βορρά και Νότ...

Να με συγχωρήσετε αν κάτι δεν κατάλαβα καλά. Υπάρχουν σήμερα φοιτητές του φυσικού που προέρχονται από 3ο πεδίο Νομίζω όχι. Άρα, αν ισχύει αυτό, πώς θα μπορούσαν να υπάρχουν τέτοιες έρευνες. Το ότι δεν υπάρχουν έρευνες π.χ. για το αν εινσι επικίνδυνο ένα φάρμακο που τώρα κυκλοφορεί δεν σημσινει ότι ...

Στην εικόνα, τα σημεία επαφής A, B και C είναι σημεία εφαπτομένης. Η εξίσωση της καμπύλης (γαλάζια) είναι $y = \frac{3}{x}$. Ποιο είναι το εμβαδόν του κύκλου; . Έστω $K$ το κέντρο του κύκλου και $a$ η ακτίνα του. Λόγω συμμετρίας τα $K, B$ είναι στην διχοτόμο $y=x$ του πρώτου τεταρτημορίου. Ειδικά ε...

Χρόνια Πολλά και από εμένα στους φίλους Κώστα Δόρτσιο και Κώστα Ρεκούμη.

Και στις δύο περιπτώσεις το θέμα αποδεικνύεται εξαιρετικά δύσκολο από άποψη πράξεων , και κατά συνέπεια η τοποθέτησή του σε άλλον φάκελο υπήρχε περίπτωση να θεωρηθεί "σαδισμός" ... Φυσικά η ύπαρξη πολλών πράξεων δεν είναι επαρκής λόγος για να τοποθετηθεί μία άσκηση στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά. Μη ...

Αναζητώντας το τεσσάρι.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $AB=8 , AC=6$ σχεδιάστε τμήμα $PS \parallel AB$ , με άκρα στο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και στην υποτείνουσα $BC$ , του οποίου το μήκος να είναι $4$ . . αναζητ.png . Από το σημείο $M$ της βάσης με $MB=4$ φέρνουμε παράλληλη της $BC$. Εκεί π...

Αναζητώντας το τεσσάρι.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $AB=8 , AC=6$ σχεδιάστε τμήμα $PS \parallel AB$ , με άκρα στο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και στην υποτείνουσα $BC$ , του οποίου το μήκος να είναι $4$ . αναζητ.png . Από το σημείο $M$ της βάσης με $MB=4$ φέρνουμε παράλληλη της $BC$. Εκεί που...

Η άσκηση δεν είναι για τον παρόντα φάκελο αλλά δεν ταιριάζει και σε κανέναν άλλο :oops: Μάλλον χάνω κάτι. Ο παρών φάκελος είναι ο πιο ακατάλληλος , με διαφορά, από όλους τους άλλους. Δεν θα είχα καμία απολύτως δυσκολία να αναρτήσω την άσκηση στον φέκελο του Απειροστικού Λογισμού. Δηλαδή εκεί που θα...

Ισχύει η ισοδυναμία $\displaystyle \log_a\theta=x \iff \theta=a^x; $ Χρειάζεται να διευκρινίζεται η προϋπόθεση $\theta>0$; Για παράδειγμα, κάποιος θα μπορούσε να ισχυριστεί: Αν $\theta>0$, τότε η ισοδυναμία είναι αληθής, καθώς και τα δύο σκέλη είναι αληθή. Αν πάλι $\theta\le 0$, τότε επίσης είναι α...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τρί Μάιος 12, 2026 12:37 am

Μας διαβάζει ο πάροχος;

Χρήστο, η κατάσταση στην περιήγηση στο φόρουμ είναι ΔΡΑΜΑΤΙΚΗ. Μου παίρνει πολύύύύύ χρόνο να ανοίξω ή να φορτώσω ένα ποστ.

Ευγενική υπενθύμιση.

Ε'άν $f\left(\frac{x}{x-1}\right) = 2f(x) + x^2$ βρείτε την $f(x)$ Θέτοντας $x=\dfrac {y}{y-1}$, οπότε $\dfrac{x}{x-1}= \dfrac{\dfrac {y}{y-1}}{\dfrac {y}{y-1}-1}=y$, η δοθείσα γίνεται $f\left(y\right) = 2f\left(\dfrac{y}{y-1}\right) + \left(\dfrac{y}{y-1}\right)^2$ Με αλλαγή του ονόματος της μεταβ...

KARKAR έγραψε: ↑

Σάβ Μάιος 16, 2026 7:38 am

Άγνωστο τμήμα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το ύψος τέμνει την διχοτόμο στο σημείο .

Αν : , υπολογίστε το τμήμα .