Δεν υπάρχει σημείο του άξονα $x$, του οποίου οι αποστάσεις από όλες τις κορυφές του τετραγώνου $(\pm1,\pm1)$ να είναι ρητοί αριθμοί. Ακολουθεί η απόδειξη:

Έστω ένα σημείο $P=(x,0)$ στον άξονα $x$. Οι δύο διαφορετικές (ίσες ανά ζεύγος) αποστάσεις του από τις κορυφές είναι:

$\displaystyle
d_1 ...

Δίνεται μια σειρά επτά αριθμών όπου το άθροισμα τους είναι 2024 και κάθε δύο γειτονικοί αριθμοί διαφέρουν κατά $\pm 1$. Ο στόχος είναι να βρεθεί ο μεσαίος αριθμός της σειράς. Εάν υπάρχουν δύο ή περισσότερες πιθανές λύσεις, θα προσδιοριστούν όλες.

Έστω ότι οι αριθμοί της σειράς είναι $a_1, a_2, a_3 ...

Η λύση της άσκησης, η συγγραφή και η εκτέλεση του κώδικα πραγματοποιήθηκε εξ ολοκλήρου με τη χρήση του μοντέλου o1-mini

Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να ισχύει η εξίσωση:

$\displaystyle
|x| + |y| + |z| + |x + y + z| = |x + y| + |y + z| + |z + x|
$

όπου οι $x$, $y$ και $z$ επιλέγονται ...

Η OpenAI φέρνει επανάσταση στα μαθηματικά με τη νέα σειρά μοντέλων "OpenAI o1", σχεδιασμένα να σκέφτονται περισσότερο πριν απαντήσουν. Με ενισχυμένη ικανότητα επίλυσης πολύπλοκων προβλημάτων, τα μοντέλα αυτά είναι ιδιαίτερα ικανά στα μαθηματικά, επιτυγχάνοντας 83% επιτυχία σε εξετάσεις της Διεθνούς ...

achilleas έγραψε: Παρ Μάιος 14, 2021 11:41 pm ΘΕΜΑ 3 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
...

Η περίπτωση που το Δ είναι εξωτερικό της πλευράς ΑΓ δεν πρέπει να μελετηθεί;

(Η αλήθεια είναι ότι η λύση δεν προχωρά «ομαλά»σε αυτή την περίπτωση )

Οι καιροί αλλάζουν, δεν έχει σημασία αν αλλάζουν προς το καλύτερο ή προς το χειρότερο, το βέβαιο είναι ότι αλλάζουν. Δεν είμαι ειδήμων στο τι συμβαίνει στο σύνολο των μαθηματικών τμημάτων διεθνώς, αλλά από τα λίγα που έχω αναζητήσει φαίνεται να λειτουργούν με τρόπους διαφορετικούς από αυτούς που ...

Ευχαριστούμε πολύ!!!

Δυνατή!

image.jpg

Προσωπικά με βόλεψε (από θέμα πράξεων) να δουλέψω με τη γωνία $B\widehat{A}C=\phi$ ως βασική παράμετρο.
Έστω $A\left ( x_{A},y_{A} \right )$ και $B\left ( x_{B},y_{B} \right )$ οι συντεταγμένες των σημείων $A$ και $B$ αντίστοιχα και $E$ το ζητούμενο εμβαδόν.
Παρατηρούμε ότι ...

Αρχικά βολεύει να δουλέψουμε στο S.I. οπότε θα έχουμε $u_{max} = 40\, m/s$ και $a_{max} = \frac{50}{9}\, m/s^{2}$.
Αφού $u(0)=0$ θα έχουμε:

$\displaystyle u(t)=\int_{0}^{t}a(s)ds\leq \int_{0}^{t}\frac{50}{9}ds=\frac{50}{9}t$

και

$\displaystyle u(t) \leq 40$

Επομένως για τη συνάρτηση της ...

Ωραία λύση! Thanks...

