Για τον αγαπημένο Στέλιο.

$\begin{array}{l} g\left( x \right) = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \\ g'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} } \right)^\prime } = \frac{{2f\left( x \right)f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = f\left( x \right)\\ I = \int\limits_0^1 {f\left( x \r...

$AC=b,\quad BC=a,\quad AB=c,\quad CM=\sqrt{{{b}^{2}}+{{\left( \frac{c}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{4{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}$ Αν $AC,CM,BC$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου έχουμε $\begin{array}{l} C{M^2} = AC \cdot BC \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {4{b^2} + {c^2}} }}{2} = a \cdot b \Leftr...

$A(a,0)\ B(b,0)\ G(0,1)\ S(s,s)$ Το σημείο $K$ είναι μέσο του $GS$. $K\left( \frac{s}{2},\frac{s+1}{2} \right)$ Το σημείο $K$ ανήκει στη μεσοκάθετη του $AB$ $\frac{a+b}{2}=\frac{s}{2}$ . Άρα $K\left( \frac{a+b}{2},\frac{a+b+1}{2} \right)$ Ο κύκλος είναι $\begin{array}{l} {\left( {x - \frac{{a + b}}{...

$\displaystyle{\begin{array}{l} x,x\lambda ,x{\lambda ^2},x{\lambda ^3}\quad \Gamma .\Pi .\\ \\ x - 1,x\lambda - 2,x{\lambda ^2} - 8,x{\lambda ^3} - 24\quad {\rm A}.\Pi .\\ x\lambda - 2 - \left( {x - 1} \right) = x{\lambda ^2} - 8 - \left( {x\lambda - 2} \right) = x{\lambda ^3} - 24 - \left( {x{\lam...

Παιδεύτηκα και δεν την έλυσα. $\displaystyle{\begin{array}{l} AB = x,AD = y\\ AC = 2AB = 2x\\ AE = 2AD = 2y\\ \lambda = \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{x}{y}\\ \frac{{\left( {ABC} \right)}}{{\left( {ADE} \right)}} = {\lambda ^2} \Leftrightarrow \frac{{\left( {ABSD} \right) + \left( {CDS} \right)}}{{\left(...

$\begin{array}{l} BC = a,MC = \frac{a}{2}\\ BE = \frac{{AB \cdot BC}}{{AB + AC}} = \frac{{4 \cdot a}}{{4 + 6}} = \frac{{2a}}{5}\\ A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2BC \cdot BD \Leftrightarrow {6^2} = {4^2} + {a^2} - 2a \cdot BD \Leftrightarrow BD = \frac{{{a^2} - 20}}{{2a}}\\ \\ ME \cdot MD = \left( {MB -...

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ ΟΛΓΑΝΟΥ 19, 59100 ΒΕΡΟΙΑ Τηλ. 23310-67107 - Fax: 23310-67174 Email : mathima0@gmail.com http://www.emeimathias.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY IMATHIA ANNEX OLGANOU 19, 59100 VERIA Tel.. 23310-67107 - Fax: 23310-67174 Email : mathima0@gmail.com http://www...

$A{C^2} = AB \cdot AD \Leftrightarrow A{T^2} = AB \cdot AD$ Άρα η $AT$ είναι εφαπτόμενη του περιγεγραμμέμου κύκλου του τριγώνου $BTD$ . $\begin{array}{l} \angle ATB = \angle TDB = \varphi \\ AT = AC \Rightarrow \angle ATC = \angle ACT \Leftrightarrow \varphi + \angle BTC = \varphi + \angle CTD \Left...

Σας ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σας. Καλή δύναμη σε όλους.

Η λευκή εβδομάδα για την Βέροια άρχισε. Αύριο το πρόγραμμα έχει χιονάνθρωπο.

$\begin{gathered} MS = ME = x,\;EO = 3 - x \hfill \\ \hfill \\ \left. \begin{gathered} D{E^2} = EO \cdot ES \hfill \\ D{E^2} = O{D^2} - E{O^2} \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{gathered} D{E^2} = \left( {3 - x} \right) \cdot 2x \hfill \\ D{E^2} = {2^2} - {\left( {3 - x}...

$u$ η ταχύτητα του αθλητή σε $km/h$ $S$ η απόσταση της νταλίκας από την γέφυρα και $l$ το μήκος της γέφυρας. Αν γυρίσει πίσω ο αθλητής $\left. \begin{gathered} 85 = \frac{S}{t} \hfill \\ u = \frac{{0,4 \cdot l}}{t} \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{gathered} t = \frac{S...

1) 1η περίπτωση $\begin{gathered} C{B^2} = A{B^2} + B{C^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {5^2} \Leftrightarrow \hfill \\ \hfill \\ {x^2} + 8x + 16 = {x^2} + 2x + 1 + 25 \Leftrightarrow 6x = 10 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3} \hfill \\ E = \frac{1}{2} \cdot...

Τα αποτελέσματα του Θαλή θα αργήσουν (ίσως αρχές Ιανουαρίου), βγήκαν όμως τα αποτελέσματα του 6ου διαγωνισμού «Υπατία» 2013 για την Α τάξη Γυμνασίου.
http://www.emeimathias.gr/index.php?opt ... &Itemid=44

Έστω $v$ οι ταχύτητες των ποταμόπλοιων, $u$ η ταχύτητα του νερού και $S$ η απόσταση των δύο πόλεων. $\left. \begin{gathered} v - u = \frac{{0,4 \cdot S}}{t} \hfill \\ v + u = \frac{{0,6 \cdot S}}{t} \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Leftrightarrow \frac{{v - u}}{{v + u}} = \frac{{0,4}}{{0,6}} \Left...

Επίκτητη καθετότητα.png Στο ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , προεκτείναμε την υποτείνουσα $CB$ κατά ίσο της τμήμα $BS$ και την κάθετη πλευρά $CA$ κατά διπλάσιό της τμήμα $AT$ . Δείξτε ότι : $SA \perp BT$ Καλημέρα. Με νόμο συνημιτόνων και νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο $SAC$ έχουμε $...

$\begin{gathered} \left( {ASB} \right) = \frac{1}{2}AB \cdot SB \cdot \eta \mu \frac{\omega }{2} = \frac{1}{2}AB \cdot AB \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\omega }{2} \cdot \eta \mu \frac{\omega }{2} = \hfill \\ = \frac{1}{2}{\left( {\frac{d}{{\eta \mu \omega }}} \right)^2} \cdot \frac{1}{2}\eta \mu ...

Καλησπέρα από την Βέροια.
http://www.emeimathias.gr/index.php?opt ... &Itemid=73