Για τον αγαπημένο Στέλιο.

$\begin{array}{l}
g\left( x \right) = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \\
g'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} } \right)^\prime } = \frac{{2f\left( x \right)f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = f\left( x \right)\\
I = \int\limits_0^1 {f\left( x ...

$AC=b,\quad BC=a,\quad AB=c,\quad CM=\sqrt{{{b}^{2}}+{{\left( \frac{c}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{4{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}$


Αν $AC,CM,BC$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου έχουμε

$\begin{array}{l}
C{M^2} = AC \cdot BC \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {4{b^2} + {c^2}} }}{2} = a \cdot b ...

$A(a,0)\ B(b,0)\ G(0,1)\ S(s,s)$
Το σημείο $K$ είναι μέσο του $GS$. $K\left( \frac{s}{2},\frac{s+1}{2} \right)$
Το σημείο $K$ ανήκει στη μεσοκάθετη του $AB$

$\frac{a+b}{2}=\frac{s}{2}$ . Άρα $K\left( \frac{a+b}{2},\frac{a+b+1}{2} \right)$

Ο κύκλος είναι
$\begin{array}{l}
{\left( {x - \frac{{a ...

$\displaystyle{\begin{array}{l}
x,x\lambda ,x{\lambda ^2},x{\lambda ^3}\quad \Gamma .\Pi .\\
\\
x - 1,x\lambda - 2,x{\lambda ^2} - 8,x{\lambda ^3} - 24\quad {\rm A}.\Pi .\\
x\lambda - 2 - \left( {x - 1} \right) = x{\lambda ^2} - 8 - \left( {x\lambda - 2} \right) = x{\lambda ^3} - 24 - \left( {x ...

Παιδεύτηκα και δεν την έλυσα.

$\displaystyle{\begin{array}{l}
AB = x,AD = y\\
AC = 2AB = 2x\\
AE = 2AD = 2y\\
\lambda = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{x}{y}\\
\frac{{\left( {ABC} \right)}}{{\left( {ADE} \right)}} = {\lambda ^2} \Leftrightarrow \frac{{\left( {ABSD} \right) + \left( {CDS} \right)}}{{\left ...

$\begin{array}{l}
BC = a,MC = \frac{a}{2}\\
BE = \frac{{AB \cdot BC}}{{AB + AC}} = \frac{{4 \cdot a}}{{4 + 6}} = \frac{{2a}}{5}\\
A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2BC \cdot BD \Leftrightarrow {6^2} = {4^2} + {a^2} - 2a \cdot BD \Leftrightarrow BD = \frac{{{a^2} - 20}}{{2a}}\\
\\
ME \cdot MD = \left( {MB ...

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ
ΟΛΓΑΝΟΥ 19, 59100 ΒΕΡΟΙΑ
Τηλ. 23310-67107 - Fax: 23310-67174
Email : mathima0@gmail.com
http://www.emeimathias.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY
IMATHIA ANNEX
OLGANOU 19, 59100 VERIA
Tel.. 23310-67107 - Fax: 23310-67174
Email : mathima0@gmail.com
http://www ...

$A{C^2} = AB \cdot AD \Leftrightarrow A{T^2} = AB \cdot AD$
Άρα η $AT$ είναι εφαπτόμενη του περιγεγραμμέμου κύκλου του τριγώνου $BTD$ .

$\begin{array}{l}
\angle ATB = \angle TDB = \varphi \\


AT = AC \Rightarrow \angle ATC = \angle ACT \Leftrightarrow \varphi + \angle BTC = \varphi + \angle CTD ...

Σας ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σας. Καλή δύναμη σε όλους.

Η λευκή εβδομάδα για την Βέροια άρχισε. Αύριο το πρόγραμμα έχει χιονάνθρωπο.

$\begin{gathered}
MS = ME = x,\;EO = 3 - x \hfill \\
\hfill \\
\left. \begin{gathered}
D{E^2} = EO \cdot ES \hfill \\
D{E^2} = O{D^2} - E{O^2} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{gathered}
D{E^2} = \left( {3 - x} \right) \cdot 2x \hfill \\
D{E^2} = {2^2} - {\left ...

$u$ η ταχύτητα του αθλητή σε $km/h$
$S$ η απόσταση της νταλίκας από την γέφυρα και
$l$ το μήκος της γέφυρας.
Αν γυρίσει πίσω ο αθλητής

$\left. \begin{gathered}
85 = \frac{S}{t} \hfill \\
u = \frac{{0,4 \cdot l}}{t} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{gathered}
t ...

1)
1η περίπτωση

$\begin{gathered}
C{B^2} = A{B^2} + B{C^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {5^2} \Leftrightarrow \hfill \\
\hfill \\
{x^2} + 8x + 16 = {x^2} + 2x + 1 + 25 \Leftrightarrow 6x = 10 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3} \hfill \\
E = \frac{1}{2 ...

Τα αποτελέσματα του Θαλή θα αργήσουν (ίσως αρχές Ιανουαρίου), βγήκαν όμως τα αποτελέσματα του 6ου διαγωνισμού «Υπατία» 2013 για την Α τάξη Γυμνασίου.
http://www.emeimathias.gr/index.php?opt ... &Itemid=44

Έστω $v$ οι ταχύτητες των ποταμόπλοιων, $u$ η ταχύτητα του νερού και $S$ η απόσταση των δύο πόλεων.

$\left. \begin{gathered}
v - u = \frac{{0,4 \cdot S}}{t} \hfill \\
v + u = \frac{{0,6 \cdot S}}{t} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Leftrightarrow \frac{{v - u}}{{v + u}} = \frac{{0,4}}{{0,6 ...

Επίκτητη καθετότητα.png Στο ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , προεκτείναμε την υποτείνουσα $CB$ κατά ίσο της

τμήμα $BS$ και την κάθετη πλευρά $CA$ κατά διπλάσιό της τμήμα $AT$ . Δείξτε ότι : $SA \perp BT$

Καλημέρα.
Με νόμο συνημιτόνων και νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο $SAC ...

$\begin{gathered}
\left( {ASB} \right) = \frac{1}{2}AB \cdot SB \cdot \eta \mu \frac{\omega }{2} = \frac{1}{2}AB \cdot AB \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\omega }{2} \cdot \eta \mu \frac{\omega }{2} = \hfill \\
= \frac{1}{2}{\left( {\frac{d}{{\eta \mu \omega }}} \right)^2} \cdot \frac{1}{2}\eta ...

Καλησπέρα από την Βέροια.
http://www.emeimathias.gr/index.php?opt ... &Itemid=73