Τμήμα και εφαπτομένη.pngΠροεκτείνω την χορδή $BA$ , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα : $AS=BA$ και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα $SP$ , το οποίο τέμνει την προέκταση της $OA$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το τμήμα $AT$ ( συναρτήσει της ακτίνας $OA=r$ ) και την $\tan\theta$ . Αν η εφ...

Καλημέρα. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}C\,\,\left( {\widehat A > {{90}^0}} \right)$ με $\widehat {\rm B} = {45^0},\,\,BC = 10$, παίρνουμε στη $BC$ σημείο ${\rm E}$ ώστε ${\rm B}{\rm E} = 4$. Εγγράφουμε τετράγωνο $ADEZ$ πλευράς α με $Z \in AC$. Να υπολογισθεί το $\left( {ABC} \...

shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος της πλευράς $AB$. Λόγω της παραλληλίας $AB//ZE$ του χαρταετού $ADEN$ και του εγγράψιμμου $ZNEC$, όλες οι μαύρες γωνίες είναι $\theta $ . Έτσι,$ZC=ZE=ZA=a$ άρα ο κύκλος $(Z,a)$ περνά από το $C$ και η $AB$ είναι εφαπτόμενή του Άρα,$AB^2=BE.BC=24\Rightar...

Το μέγιστο τραπέζιο.png Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a.$ Στα τεταρτοκύκλια $B\overset\frown{AC}, A\overset\frown{BD}$ θεωρούμε τα σημεία $S, T$ αντίστοιχα ώστε $ST||AB.$ $(\rm I)$ Να εκφράσετε το εμβαδόν του τραπεζίου $STBA$ ως συνάρτηση του ύψους του $SE=x.$ $(\rm II)$ Να δείξετε ότι το μέγισ...

Παράξενη ισότητα.pngΈνα από τα σημεία τομής των κύκλων $(O)$ και $(K)$ , είναι το $A$ . Οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο σημείο $A$ , τους ξανατέμνουν στα σημεία $P , Q$ . Ονομάζω $S$ το συμμετρικό του $A$ , ως προς το μέσο $M$ της διακέντρου $OK$ . Δείξτε ότι : $SP=SQ$ . $AOSK$ είναι παραλ/μμο,άρ...

Ο πολυμήχανος.pngΤο $M$ είναι το μέσο της $AC$ . Ας δείξουμε με διάφορους τρόπους ότι : $BM\perp AQ$ . Παρακαλείται ο κάθε λύτης να δημοσιεύσει - σε μια πρώτη φάση - μόνο μία λύση ! Με $BE \bot AC \Rightarrow 45^0+ \phi = \angle ABQ= \angle AQB=45^0+ \theta \Rightarrow \phi = \theta \Rightarrow AT ...

Αντιστροφή λόγου.pngΗ διάμεσος $CM$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο $S$ . α) Αν : $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA}{SB}$ ... β) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{AB}$ , ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ . $ \dfrac{(ACS)}{(BSC)}= \...

2024.04.07 mathematica.jpg Στο τετράγωνο του σχήματος, αν τα τμήματα $a, b$ είναι περιττοί αριθμοί με $a> b\geq 3$, δείξτε ότι το εμβαδόν $S$, του σκιασμένου τριγώνου είναι άρτιος αριθμός Ας είναι $ K,M $ οι προβολές του $L$ στις διαγωνίους $AC,BD$. Στο τρίγωνο $BLD$ με 2ο θ.διαμέσου έχουμε $a^2-b^...

Είναι γνωστό ότι $\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} = c(a + c).$ Αναρωτήθηκα τι μπορεί να συμβαίνει αν $\displaystyle 2{b^2} = c(a + c)$ και έτσι προέκυψε η παρακάτω άσκηση. Σχέση πλευρών ειδικού τριγώνου.png $CM$ είναι η διάμεσος τριγώνου $ABC$ με $\displaystyle 2{b^2} =...

Πλευρολογία.pngΣτην διαγώνιο $AC$ του - διαστάσεων $a\times b$ - ορθογωνίου $ABCD$ , εντοπίστε σημείο $K$ , τέτοιο ώστε , ο κύκλος $(K,KA)$ να εφάπτεται της πλευράς $DC$ . Αν ο κύκλος διέρχεται και από το μέσο $M$ της $AB$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{b}{a}$ . Η διχοτόμος της γωνίας $DAC$ τέμνει...