Το σημείο Γ κινείται στο ημικύκλιο ακτίνας 1 του σχήματος. Αν (K,R) ο εγγεγραμμένος κύκλος του ΑΒΓ, να βρεθεί η μέγιστη τιμή του γινομένου . Ποιο τρίγωνο δίνει την μέγιστη τιμή;

1) Τα δύο τεταρτοκύκλια $ABF$ και $CDE$ έχουν σταθερό εμβαδόν το οποίο ισούται με $(ABF)+(CDE)= \frac{\pi}{2}$. Για το εμβαδόν του χωρίου $BCEF$ έχουμε:

$\displaystyle (BCEF) = FE \cdot BC - \frac{\pi R^{2}}{2}=2R-\frac{\pi R^{2}}{2}$

Επομένως το εμβαδόν $E$ του χωρίου $A B C D E F$ εκφράζεται ...

1) Δίνεται το χωρίου $A B C D E F$ του σχήματος που αποτελείται από δυο τεταρτοκύκλια $A B F$, $C D E$ και το ορθογώνιο $B C E F$ από το οποίο έχει αφαιρεθεί το ημικύκλιο $( O , R )$.
Να βρεθεί η τιμή της ακτίνας $R$ ώστε το χωρίο να έχει το μέγιστο εμβαδόν.

1.jpg

2) Αν το χωρίο $A B C D E F ...

Καλημέρα, το συγκεκριμένο μοντέλο (αν το κατάλαβα σωστά) είναι σχετικά απλό αλλά δεν ξέρω κατά πόσο η λύση του θα είναι ικανοποιητική και εφαρμόσιμη σε ‘πραγματικές συνθήκες’. Θα φανεί παρακάτω τι εννοώ…
Αρχικά οι δύο μεταβλητές που θέλεις να προσδιορίσεις είναι οι $\alpha _{\pi _{20}}$ και $\alpha ...

Λαμβάνοντας υπόψιν την προηγούμενη παρατήρηση προκύπτει ότι $K \Lambda = AB(2-d)$ αφού $\Gamma\Lambda = AB = KE$ και $\Gamma E / AB = d$. Όμοια μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις πλευρές του εσωτερικού πενταγώνου. Παρατηρούμε ότι το εσωτερικό πεντάγωνο είναι όμοιο με το αρχικό με λόγο αναλογία ...

Μία παρατήρηση που μπορεί να βοηθήσει για τη συνέχεια ...

Ας ξεκινήσουμε την κατασκευή ενός πενταγώνου με την ιδιότητα: Η κάθε διαγώνιος είναι παράλληλη στην απέναντι πλευρά.
Τότε θα πρέπει ΕΓ//ΑΒ, $\varepsilon_{1}$//BE, $\varepsilon_{2}$//AE, $\varepsilon_{3}$//ΒΓ και $\varepsilon_{4}$//ΑΓ ...

Η μέγιστη τιμή είναι πάλι η $\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ όμως το πεντάγωνο που ορίζει η συγκεκριμένη λύση δεν είναι κανονικό.
Υπάρχουν ισχυρές ενδείξεις ότι ο μέγιστος λόγος είναι $\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$ άλλα υπάρχουν παραπάνω από ένα πεντάγωνα που μεγιστοποιούν τον λόγο στην παραπάνω τιμή. Τίθεται ...

Η εντολή NMaximize (η οποία προσεγγίζει υπολογιστικά κάποιο τοπικό μέγιστο) για την συνάρτηση των έξι μεταβλητών έδωσε το ακόλουθο αποτέλεσμα:

Μετά από παρότρυνση του Κυρίου gbaloglou επιχείρησα να προσεγγίσω μια συνολική απάντηση στο θέμα χρησιμοποιώντας ως υπολογιστικό εργαλείο την Mathematica. Αρχικά επαλήθευσα την ειδική περίπτωση για τα ισοσκελή πεντάγωνα με χρήση της εντολής Maximize η οποία λύνει το πρόβλημα με αλγεβρικές μεθόδους ...

Η mathematica πάντως δίνει όλες τις ρίζες με ριζικά