Αγαπητέ Κωνσταντίνε, σας ευχαριστώ πολύ για το ξεκίνημα. Ωστόσο, έχω την αίσθηση ότι υπήρξε μια παρεξήγηση σε σχέση με την εκφώνηση. Ο μαθητής της εκφώνησης προσπαθεί να υπολογίσει την επιφάνεια της σφαίρας κι όχι τον όγκο της μπάλας. Κρατάμε όμως πως για να υπολογίσουμε τον όγκο της μπάλας όπως σωσ...

Έστω μαθητής λυκείου κάνει το παρακάτω λάθος θέλοντας να υπολογίσει το εμβαδόν της σφαίρας : «Καλύπτω τη σφαίρα με κύκλους (εννοόντας οτι θεωρεί τη φυλλωσιά - foliation - της σφαίρας με κύκλους και δυο κριτικά σημεία, τον Βόρειο και Νότιο πόλο) και ολοκληρώνω αλά Riemman τα μήκη των κύκλων αυτών» 1)...

Η απάντηση μου δόθηκε από τον Pierre Dehornoy και τον Serge Cantat που είχα την τύχη να γνωρίσω φέτος. Αν τοποθετηθούμε στο μοντέλο του υπερβολοειδούς και εξετάσουμε την τροχιά ενός σημείου υπό τη δράση της ομάδας $\exp{ (t \log A)} $ με μία παράμετρο. Τότε η τροχιά του σημείου όταν ο $A$ αντιστοιχε...

Κατά γενικό κανόνα, όταν κάνουμε την ταξινόμηση των ισομετριών του υπερβολικού επιπέδου αναφερόμαστε σε αυτές ως υπερβολικές, παραβολικές και ελλειπτικές. Δεν μπορώ όμως να βρω κανένα συγγραφέα που να εξηγεί την ιστορία ή ακόμα και τη λογική αυτών των ονομασιών. Είχα έως τώρα μία μερική ιδέα, ότι δη...

'Εστω ένας συμπαγής μετρικός χώρος πιθανότητας $(X,F, \mu)$, όπου $F$ είναι η συμπληρωμένη σ-άλγεβρα του Μπορέλ και το μέτρο $\mu$ είναι κανονικό $(regulier)$ και χωρίς άτομα. 1. Να δειχθεί ότι ο $(X,F, \mu)$ είναι μετρικά ισοδύναμος (équivalence mesurée) με τον $([0,1],Borel, Lebesgue)$ 2. Να κατασ...

Είναι άξιον περιέργειας πώς ένα πρόβλημα φαντάζει δύσκολο την μία μέρα και την άλλη όχι. Μιας και εγώ έθεσα το πρόβλημα, τοποθετώ ένα σχέδιο λύσης σε hide. Για τις σφαίρες: 1)Να δειχθεί ότι αν μία συνάρτηση που ικανοποιεί τις υποθέσεις της εκφώνησης δεν είναι 1-1, τότε είναι σταθερή 2)Να δειχθεί ότι...

Είναι όλες οι συνεχείς μη-σταθερές συναρτήσεις (όπου ) που απεικονίζουν κλειστές μπάλες σε κλειστές μπάλες γραμμικές (modulo κάποια μετατόπιση);
Θέτω το ίδιο ερώτημα για τις σφαίρες.

Όντως, παρότι το σύνολο (που δεν είναι αριθμήσιμο) περιέχει MONO αριθμήσιμα στοιχεία, χρησιμοποιώντας το αξίωμα της επιλογής μπορούμε να κατασκευάσουμε μία υπεραριθμήσιμη αλυσίδα στο .

Έστω $F= \{ \mathbb Q ((e_{i})_{i \in \mathbb N}) | \forall i \in \mathbb N \ (e_{i})$ υπερβατικός$\}$. Ας παρατηρήσουμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου $F$ είναι αριθμήσιμο. Σε αυτό το σημείο, θέλουμε να κατασκευάσουμε με το λήμμα του Zorn ένα μέγιστο στοιχείο του $F$. Θεωρούμε μια μη κενή αλυσίδα το...

