Παιγνιώδης ισότητα.pngΠάνω στην μεσοκάθετη ακτίνα $ON$ , της διαμέτρου $AOB=2r$ ενός ημικυκλίου , να εντοπίσετε σημείο $T$ τέτοιο ώστε , αν η $AT$ τέμνει το τόξο στο σημείο $S$ , να προκύπτει : $TS=TO$ . Η άσκηση μπορεί να λυθεί με πολλούς τρόπους . Γράψτε μόνο έναν στο επόμενο εικοσιτετράωρο :mrgr...

proodos.pngΗ κάθετη πλευρά $BA$ , η διάμεσος $BM$ και η υποτείνουσα $BC$ , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου . Βρείτε τον λόγο $ \lambda$ , αυτής της προόδου . Με $ \lambda $ λόγο της προόδου θα είναι $\dfrac{a}{c}= \lambda ^2$ Αν ο κύκλος $(B,a)$ κό...

Λογική παραλληλία , παράλογη σύγκριση.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $AB=6 , AC=8$ , δείξτε ότι : $ST\parallel PQ$ και - κυρίως - συγκρίνατε τα εμβαδά : $(AST) , (APQ)$ . $ \angle \phi + \theta =90^0 \Rightarrow \angle 2 \phi +2 \theta =180^0 \Rightarrow TS//PQ$ Με $AM//ST,PQ$ προφανώς $AM$ ...

Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $ABC\,\,\left( \widehat{C}={{90}^{0}} \right)$. Στην υποτείνουσα $AB$ παίρνουμε τα σημεία $D,E$ ώστε $\angle DCE={{45}^{0}}$. Αν $AD=21$ και $BE=28$, να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος $DE.$ Αν $CZ$ συμμετρική της $BC$ ως προς $CE$ κι επειδή $\angle \theta ...

Κατάλληλο μήκος.pngΤο $K$ είναι το κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου $OB=2r$ . Από σημείο $A$ της κάθετης προς την $OB$ στο $O$ , φέρω την $AK$ , η οποία τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο $S$ . Αν τα σημεία $B , S$ και το μέσο $M$ του τμήματος $OA$ είναι συνευθειακά , υπολογίστε το τμήμα $OA$ . Το $S$ ε...

Τετράγωνο και Καλή Πρόοδο.png Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ και τυχόν σημείο $M$ του ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ που βρίσκεται εντός του τετραγώνου. Αν η $BM$ τέμνει την $AC$ στο $T$ και η $DT$ την $AB$ στο $S,$ να δείξετε ότι τα μήκη των τμημάτων $BM, AB, DS$ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Το...

Τραπεζιακή ανάληψη.pngΔίνονται αρκετά στοιχεία για το τραπέζιο $ABCD$ . Τι μένει να βρείτε ; Ας πούμε τον λόγο : $\dfrac{AD}{BC}$ . Από γνωστή πρόταση ισχύει $6^2=x^2+6x\Rightarrow (\dfrac{6}{x})^2- \dfrac{6}{x}-1=0 \Rightarrow \dfrac{6}{x}= \dfrac{AD}{BC}= \Phi $ Τραπεζιακή ανάληψη.png

Ημικύκλιο σε τετράγωνο. Να βρεθεί το γαλάζιο εμβαδόν συναρτήσει των μηκών των δύο χορδών. (Κάνει και για νεαρούς μαθητές) . Αν $S=(ANDPA)$ και $E=(ABCD)$ θα έχουμε $ S= \dfrac{E}{2}- (NAD)-(BPC)= \dfrac{m^2-m(x+y)}{2} (1) $ Από την ομοιότητα των τριγώνων $KDN,DNC$ και $PDC,PQC$ παίρνουμε $ x= \dfra...

ΘΕΜΑ 3. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ τέτοιο ώστε $D\widehat{A}C=D\widehat{B}C$. Έστω $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων του, και έστω $P$ και $Q$ οι προβολές του $O$ στις πλευρές $AD$ και $BC$, αντίστοιχα. Αν $Μ$ και $N$ είναι τα μέσα των πλευρών $AB$ και $CD$, αντίστοιχα, να δειχθεί ότι $MN\per...

Αναμενόμενο εμβαδόν;.png Σε τμήμα $AB$ θεωρούμε σημείο $S.$ Στα άκρα του $A, B$ υψώνουμε κάθετες και παίρνουμε τα σημεία $D, C$ αντίστοιχα, ώστε $AD=AS, BC=BS$ και έστω $M$ το μέσο του $AB.$ Αν $\displaystyle \frac{{(DMC)}}{{(DSC)}} = {\left( {\frac{{17}}{{15}}} \right)^2},$ α) να βρείτε το λόγο $\...

