Καλησπέρα θα ήθελα ως μαθητής να εκφράσω την ανησυχία μου :?: για τα σημερινά θέματα. Πάρα πολλές πράξεις χωρίς ουσία. Αλήθεια ποια είναι η διαφορά του Θέματος Β με το Θέμα Δ1,Δ2; Υπαρχει περίπτωση κάποιος μαθητής που μπορούσε να λύσει το Θέμα Δ1,Δ2 να μην μπορούσε να λύσει το Θέμα Β.Πραγματικα λύνο...

Καλησπέρα Κύριε Δημήτρη ευχαριστώ για την ενασχόληση σας! :D Λίγο διαφορετικά απο την δική σας προσέγγιση Θα αποδείξω ότι ισχύει για κάθε $n$ Θα κάνω επαγωγή στο αριθμό των καραμελών έστω $c$. Αρχικά για $c=4$, υπάρχουν το πολύ $4$ κουτία με καραμέλες. Οι πιθανές θέσεις των καραμελών στα μη άδεια κο...

Επαναφορά!(Μιας και ο Αρχιμήδης πλησιάζει)

Να δειχθεί ότι για κάθε ακέραιο που είναι είναι square free, υπάρχει πρώτος και ακέραιος έτσι ώστε:

και

Το τρίτο κουτί πρέπει να αλλάζει ή είναι σταθερό To τρίτο κουτί είναι τυχαίο. Το ζητούμενο μπορεί να επιτευχθεί για οποιοδήποτε$n$. Αν τοποθετήσουμε των απαραίτητο αριθμό καραμέλων κατάλληλα στα κουτιά Ο αριθμός των καραμελών είναι τυχαίος και έχουν τοποθετηθεί τυχαία στα κουτιά. Ξαναδιαβάστε πιο π...

Καλησπέρα, μιας και ο Αρχιμήδης πλησιάζει προτείνω το παρακάτω, ελπίζοντας να ταυτίζεται με το επίπεδο του. Σε $n \geq 4$ κουτιά υπάρχουν (συνολικά) τουλάχιστον $4$ καραμέλες. Kάθε φορά ο Νίκος επιτρέπεται να διαλέξει $2$ κουτιά και να πάρει μία καραμέλα από το καθένα και να τις βάλει σε ένα τρίτο κ...

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Να βρεθούν όλες οι μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

Ενώ η πρόκειται για την εξίσωση του Ljunggren και η λύση της ξεφεύγει τελείως από την θεματική ενότητα.
Καλό είναι πριν προτείνετε ασκήσεις να τις λύνεται πρώτα.

ΑΣΚΗΣΗ 5

Καλησπέρα, προτείνω το παρακάτω:

Να βρεθούν όλα τα μη-σταθερά πραγματικά πολυώνυμα ώστε για κάθε ισχύει:

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Οι υπόλοιποι θα ασχολούνται με τα απολύτως αναγκαία για την επιδοσή τους στις ενδοσχολικές εξετάσεις.

Aμφιβάλλω ακόμα και για αυτό

Eξαιρετικά

Ας δούμε και την γενίκευση που δυστυχώς δεν έχω βρει κάποια προσέγγιση:

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί . Να δειχθεί ότι για κάθε πραγματικό ισχύει:

Kαλησπέρα σε όλους

Ας δούμε μία ανισότητα που προσπάθησα να λύσω σήμερα:

Έστω μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί . Να δειχθεί ότι:

Ας είναι $a,b,c > 0$ και $ab+bc+ca = 1$. Να δειχτεί ότι $\displaystyle{ \sqrt {a^3 + a} + \sqrt {b^3 + b} + \sqrt {c^3 + c}\geq2\sqrt {a + b + c}. }$ Αυτή δεν μου φαίνεται τόσο άμεση, όσο ήταν οι άλλες δύο: Γεια σας Κύριε Θάνο , ευχαριστώ για τον χρόνο σας, μάλλον έπρεπε να τα προτείνω στους junior...

Ας είναι $a,b,c > 0$ και $ab+bc+ca = 1$. Να δειχτεί ότι $\displaystyle{ \sqrt {a^3 + a} + \sqrt {b^3 + b} + \sqrt {c^3 + c}\geq2\sqrt {a + b + c}. }$ $\displaystyle{a\sqrt {a^2 + 1} + b\sqrt {b^2 + 1} + c\sqrt {c^2 + 1}\geq2 ,}$ $\displaystyle{\sqrt {a^4 + b^2} + \sqrt {b^4 + c^2} + \sqrt {c^4 + a^2...

Can an infinite set of natural numbers be found, such that for all triplets $(a,b,c)$ of it we have $abc + 1$ perfect square? Αυτή είναι η αρχική εκφώνηση του προβλήματος πρόσθεσα ότι είναι διακεκριμένοι γιατί αλλιώς γίνεται πολύ απλό.Από ότι καταλαβαίνω εννοεί αυτό που λέτε ότι όλα τα στοιχεία είνα...

Kαλησπέρα το πρόβλημα δεν είναι δικό μου, είναι απο διεθνή διαγωνισμό

Να εξεταστεί εάν υπάρχει ένα σύνολο με άπειρους θετικούς ακεραίους, ώστε για κάθε διακεκριμένα που ανήκουν σε αυτό ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο.

Για να μην μείνει αναπάντητη , αν δεν κάνω κάποιο λάθος είναι πολύ απλή.

Έστω ότι τα μεγαλύτερα καλύπτουν λιγότερα από τα τότε τα επόμενα θα καλύπτουν παραπάνω από τα . Άρα το ένατο μεγαλύτερο καλύπτει τουλάχιστον το .Άτοπο.

Demetres έγραψε:Να δειχθεί για κάθε ότι

Ισχύει αφου και

Καλησπέρα, όντως λίγο εύκολο αφού
και ικανοποιούν

Καλησπέρα , Κύριε Δημήτρη ψάχνοντας στο φάκελο βρήκα αυτό.
Αρχικά το βρήκα ενδιαφέρον αλλά μετά παρατήρησα:

H μόνη περίπτωση να πάρουμε είναι όλα να διαιρούνται από το και αφού το είναι πρώτος το ζητούμενο αποδείχθηκε.