α) Ξεκινάμε τριγωνοποιώντας τον $X$, έτσι πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο αντιστρέψιμο πίνακα $P$ από δεξιά και με τον αντίστροφό του από αριστερά παίρνουμε $(P^{ -1 }YP)^{ 3 }=(P^{ -1 }XP)^{ 2 }$, όπου $P^{ -1 }XP$ είναι άνω τριγωνικός. Αυτή η διαδικασία δεν αλλάζει τον αριθμό λύσεων. Θέτουμε $Y\lef...

Να αναφέρουμε πως το αποτέλεσμα γενικεύεται εύκολα για έναν οποιονδήποτε διαγωνοποιήσιμο πίνακα.(Διαγωνοποιώντας τον $A$ στην σχέση $AB=BA$ απεικονίζουμε τον $V$ σε έναν χώρο $V'$ μέσω ενός αυτομορφισμού έτσι $dim V= dim V'$). Xωρίς βλάβη γενικότητας στα όσα ακολουθούν θα υποθέσω ότι οι πίνακες έχου...

Το θέμα είναι πολύ ενδιαφέρον. Διατηρώντας τους συμβολισμούς και βάση των όσων έγιναν εδώ http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=16767 έχουμε ότι αν $n=\sum_{i=0}^{K} a_{i} \cdot p^{i}$ (υπενθυμίζω εδώ πως $K \le \log _{ p }{ n }$) τότε: $\displaystyle{F_{ p }(n)=\sum _{ k=0 }^{ n }{ f_{ ...

Όντως, άρα η συνθήκη δεν αρκεί. Ευχαριστώ για την απάντηση και αν κάποιος έχει το χρόνο ας δώσει μια ικανή συνθήκη, εάν δεν προλάβω να βρω κάτι παραπάνω πάνω στο θέμα.

Έχετε δίκιο! Έπρεπε να είχα προσθέσει $n>2$. Προέκυψε από τη μελέτη του κεντροποιητή της $SO(n, \mathbb R )$ στο $M_{n}( \mathbb R)$ . Όντως στην περίπτωση όπου $n=2$ υπάρχει η ιδιαιτερότητα των πινάκων που δώσατε προηγουμένως. Όμως για $n>2$ δεν υπάρχει και αναρωτιόμουν αν η συνθήκη που έδωσα αρκεί...

Έστω $V$ ένας διανυσματικός υπόχωρος του $M_{n}(\mathbb{R})$ που συνίσταται από τον μηδενικό, τον ταυτοτικό πίνακα και αντιστρέψιμους πίνακες. Όταν $n \in 2\mathbb{N}$, έχουμε υποχρεωτικά $V= \{m\mathrm{Id}_{n}|m \in \mathbb{R} \}$; Αν υπάρξει χρόνος ας προταθούν και παραλλαγές του θέματος, το βρίσκ...

Ευχαριστώ πολύ.

Ναι, ακριβώς αυτό εννοώ. Ψάχνω κάποιο γεωμετρικό όργανο που διαθέτει ενδιαφέρουσες εφαρμογές στις γεωμετρικές κατασκευές και επίσης ένα θεωρητικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο μπορώ να συζητήσω.

Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση. Αναμένω τη συμμετοχή των υπολοίπων.

Τα θεωρήματα μη-κατασκευασιμότητας μου είναι γνωστά και αυτά αποτελούσαν τον αρχικό στόχο της εργασίας. Όπως σας είπα προσπαθώ να διευρύνω το θέμα λίγο ακόμα. Τα συγγράματα που χρησιμοποιώ προς στιγμήν είναι η "Εισαγωγή στην άλγεβρα " του Fraleigh και ένα βιβλίο πιο εξειδικευμένο του Patrice Tauvel ...

Καλημερίζω όλα τα μέλη του :logo: Ανοίγω αυτό το θέμα (ελπίζω στον σωστό φάκελο) για να ζητήσω τη συμβολή και τη συμβουλή σας. Είμαι φοιτητής Μαθηματικών στο δεύτερο έτος στο Παρίσι. Για όσους γνωρίζουν, είμαι φοιτητής στο Lyçée Louis Le Grand en CPGE, με κατεύθυνση MP*. Στο τέλος της χρονιάς, με βά...