Αναμενόμενο εμβαδόν;.png Σε τμήμα $AB$ θεωρούμε σημείο $S.$ Στα άκρα του $A, B$ υψώνουμε κάθετες και παίρνουμε τα σημεία $D, C$ αντίστοιχα, ώστε $AD=AS, BC=BS$ και έστω $M$ το μέσο του $AB.$ Αν $\displaystyle \frac{{(DMC)}}{{(DSC)}} = {\left( {\frac{{17}}{{15}}} \right)^2},$ α) να βρείτε το λόγο $\...

Γινόμενο από διαφορά.pngΤο ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ έχει πλευρά $6$ . Το $S$ είναι σημείο του περικύκλου του . Αν είναι : $SA -SC =2$ , υπολογίστε το γινόμενο $SA \cdot SC$ . Κατασκευάζοντας τα ισόπλευρα τρίγωνα $CSK,ASD$,προφανώς $AK=CD=2$ ,άρα $AKCD$ ισοσκελές τραπέζιο και με Πτολεμαίο $AK^2+AD.KC...

Ίσες γωνίες , διπλάσια βάση.pngΤα σημεία $S , T$ της πλευράς $AC$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ είναι τέτοια , ώστε τα τμήματα $BS , BT$ να τριχοτομούν την γωνία $\hat{B}$ . Αν είναι : $TC=2AS$ , μπορούμε άραγε να υπολογίσουμε την γωνία $\hat{B}$ ; Αλλιώς Είναι γνωστό ότι $ \Phi =2cos36^0$ Με $SA=A...

Ίσες γωνίες , διπλάσια βάση.pngΤα σημεία $S , T$ της πλευράς $AC$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ είναι τέτοια , ώστε τα τμήματα $BS , BT$ να τριχοτομούν την γωνία $\hat{B}$ . Αν είναι : $TC=2AS$ , μπορούμε άραγε να υπολογίσουμε την γωνία $\hat{B}$ ; Με $N$ συμμετρικό του $S$ ως προς $AB$ ,η $BK$ διχ...

shape.png Χρόνια πολλά με υγεία στους εορτάζοντες του :santalogo: . Στον κύκλο $(O,OC)$, του παραπάνω σχήματος, να βρείτε το μήκος της πλευράς $OD = x$. Χρόνια πολλά σε όλους με υγεία... Μ $P$ συμμετρικό του $A$ ως προς ,$ CD$ ,προφανώς $ACPD$ είναι ρόμβος . Επειδή μπλε και πράσινη γωνία είναι παρα...

Εφαπτομένη και εφαπτόμενη.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ το ύψος προς την βάση $BC$ είναι ίσο με την $BC$ . Στο εσωτερικό του τριγώνου θεωρούμε σημείο $K$ , τέτοιο ώστε : $AK=KB$ και $AK\perp KB$ . Η $BK$ τέμνει την $AC$ , στο σημείο $T$ και η $CK$ την $AB$ στο $S$ . Υπολογίστε τις : $\tan\theta , ...

Χαιρετώ! Με αφορμή και το θέμα τούτο . Κατασκευή με επίχρισμα.png Στο σχήμα η $AM$ είναι μεσοκάθετος του $BC$ , το $E \in AC$ ώστε $E \hat M C=60^o$ και το $N$ μέσον του $EM$. Aν ισχύει $ \displaystyle \frac{(MAC)}{(MEA)}= (\frac{BN}{AN}})^2$ τότε να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{CE}{AE}$ και να γίνε...

Σταθερό στην αστάθεια.pngΟι πλευρές $AB , AC , (AB < AC)$ , του τριγώνου $ABC$ είναι σταθερές , αντίθετα με την $BC$ , η οποία μεταβάλλεται . Η κάθετη προς την διχοτόμο $AD$ στο $D$ , τέμνει την $AC$ στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι το τμήμα $AS$ παραμένει σταθερό και υπολογίστε το , αν : $AB=6 , AC=9$ ...

Σε τυχόν τρίγωνα $ABC$ να δειχθεί ότι ισχύει: $\displaystyle{(a+b+c)\left(\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}\right) = 2 c \cot\frac{C}{2}}$ Είναι $tan \dfrac{A}{2} = \dfrac{r}{ \tau -a} ,tan \dfrac{B}{2} = \dfrac{r}{ \tau -b} $ Ισχύει $cot \dfrac{C}{2} =tan( \dfrac{A}{2} + \dfrac{B}{2})= \dfrac{tan \d...

Διπλάσια χορδή 2.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ ABC$ , ο κύκλος διαμέτρου $AB$ τέμνει την υποτείνουσα $BC$ στο $T$ και την διάμεσο $BM$ στο $S$ . Κατασκευάστε το τρίγωνο με τρόπο , ώστε : $BT =2ST$ . Θεωρούμε τμήμα $AC=b$ κι έστω $M$ το μέσον του . Ο κύκλος $(M,b)$ τέμνει την κάθετη στο $AC$ στο $A$ στ...