Ακόμα μία εκδοχή για το Γ3.
Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση $\displaystyle E(x) = 5 \Leftrightarrow \phi (x) = \left( {\pi + 4} \right)x^2 - 64x + 16(16 - 5\pi ) = 0\,\,\,\left( 1 \right)$ έχει μόνο μία λύση στο διάστημα $\displaystyle \left( {0\,,\,8} \right)$ .

$\displaystyle \Delta = 64^2 - 64 ...

Από την ισότητα: $f''(x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) = 0$ , έχουμε ότι και :$f''( - x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} (x) = 0$ ,
οπότε:
$f''(x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} ( - x) = f''( - x) + {\mathop{\rm f}\nolimits} (x)$ , ισόδύναμα: $\left( {{\mathop{\rm f}\nolimits} (x) - {\mathop{\rm f ...

Ονομάζουμε $\displaystyle{T}$ την μικρότερη θετική περίοδο της $\displaystyle{\,F}$

Γιώργο, ας σημειώσω ότι δεν χρειάζεται να πάρουμε την "μικρότερη θετική περίοδο" αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε θετική περίοδο. Η απόδειξή σου περνάει ατόφια.

Το λέω αυτό γιατί μπορεί να μην ...

Α. Δίνεται η περιοδική συνάρτηση $F:R\rightarrow R$ για την οποία υπάρχει το όριο $\lim_{x\rightarrow +\propto }F(x) = l, l\in R$. Να αποδείξετε ότι η $F$ είναι σταθερή.
Β. Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ τέτοια ώστε:
:logo: $\lim_{x\rightarrow +\propto }(f(x)-x)=2016$
:logo: $f(x+2)+f(x ...

Χρόνια Πολλά σε όσους και όσες γιορτάζουν.

Ιδιαίτερες ευχές στους Κώστα Βήττα, Κώστα Δόρτσιο, Κώστα Ρεκούμη, Κώστα Τηλέγραφο .

Καλησπέρα. Θεωρώ ότι τo Δ2 έχει πρόβλημα αφού όσον αφορά τη λύση που έχω δει έως τώρα, Αφού η ${f}'\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ και η ${f}'$ είναι συνεχής από την υπόθεση προκύπτει ότι η ${f}'$ θα διατηρεί το πρόσημό της στο $R$
είναι σαν δεχόμαστε ότι ισχύει το αντίστροφο του ...

Καλησπέρα. Θεωρώ ότι τo Δ2 έχει πρόβλημα αφού όσον αφορά τη λύση που έχω δει έως τώρα, Αφού η ${f}'\left( x \right)\ne 0$ για κάθε $x\in R$ και η ${f}'$ είναι συνεχής από την υπόθεση προκύπτει ότι η ${f}'$ θα διατηρεί το πρόσημό της στο $R$
είναι σαν δεχόμαστε ότι ισχύει το αντίστροφο του ...

Καλησπέρα σε όλους,
Παραθέτω μια αντιμετώπιση στην εύρεση της f,στο Δ θέμα, που ενδεχομένως να είναι λάθος.

Έστω ότι υπάρχει $x_0 : f(x_0) \neq x_0, (1).$

Η $f(x)$ ειναι 1-1,άρα από την $(1)\leftrightarrow f(f(x_0)) \neq f(x_0),(2).$

Από τις 1,2 προκύπτει ότι $x_0\neq f(f(x_0)),(3).$

Επίσης απο ...

dopfev έγραψε:Για το Δ3 κάποια ιδέα;

Μηδενική επι φραγμένη.

Χρόνια πολλά σε όλους τους εορτάζοντες.

Ιδιαίτερες ευχές στον φίλο Θωμά Ραϊκόφτσαλη και στον Θωμά Ποδηματά.

Παύλο

Με αφορμή την άσκηση του Θάνου στην διεύθυνση http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... 30#p259859

Να αποδείξετε ότι:

(#)
$cos\frac{1}{2}-sin1=sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1$
με ΘΜΤ για την συνάρτηση $H(x)=sinx$ στο διάστημα
$[1,\frac{\pi -1}{2}]$ προκύπτει ότι υπάρχει$t\epsilon (1,\frac{\pi -1}{2}): sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1 =cost*(\frac{2}{3-\pi })\prec 0\Rightarrow -\frac{1}{4}+sin(\frac{\pi -1}{2})-sin1 ...

Δίνονται οι συναρτήσεις

$\displaystyle{f,g:(0,+\infty)\to \mathbb{R}}$ με

$\displaystyle{f(x)=e^x\ln x+\sin x,~~g(x)=e^x\ln x+\sqrt{x}.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Να αποδείξετε ότι αμφότερες είναι γνησίως αύξουσες

$\displaystyle{\bullet}$ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ...

Δίνεται η συνάρτηση

$\displaystyle{f:(-1,+\infty)\to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)=(e^x-1)\ln (x+1).}$

$\displaystyle{\bullet}$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή.

$\displaystyle{\bullet}$ Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)\geq x^2\,\, \forall x\in (-1,+\infty).}$

Για κάθε ...

Χρόνια Πολλά ,με υγεία πριν απ' όλα , στους συνεορτάζοντες.

Ευχαριστώ πολύ όλους για τις ευχές.

Καλησπέρα σε όλους!
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f(3f(3))=f(1)+f(3)\;\;\;(1)$, συνεχή παράγωγο και $f'(x)\neq 1\neq f(-x)\;\;\forall x>0\;\;\;(2)$

που ικανοποιεί την ισότητα : $f^3(f(3)x)+f(x)=x-1\;\;\;\forall x\in R\;\;\;\;(3)$

Να λυθεί η εξίσωση: $f[11f'(x)]=6f(\frac{37 ...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση.

Ροδόπουλος Γιώργος - Μαθηματικός

Έχουμε προφανή λύση την μηδενική. Έστω ότι η $\displaystyle{f}$ δεν είναι η μηδενική.

$\displaystyle{f(x)f(y) = \left| {\,x\, - y\,} \right|f\left( {\frac{{xy + 1}}{{x - y}}} \right)\,\,\,\forall x,y \in R\,\,,x \ne y\,\,\,\,(1\,)}$

$\displaystyle{(1)\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{y\,\, = \,\,0 ...

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει: $\displaystyle{25e^{f(x)}+(x^4-lnx)e^{-f(x)}=10x^2}, x \geq 1$ με
$f(1)=0$

1) Nα βρείτε τον τύπο της $f(x)=ln\left(\sqrt{lnx} +x^2\right)$

2) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα

3) Nα υπολογιστεί το χωρίο μεταξυ των ...