Σωστά, και όμορφα. Μπορούμε να απλοποιήσουμε τα βήματα: Αφού φτάσουμε στο συμπέρασμα ότι η ακολουθία των φυσικών $(a_n)$ είναι φραγμένη, βγάζουμε αμέσως το συμπέρασμα ότι είναι τελικά σταθερή. Δεν χρειάζεται δηλαδή να πάμε μέσω σύγκλισης στο R. Και λοιπά.

Χαχα όντως .
Εγώ βλέποντας ότι η ...

Ευχαριστώ Δημήτρη για την λύση σου .
Γράφω και μία λύση που καταφεύγει στον απειροστικό λογισμό .

Έστω $u_i(x_1,...,x_k)$ η συνάρτηση Boole που αντιστοιχεί στον προτασιακό τύπο $\phi_i$ .
Ορίζουμε την ακολουθία $a_n:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ έτσι ώστε $a_n=$ (το πλήθος των k-άδων $(x_1 ...

Εάν $\phi_1,\phi_2,...,\phi_n,...$ είναι μια άπειρη ακολουθία προτασιακών τύπων τέτοιών ώστε:

να περιέχουν προατασιακές μεταβλητές μόνο από το σύνολο $\{A_1,A_2,...,A_k\}$
για κάθε $n$ να έχουμε $\phi_n \models \phi_{n+1}$
να δείξετε ότι υπάρχει $N$ τέτοιο ώστε για κάθε $n \geq N$ να έχουμε ...

Πολύ καλά ήταν τα σημερινά θέματα .
Μου φαίνεται παράλογο όμως να απαντήσω αν είναι σωστό ή λάθος αυτό :

Για κάθε μιγαδικό αριθμό ορίζουμε .

Σαν άσκηση , που αφορά την αρχή του Περιστερεώνα , μου δόθηκε το i) . Στην προσπάθεια μου να την αντιμετοπίσω κατέληξα στα άλλα δύο ερωτήματα . Εξακολουθώ να ψάχνω μια κομψή εφαρμογή της αρχής του Περιστερεώνα που να αποδεικνύει το i) .

Από το κέντρο του κύκλου φέρουμε ακτίνες που ανά δύο σμηματίζουν γωνία 120 μοιρών, σχηματίζοντας έτσι τρία χωρία. Τα περιπολικά που βρίσκονται στι εσωτερικό ή πάνω στα όρια ενός χωρίου επικοινωνούν μεταξύ τους. Αν ένα χωρίο περιέχει 8 τουλάχιστον περιπολικά, τότε κάθε ένα από αυτά επικοινωνεί με ...

Μια κυκλική πόλη ακτίνας 6km ελέγχεται από 18 περιπολικά που επικοινωνούν με ασύρματο . Αν η ακτίνα δράσης του ασυρμάτου είναι 9km δείξτε ότι :
i)πάντα θα υπάρχουν 2 περιπολικά που το καθένα θα επικοινωνεί με τουλάχιστον 5 περιπολικά
ii)πάντα θα υπάρχουν 8 περιπολικά που το καθένα θα επικοινωνεί με ...

Αν θέλετε να μου απαντήσετε λίγο σαφέστερα,,,εγώ επιλέγω το f(x_n)..που είναι το πρόβλημα στο να επιλέγω ε ,το ε>0 άρα μπορω να βάλλω οτιδήποτε θετικό
κάθε f(x_n) είναι θετικό
Μπορεί να μην το
σταθεροποιώ
Όμως δεν παύει να είναι θετικό για να το υπολογίσω
Πως για ε μπορω να θέτω μια ολοκληρη ...

Μια γεωμετρική αντιμετώπιση :
Τα $z_{k}$ είναι κορυφές κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου στον μοναδιαίο κύκλο .
$|z_{k}-z_{k-1}| < \frac{2 \pi}{n}$ - μήκος χορδής < μήκος της αντίστοιχης καμπύλης
$1 \cdot sin(\frac{2 \pi }{n}) < |z_{k}-z_{k-1}|$ - κάθετη πλευρά < αντίστοιχης υποτείνουσας
αθροίζοντας ...

