1. Για $x=1$ και $y=0$ παίρνουμε $f(0)=0$. 2. Για $y=0$ έχουμε $f(x^2)=xf(x)$. Απ' αυτή έπεται ότι η $f$ είναι περιττή. Ακόμη έχουμε $f(x^2+y)=f(x^2)+f(y)$ οπότε $f(2y)=2f(y)$ για κάθε $y$. 3. Αν $y\in \mathbb R$ γράφουμε: $(y+1)(f(y)+f(1))=(y+1)f(y+1)=f(y^2+2y+1)=yf(y)+f(2y)+f(1)$ απ' όπου έπεται $...

Έστω $a=f(0)$ και $b=f(1)$. Έστω $N\in \mathbb N$ μεγάλο. Τότε, για τους αριθμούς $f(\frac{k}{2N})$, $k=1,\ldots, 2N$ έχεις ότι πέφτουν στο διάστημα $(a,b]$ και είναι $2N$ το πλήθος. Άρα υπάρχουν $1\leq k<s \leq 2N$ ώστε $f(\frac{s}{2N})-f(\frac{k}{2N})<\frac{b-a}{N}$ (από περιστερεώνα). Από υπόθεση...

Για το (β) απευθείας και το (α) έπεται. Δείχνεις ότι κατ' ανάγκην ένας από τους δυο είναι μη φραγμένος. Πρώτα βλέπεις (επαγωγικά) ότι είναι $A^nB-BA^n=nA^{n-1}$. Αυτό δείχνει ότι o $A$ δεν είναι μηδενοδύναμος. Τώρα, αν υποθέσεις ότι οι $A,B$ είναι φραγμένοι έχεις: $n\|A^{n-1}\|\leq \|A^nB\|+\|BA^n\|...

Έχουμε ότι $f(x)=f(x/3)+f(2x/3)$. Επαγωγικά δείχνεις ότι: $f(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k} f \left( \frac{2^k}{3^n}x \right).$ Επίσης, είναι $f(y)/y\to \lambda:=f'(0)$. Σταθεροποίησε $x\neq 0$ και τυχόν $\varepsilon>0$. Υπάρχει $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ ώστε $|f(y)/y-\lambda|<\varepsilon$ για κά...

Alex με επαγωγή. Για $\nu=1$ ισότητα. Υποθέτεις ότι το έχεις για $\nu$, οπότε για $\nu+1$ θα πάρεις: $\prod_{j=1}^{\nu+1}(1-y_j^\mu) &\geq (1-y_{\nu+1}^\mu)\left( 1-(1-x_1\ldots x_\nu)^\mu \right)$. Θέτεις $p:=x_1\ldots x_\nu$ οπότε αρκεί να δείξεις $(1-(1-x_{\nu+1})^\mu)(1-(1-p)^\mu) \geq 1-(1-px_{...

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\tau=g\circ g$. Αυτή είναι γνησίως αύξουσα με πεπερασμένα το πλήθος σταθερά σημεία και $f=f\circ \tau$. (α) Έστω $p$ το μεγαλύτερο σταθερό σημείο της $\tau$. Τότε, $\tau (x)\neq x$ για κάθε $x>p$. Μπορείς να υποθέσεις ότι $\tau(x)<x$ για κάθε $x>p$, αλλιώς δουλεύεις με την $\t...

Πρώτα απ' όλα βλέπουμε ότι η $f$ είναι 1-1 σε καθένα από τα $(-\infty,0]$ και $[0,+\infty)$, άρα και γνησίως μονότονη σε καθένα από αυτά. 1. Η $f$ δε μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα και στα δυο. Αλλιώς, θα ήταν γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb R$ κι επομένως η συνάρτηση $f\circ f+f$ θα ήταν γν. αύ...

Ορέστη, κλασική είναι αυτή. Είναι παράδειγμα συνάρτησης που είναι ασυνεχής ακριβώς στους ρητούς. Δες εδώ.

Υπάρχει συνάρτηση που να είναι συνεχής στους ρητούς και ασυνεχής στους άρρητους;

Για το ΙΙ. θεώρησε την ακολουθία $x_n=\frac{1}{n}e_n$ στον $\ell_2$ και πάρε $K=\{x_n : n\in \mathbb N\}\cup \{0\}$. Παρατήρησε ότι το ${\rm co} K$ περιέχει μόνο τελικά μηδενικές ακολουθίες και αν πάρεις την $(y_n)$ με $y_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} x_k$, τότε $y_n\in {\rm co} K$, αλλά $y_n\to y\in...