2002.png Καλημέρα. Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι $(AED)=k(ADF)$. Από CEVA παίρνουμε $ \dfrac{BQ}{QC}=k^2 $ $ \dfrac{Y}{X}=k \Rightarrow(ABD)=(k+1)X$ $ \dfrac{S}{V}=k \Rightarrow V=\dfrac{1}{k}S \Rightarrow (ADC)= \dfrac{k+1}{k}S $ $ \dfrac{(ABD)}{(ADC)}= \dfrac{BQ}{QC} =k^2 \Rightarrow \dfrac{(k+1...

2002.png Καλημέρα. Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι $(AED)=k(ADF)$. Μενέλαος στο τρίγωνο $ABF$ με διατέμνουσα $EDC$: $ \dfrac{FD}{DB}. \dfrac{BE}{EA}. \dfrac{CA}{ CF }= 1 \Rightarrow \dfrac{FD}{DB}.k.(k+1) \Rightarrow \dfrac{FD}{DB}= \dfrac{1}{k(k+1)} $ Μενέλαος στο τρίγωνο $EFB$ με διατέμνουσα $DZA$...

Ενδιάμεσο τμήμα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ οι κάθετες πλευρές $AB , AC$ έχουν μήκη $12 $ και $16$ αντίστοιχα . Η υποτείνουσα $BC$ , τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ στο σημείο $P$ , από το οποίο φέρουμε παράλληλη προς την $BA$ , η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο $T$ . Τέλος , η $BT$ τέμνει τη...

Εξαρτημένο τμήμα.pngΣτην υποτείνουσα $BC$ του τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε τμήμα : $BS=x , x<\dfrac{16}{5}$ . Η κάθετη της $AS$ στο $A$ , τέμνει την προέκταση της $BC$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το τμήμα $CT=y$ , συναρτήσει του $x$ ή βρείτε τα μήκη του $x$ , ώστε : $\dfrac{y}{x}=1$ , ή : $\dfrac{y}{x...

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με $AB||CD$ και $AD=BC$. Έστω $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων του τραπεζίου και έστω $M$ το μέσο της πλευράς $AD$. Έστω $K$ το δεύτερο σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $BCM$ με την πλευρά $AD$ ($K\ne M$). Να δείξετε ότι $OK||AB$. Φιλικά, Αχιλλέας Λόγ...

Διχοτόμος και ογδοντάρα.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , η $AD$ είναι διχοτόμος . Υπολογίστε την πλευρά $AB$ και - έστω με προσέγγιση - την γωνία $\widehat{A}$ . Θεωρώντας τον περίκυκλο του $\triangle ABC$ και του $\triangle ADC$ είναι $4.9=36=6DE$ άρα $DE=6$ και η $EC$ εφάπτεται του κύκλου $(A,D,C)$ Άρα $EC...

Σχεδόν τριχοτόμηση.pngΠάνω στην ακτίνα $OS$ του μεγάλου ημικυκλίου , το οποίο τέμνει το μικρό στο σημείο $P$ , θεωρούμε σημείο $T$ , ώστε $TP=PS$ . Η $BT$ τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο $Q$ . Δείξτε ότι : $\omega=2\theta$ . Οι $BP,OS$ είναι μεσοκάθετοι των $ST,LB$ αντίστοιχα. Έτσι,$ \angle SOB= \ang...

Δίνεται παραλληλόγραμμο $ABCD$ και σημείο $E$ στην προέκταση της πλευράς $AB$ προς το $B$ τέτοιο ώστε $BE=BC$. Έστω $X$ το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του τμήματος $AE$ με την ευθεία που διέρχεται από το $A$ και είναι κάθετη στην ευθεία $CE$. Να δείξετε ότι τα σημεία $A$, $B$, $D$, και $X$ είναι ο...

Αποπροσανατολισμός.pngΣημείο $P$ κινείται στο τόξο του κύκλου $x^2+y^2=r^2$ , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο . Η $SP$ τέμνει τον $Ox$ στο $T$ , ενώ η $WP$ τον $Oy$ , στο $Q$ . Δείξτε ότι : $(WNQ)=(QST)$ . $2(NWQ)=2(QTS) \Leftrightarrow OW.NQ=QS.TO $ άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι $ \dfrac{NQ}{Q...

Μια ορθή ακόμη.pngΣτο σκαληνό και οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ , φέραμε τα ύψη $AD , BE , CZ$ . Στην $BC$ θεωρούμε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $SC=BD$ . Ο κύκλος $(D , S , E)$ τέμνει το $AD$ , στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι : $\widehat{TZD}=90^\circ$. Λόγω των εγγράψιμμων $HZBD,DHEC,DEMS$ η ισότητα των μπλε ...