Ελάχιστο άθροισμα τετραγώγων.png Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ πλευράς $a$ και το τετράγωνο $ACDE$ έξω από το ισόπλευρο. Το σημείο $S$ κινείται στο τμήμα $DE.$ Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του $SB^2+SC^2,$ καθώς και τη θέση του $S.$ Στο τρίγωνο $SBC$, αν $M$ είναι το μέσο της $BC$ είναι $SB^2 +SC^...

Πηγή ---> https://projecteuler.net/problem=4 Ο ζητούμενος αριθμός είναι 906609, με χρήση προγράμματος υπολογιστή. Τώρα αν μπορεί να βρεθεί με διαφορετικό τρόπο, εννοώ με συλλογισμούς, δεν ξέρω, αλλά αμφιβάλλω. Το https://projecteuler.net/ έχει 900+ προβλήματα βαθμού δυσκολίας από 5% μέχρι και 100%,...

Ποιο από τα παρακάτω σύνολα περιέχει περισσότερους πρώτους αριθμούς; α) $\{n^4+4|n\in \mathbb N^* \}$, β) $\{n^4+n^2|n\in \mathbb N^* \}$, γ) $\{n^4+n^2+1|n\in \mathbb N^* \}$, δ) $\{n^4-n^2+5|n\in \mathbb N^* \}$, ε) $\{n^4+n^2+4|n\in \mathbb N ^* \}$ α) $ a= n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2...

Στο σχήμα να υπολογίσετε την ακτίνα του ημικυκλίου . . Όλες οι λύσεις δεκτές αλλά για λύσεις εκτός φακέλου να φαίνονται οι αλγεβρικές πράξεις ( όχι με λογισμικό ). akt_imi.png Στο ορθ. τρ. DAB $ sin(90^o -2x)= \frac{7}{2R}\Rightarrow cos2x=\frac{7}{2R} \Rightarrow 1-2sin^2 x = \frac{7}{2R} \Rightar...

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{2x^{2024}=e^x}$ έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα $\displaystyle{(1 , +\propto)}$ $\forall x \in \mathbb{R}$ είναι $2x^{2024}=e^x\Leftrightarrow \dfrac{2x^{2024}}{e^x}-1=0$ Έστω $f(x)=\dfrac{2x^{2024}}{e^x}-1$ Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}...

Αμβλεία και ισοσκελές.pngΣτο $10 \times 3$ ορθογώνιο $ABCD$ , προεκτείνουμε τις πλευρές $AB , AD$ κατά τμήματα $BS=DP=x$ . α) Βρείτε το $x$ , ώστε : $\widehat{PCS} =135^0$ ... β) Αν $T$ είναι η τομή των $BC , SP$ , δείξτε ότι : $CT=TS$ . α)'Esτω ότι $\widehat{PCD}=a$ και $\widehat{BCS}=b$ τότε από ...

88.png Καλημέρα και Χρόνια πολλά σ΄όλους τους Έλληνες. Όταν πιστεύεις σε ιδανικά και κάνεις όνειρα, είσαι πάντα είκοσι χρονών. Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο. Αν τα $E$ και $Z$ είναι σημεία επαφής, να υπολογίσετε την ακτίνα του κόκκινου κύκλου. ΤριγΚυκλος.png 'Esτω ότι $DC=x>0 ...

Κατασκευή κύκλου.pngΜε κέντρο την κορυφή $C$ του - διαστάσεων $a\times b , (a>b)$ - ορθογωνίου $ABCD$ να κατασκευαστεί κύκλος , τέτοιος ώστε η "κάτω" εφαπτομένη $AS$ και η "αριστερή" $BP$ να τέμνονται κάθετα . Κατασκευη_Κυκλου.png Στην προέκταση της $DC$ παίρνω σημείο $E$ τέτοιο ώστε $CE =CB$. Από ...

Παρακάτω παρουσιάζεται το σχήμα: $\displaystyle{\begin{tikzpicture} \coordinate (A) at (0,0){}; \coordinate (D) at (3.88, 0){}; \coordinate (E) at (3.88, 3.88); \coordinate (Z) at (0, 3.88){}; \coordinate (B) at (3.88, 0.98){}; \coordinate (C) at (3.1, 3.88){}; \draw[line width=1.2pt, rotate=30] (A...