Πολύ ωραία . Από την λύση σας μάλιστα προκύπτει ένα καλύτερο φράγμα , αντικαθιστώντας το με .

Έστω συνάρτηση διπλά παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε : .
Να αποδειχθεί ότι : .

Με δυσκολεύει μόνο η ισότητα (*). Δεν χρειάζεται εκεί κάποιο επιχείρημα;



Αν δεν κάνω λάθος η ομοιόμορφη σύγκλιση μας επιτρέπει να εναλλάξουμε την σειρά ολοκλήρωσης και άρθροισης .

Επειδή η $\displaystyle{ h_m(x)=\sum_{k=0}^{m}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!} \left ( \frac{n \pi x}{L} \right )^{2k ...

Έστω :
$g(x) = f(x) \quad \forall x \in [0,L]$
$g(x)=f(-x) \quad \forall x \in [-L,0]$
$g(x)=g(x+2L) \quad \forall x \in \mathbb{R}$

Αναπτύσωντας την $g$ σε σειρά Fourier έχουμε : $\displaystyle{ g(x)=\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}c_n cos(\frac{n \pi x}{L}) \quad \forall x \in \mathbb{R ...

Έστω συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε :
και .
Να βρεθεί η συναρτήσει των .

Με επιφύλαξη κάνω μια προσπάθεια να το υπολογίσω με αρθροίσματα Riemann .

$\displaystyle{ \lim_{\frac{n \to +\infty}{m \to +\infty}} \left [ \sum_{l=1}^{m} \frac{1}{n} \sum_{k=n(l-1)+1}^{nl} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \right ] =\lim_{m \to +\infty} \left [ \sum_{l=1}^{m} \lim_{n \to +\infty ...

Με επιφύλαξη κάνω μια προσπάθεια να το υπολογίσω με αρθροίσματα Riemann .

$\displaystyle{ \lim_{\frac{n \to +\infty}{m \to +\infty}} \left [ \sum_{l=1}^{m} \frac{1}{n} \sum_{k=n(l-1)+1}^{nl} \frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2} \right ] =\lim_{m \to +\infty} \left [ \sum_{l=1}^{m} \lim_{n \to +\infty} \left ...

$\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} ln \left ( \prod_{i=1}^{n} ( 1 + \frac{i}{n} )^{\frac{1}{i}} \right ) = \lim_{n \to +\infty} \left [ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\frac{i}{n}} ln(1+\frac{i}{n}) \right ] = \int_{0}^{1} \frac{ln(1+x)}{x}dx = \int_{0}^{1} \left [ \sum_{k=0}^{+ \infty} \frac ...

$0)$ έχουμε έναν σωρό από $n \geq 1$ πέτρες . Μεταβαίνουμε στο $1)$ .
$1)$ αν υπάρχουν $n$ σωροί της μίας πέτρας τότε σταματάμε αλλιώς μεταβαίνουμε στο $2)$ .
$2)$ επιλέγουμε έναν σωρό με τουλάχιστον $2$ πέτρες . Μεταβαίνουμε στο $3)$ .
$3)$ διαχωρίζουμε τον επιλεγμένο σωρό σε $2$ νέους σωρούς ο ...

Τι ιδιότητα είναι αυτή με τους λογαρίθμους;
Ουσιαστικά εφαρμόζω το θεώρημα που λέει : Αν η $g$ είναι συνεχής στο $a$ και η $f$ είναι συνεχής στο $g(a)$ , τότε η $f \circ g$ είναι συνεχής στο $a$ .
Χμμμ..θα γίνει κάπως έτσι;$\left( \lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)}{f(1 +3h)}\right)^\frac{1}{h ...