Μου στάλθηκε από άγνωστο μου μαθηματικό (όχι Έλληνα) και δημοσιεύεται εδώ, χωρίς λύση* και χωρίς 'ιστορικό', με την άδεια του: Αν για τους μη αρνητικούς πραγματικούς $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ ισχύει η ισότητα $x_1+x_2+x_3=x_4+x_5+x_6$, τότε ισχύει και η ανισότητα $x_1^2x_4+x_2^2x_5+x_3^2x_6+4x...

Αρχικά, η $f(x)$ είναι προφανώς θετική κοντά στο $0$, όπου και θα εργαστούμε, οπότε δεν έχουμε και πρόβλημα με το πεδίο ορισμού. Άρα: $\displaystyle{ln(f(x))=\sum_{k=1}^{n}k ln(x+k)}$ Και με απλή παραγώγιση: $\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{x+k}}$ Δηλαδή με μια απλή αντικατάσ...

Ένα πραγματικά πανέμορφο θέμα που μας δώθηκε στη σχολή ως μέρος της 1ης σειράς ασκήσεων. Πρόκειται για μια πολύ απαιτητική άσκηση, που θέλει και πολύ χρόνο. Ελπίζω να αρέσει σε όποιον τυχόν ασχοληθεί με το θέμα. Αν δε δω ανταπόκριση, θα ποστάρω τη λύση μόλις μπορέσω. Θεωρούμε ένα κρυσταλλικό πλέγμα ...

Λίγο διαφορετικά: Είνια γνωστό ότι: $\displaystyle{arcsinx=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt}$ και θέτουμε: $t=ux$ οπότε: $\displaystyle{arcsinx=\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1-(ux)^2}}du}$ και τώρα αναπτύσσουμε τον όρο μέσα στο ολοκλήρωμα σε σειρά Taylor και "μαντεύουμε" (μας καθοδηγεί και η άσκηση...

2. Να υπολογιστεί το επόμενο ολοκλήρωμα: $\displaystyle{\int_{0}^{1}\left ( \sum_{\kappa=0}^{\infty }\frac{1}{2^{2\kappa}(2\kappa+1) } \binom{2\kappa}{\kappa}x^{2\kappa+1}\right )dx, \,\,\,\, \left | x \right |<1}$. Από το διωνυμικό ανάπτυγμα για $z=-\frac{1}{2}$ έχουμε: $\displaystyle{(1+x)^{-\fra...

Να αποδείξετε ότι:

Καλησπέρα.
Η άσκηση λύνεται ως έχει, αλλά δε γνωρίζω αν γίνεται με κάποιο τρόπο στα πλαίσια της σχολικής ύλης.

Πρέπει να είναι πρόβλημα του renderer. Το είδος του rendering που χρησιμοποιεί το :logo: είναι κάπως παλιό (γι'αυτό και ο κώδικας φαίνεται σαν μια φωτογραφία). Υπάρχει ένα bug, λοιπόν, στην μετατροπή του latex σε φωτογραφία, όταν γράφουμε 3 και πάνω εντολές στα ίδια "δολάρια". Το μόνο που μπορείτε ν...

Να κάνω και εγώ μια προσπάθεια. Καλησπέρα. Αφού θίξω πως βρισκόμαστε σε περιβάλλον Α' λυκείου, να ρωτήσω μία βασική μου απορία, πέραν του ότι δεν καταλαβαίνω τη λύση: Γιατί το $S_{1}$ είναι το κενό; Αφού έτσι όπως έχει οριστεί το μηδέν ανήκει σε αυτό. Καλησπέρα. Συγγνώμη από βιασύνη δεν έβαλα το άσ...

Να κάνω και εγώ μια προσπάθεια. Θεωρούμε τα σύνολα $\displaystyle{S_1=\{n\sqrt{2}\quad | \quad n\sqrt{2}\in\mathbb{N}^{*}\} , \quad S_2=\{n\sqrt{3}\quad | \quad n\sqrt{3}\in\mathbb{N}^{*}\} , \quad S_3=\{n\sqrt{5}\quad | \quad n\sqrt{5}\in\mathbb{N}^{*}\} \quad }$ και το σύνολο: $S=S_1+S_2+S_3=\{n(\...

Το κάνει οποιοδήποτε αριθμούς και να βάλω. Αυτό που λές είναι το format. Το θέμα είναι ότι αν κάνεις το συγκεκριμένο format που λες ή για κάποιο συγκεκριμένο αριθμό δεκαδικών, π.χ: b= maxvalue (n,A) print '(F5.3)',b end ή όπως μου αρέσει να το γράφω για να διαβάζεται καλύτερα: b= maxvalue (n,A) prin...

Έφτιαξα ένα απλό πρόγραμμα σε Fortran 90/95 το οποίο βρίσκει το μεγαλύτερο στοιχείο ενός συνόλου: program maximum_value_of_set integer n real b, maxvalue real, allocatable, dimension (:) :: A print *, "Give the dimension of the vector:" read *, n allocate (A(n)) do i=1,n read *, A(i) enddo b= maxval...

Επαναφορά για να δώσω και ένα hint:

Έστω $f,g$ δυο πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες για κάθε πραγματικό αριθμό $x,y$, οι οποίες ικανοποιούν την εξίσωση: $\displaystyle{f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y), \qquad\forall x,y\in\mathbb{R}}$ Αν η $f$ δεν είναι η μηδενική συνάρτηση και αν $|f(x)|\leq 1 \quad\forall x$, τότε να δείξετε ότι $|g(y)|\leq...

Η δυναμοσειρά που έγραψα παραπάνω λέγεται σειρά Mercator και προκύπτει από το θεώρημα Taylor. Επειδή όμως συγκλίνει μόνο στα $x$ που γράφω παραπάνω και κυρίως επειδή ο ρυθμός σύγκλισης είναι πολύ μικρός δεν είναι τόσο εύχρηστη. Καλύτερα να χρησιμοποιείς τη αντίστοιχη δυναμοσειρά του Euler που συγκλ...

Η δυναμοσειρά που έγραψα παραπάνω λέγεται σειρά Mercator και προκύπτει από το θεώρημα Taylor. Επειδή όμως συγκλίνει μόνο στα $x$ που γράφω παραπάνω και κυρίως επειδή ο ρυθμός σύγκλισης είναι πολύ μικρός δεν είναι τόσο εύχρηστη. Καλύτερα να χρησιμοποιείς τη αντίστοιχη δυναμοσειρά του Euler που συγκλ...

Η δυναμοσειρά που έγραψα παραπάνω λέγεται σειρά Mercator και προκύπτει από το θεώρημα Taylor. Επειδή όμως συγκλίνει μόνο στα $x$ που γράφω παραπάνω και κυρίως επειδή ο ρυθμός σύγκλισης είναι πολύ μικρός δεν είναι τόσο εύχρηστη. Καλύτερα να χρησιμοποιείς τη αντίστοιχη δυναμοσειρά του Euler που συγκλί...

Μπορείς και με σειρές Taylor.
π.χ για το

, για

Συγγνώμη και πάλι . Δε ξέρω τι σκεφτόμουνα. Ισχύει ότι:

Λάθος λύση...