Δεν νομίζω , θα έπρεπε ο μαθητής να διακρίνει τρεις περιπτώσεις. Κατά τη γνώμη μου, η απάντηση ''δεν μπορώ να ξέρω'' δεν είναι σχεδόν ποτέ αποδεκτή. (ταπεινή μου άποψη) Στην περίπτωση $\nu = k$ ο βαθμός μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός μικρότερος η ίσος του $\nu$. Μπορεί να γράψει αυτό ο μαθητή...

Τέσσερις νέοι παίζουν ένα παιχνίδι με τρία κόκκινα καπέλα και δύο πράσινα ως εξής: Ο ένας απ’ αυτούς τοποθετεί τους άλλους τρείς έτσι, ώστε να είναι ο καθένας πίσω από τον άλλον, τους κλείνει τα μάτια , τους φοράει ένα καπέλο και κρύβει τα άλλα δύο. Κατόπιν τους ανοίγει τα μάτια και ρωτάει τον τρίτ...

Άμεση δράση.png Οι κύκλοι $(O, 2), (K, 3)$ εφάπτονται εξωτερικά στο $A.$ Από το $A$ φέρνω δύο κάθετες μεταξύ τους ευθείες που η μία τέμνει τους κύκλους στα $B, D$ και η άλλη στα $C, E.$ Να υπολογίσετε το $BD^2+CE^2.$ Circles1.png Φέρνω τη κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων στο $A$. Είναι $\widehat{D}=...

Nikos2022 έγραψε: ↑

Τετ Μαρ 30, 2022 9:11 am

Η λύση αυτή υπήρχε σε διαγώνισμα φροντιστηριου

Στην ύλη , ως προς την κυρτότητα, περιλαμβάνονται ασκήσεις που αναφέρονται σε συναρτήσεις που είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους.

Έστω σημείο του κύκλου . Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με ακτίνα , που εφάπτεται εξωτερικά με τον στο σημείο .

Αν μια συνάρτηση έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + άπειρο τότε το όριο της f(x)/x όταν το Χ τείνει στο συν άπειρο ισούται με μηδέν. Επειδή υποθέτω ότι είσαι μαθητής και για να μην υπάρξει κάποια παρανόηση, το θεώρημα στη σελ. 162 του σχολικού αναφέρει ότι : " Η ευθεία $y=\lambda x +\beta$ είναι ασύμπτ...

markosfar2 έγραψε: ↑

Κυρ Μάιος 30, 2021 8:04 pm

Αν μια συνάρτηση έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + άπειρο τότε το όριο της f(x)/x όταν το Χ τείνει στο συν άπειρο ισούται με μηδέν.

Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης μιας οριζόντιας ευθείας;
Με τι ισούται το όριο που αναφέρεις ;
Και μη ψάχνεις για αντιπαράδειγμα.

Δ1. (NEO) $f$ συνεχής στο $[0,1]$ , παραγωγίσιμη στο $(0,1)$ με $f’(x)=e^x+2x-e$. και $f(0)=f(1)=0$. Άρα από Θ.Rolle , υπάρχει $x_0 \in (0,1) $ τέτοιο ώστε $f’(x_0)=0$. Επειδή $f’’(x)= e^x +2>0$, η $f’$ είναι γνησίως αύξουσα και το $x_0$ είναι η μοναδική της ρίζα. Για $ x<x_0$ είναι $f’(x)<f’(x_0)=0...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Μαθηματικός

Χαίρετε, μια απορία η οποία μάλλον λύνεται εύκολα αλλά δυστυχώς δεν πάει το μυαλό μου. Δίνεται $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ (Ημικύκλιο) Μπορείτε σας παρακαλώ να μου εξηγήσετε σύμφωνα με ποιες μετατοπίσεις βασικών συναρτήσεων προκύπτει η χάραξη της. Έστω $y=\sqrt{4-x^2} , y>0$ Τότε $y^2=4-x^2 \Leftrightarrow...

Την επόμενη εβδομάδα θα μπούμε στην παράγραφο 3.4 “Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις”. Τον ορισμό του εν χρήσει σχολικού δεν τον κατάλαβα ποτέ. Ποτέ δεν χώνεψα εκείνο το $f(x-T)=...$ , αφού αν ο αριθμός $ T \in \mathbb{R}^*$ είναι περίοδος μιας συνάρτησης $f$ , τότε και κάθε αριθμός της μορφής $kT , k\...