Δε χρειάζεται νομίζω ο τελεστής να είναι φραγμένος. Δες προσεκτικά την απόδειξη του Skoufrani (ένα δισδιάστατο επιχείρημα είναι) ή αν θες εδώ.

Αν $x\neq y$ τότε $|f(x)-f(y)|\geq 1$. Για κάθε $x\in \mathbb Z^2$ θέτουμε $B_x=\{z\in \mathbb Z^3 : |z-f(x)|<1/2\}$. Οπότε, αν $x,y \in \mathbb Z^2$ τότε $B_x\cap B_y =\emptyset$. Τώρα, δες ότι για κάθε $N\in \mathbb N$ αν $x,y\in [0,N)^2\cap \mathbb Z^2$ τότε $|f(x)-f(y)|\leq C(2N)^\alpha$. Αυτό σ...

Ξερεις ότι υπάρχει $0< \lambda < \infty$ ώστε $|f(x)|\leq \lambda |x-\xi|$ για κάθε $x$. Άρα, $|\varphi'(t)|\leq \lambda |\varphi(t)-\xi|$ για κάθε $t$. Τότε, φθάνεις στην (κλασική) άσκηση που λέει: Άσκηση. Έστω $g:[a,b]\to \mathbb R$ παραγωγίσιμη στο $[a,b]$ με $g(a)=0$ και $|g'|\leq \lambda |g|$. ...

Να κάνω μια προσπάθεια. Θεωρούμε την αριθμητική εικόνα του $T$: $\theta(T):=\{\langle x,Tx\rangle \mid \|x\|=1\}$. Κατόπιν, το επόμενο αποτέλεσμα του Hausdorff θα φανεί χρήσιμο: Λήμμα (Hausdorff). Το $\theta(T)$ είναι κυρτό. Αν λοιπόν $\theta(T)\neq \mathbb C$ τότε περιέχεται σε κάποιο ημίχωρο και θ...

Κώστα έχω γράψει παραπάνω πώς γίνεται. Αν θέλετε πιο λεπτομερής απόδειξη ευχαρίστως τη γράφω.

Αν έχει ελάχιστο στο $x_1\in(a,b)$ και μέγιστο στο $b$ , τότε , λόγω του ότι η $f$ είναι επί , για κάθε $b-a>\varepsilon>0$ υπάρχει $x_2\in(a,b)$ ώστε $f(x_2)=b-\varepsilon$ . Αλλά $|f(x_2)-f(x_1)|<|x_2-x_1| \Leftrightarrow |b-a-\varepsilon|<|x_1-x_2| \Leftrightarrow b-a-\varepsilon<|x_1-x_2|$ που ...

Έχεις δίκιο, δεν το έχω γράψει καλά, εννοώ τη συνεχή έκδοση. Μπορείς λοιπόν να πεις ότι επειδή είναι μονότονη και φραγμένη ότι επεκτείνεται σε συνεχή και να δουλέψεις με τη συνεχή επέκταση. Ή ότι αυτή είναι η μόνη περίπτωση που περιγράφεις αφού αν για πάραδειγμα είναι $f'(x)>1$ τότε $f((a,b))=(a,b)$...

Άμα είναι συνεχής στο $[a,b]$ προκύπτει απλά: Από ΘΜΤ στο $[a,b]$ βρίσκεις $|f'(\xi_1)|=\left|\frac{f(a)-f(b)}{a-b} \right|\leq 1$ αφού $f([a,b])\subseteq [a,b]$. Από την άλλη μεριά εφόσον είναι επί υπάρχουν $x_1,x_2\in [a,b]$ ώστε $f(x_1)=a$ και $f(x_2)=b$. Πάλι από ΘΜΤ, τώρα στο $[x_1,x_2]$, βρίσκ...

Έστω φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε για κάθε . Δείξτε ότι η είναι πολυώνυμο με .

Έστω χώρος Hilbert και γραμμικός τελεστής ώστε για κάθε . Δείξτε ότι ο είναι φραγμένος.

Αυτό είναι άλλη μορφή του Φασματικού θεωρήματος. Το έχει και ο P. Lax στο βιβλίο του. Αρκεί να το δείξεις για πολυώνυμο που είναι γινόμενο δυο πολυωνύμων σχετικά πρώτων και μετά η επαγωγή θα δώσει αυτό που θες. Λήμμα. Έστω $p,q$ πολυώνυμα στο $\mathbb C[x]$ χωρίς κοινή ρίζα. Γράφουμε $N_{pq}$ για το...