Θεωρούμε μια συνάρτηση $f$, κοίλη στο $[a,b]$ με $f(a)<0, f(b)>0$. Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα. (Εξετάζει Bolzano ή ΘΕΤ, ορισμό κοίλης και θ.Rolle με τη λύση μου) Δ.2 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την ευθεία $AB$ για κάθε $x \in(a,b)$,...

Θεωρούμε μια συνάρτηση $f$, κοίλη στο $[a,b]$ με $f(a)<0, f(b)>0$. Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα. (Εξετάζει Bolzano ή ΘΕΤ, ορισμό κοίλης και θ.Rolle με τη λύση μου) Δ.2 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την ευθεία $AB$ για κάθε $x \in(a,b)$,...

Θα βάλω αυτό που έβαλα στο διαγώνισμα προσομοίωσης του σχολείου μου, σχολιάζοντας ενδιάμεσα και στο τέλος το σκεπτικό μου. Θα χαρώ να ακούσω γνώμες (όχι απαραίτητα θετικές). Τα ερωτήματα Δ1 και Δ3 τα σκέφτηκα μόνος μου (αν και δεν αποκλείω να υπάρχει κάτι αντίστοιχο κάπου, είναι πολύ "λιτές" προτάσ...

Σημείωση εκ των προτέρων: Αν τυχόν και τα Δ1, Δ3 είναι γνωστά ερωτήματα που υπάρχουν ήδη, παρακαλώ μη χιμήξετε , είμαι ειλικρινής ότι δεν τα πήρα από κάπου. Κατά τα άλλα, κράξτε ελεύθερα ! Δεν μπορώ να καταλάβω για τι ανθρώπους μας έχετε περάσει. Δεν νομίζετε ότι είναι λίγο προσβλητικό να χρησιμοπο...

Θα βάλω αυτό που έβαλα στο διαγώνισμα προσομοίωσης του σχολείου μου, σχολιάζοντας ενδιάμεσα και στο τέλος το σκεπτικό μου. Θα χαρώ να ακούσω γνώμες (όχι απαραίτητα θετικές). Τα ερωτήματα Δ1 και Δ3 τα σκέφτηκα μόνος μου (αν και δεν αποκλείω να υπάρχει κάτι αντίστοιχο κάπου, είναι πολύ "λιτές" προτάσε...

2) Το όριο στο Γ3 έπρεπε να δίνεται ότι είναι πλευρικό. Σε 3 μήνες που το παιδί θα είναι στο πανεπιστήμιο, η σωστή απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα είναι "το όριο δεν ορίζεται". Για τις ανάγκες της Γ' Λυκείου το βιβλίο έχει κάνει τη ΣΥΜΒΑΣΗ ότι στα άκρα το ταυτίζουμε (εκτιμώ για να μην εισάγει έννοιε...

Προφανώς και το όριο μια χαρά ορίζεται.(τουλάχιστον στα κανονικά Μαθηματικά) Να με συγχωρήσετε αλλά δεν έχω καμία διάθεση να σας πείσω. Σημειώνω μόνο ότι αν αυτό που λέτε είναι σωστό τότε στο Απειροστικός Λογισμός Τόμος Ι Σ.Νεγρεπόντης Σ.Γιωτόπουλος Ε.Γιαννακούλιας στην σελίδα 302 16.14 Παράδειγμα ...

Η γνώμη μου για τα θέματα και τα δικά μου παράπονα: 2) Το όριο στο Γ3 έπρεπε να δίνεται ότι είναι πλευρικό. Σε 3 μήνες που το παιδί θα είναι στο πανεπιστήμιο, η σωστή απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα είναι "το όριο δεν ορίζεται". . Μήπως μπορείτε να μας πείτε σε ποιο Πανεπιστήμιο θα το πουν αυτό; Έχε...

Η γνώμη μου για τα θέματα και τα δικά μου παράπονα: Για τα θέματα Α και Β δεν έχω να πω πολλά. Μια χαρά θέματα μου φαίνονται. Στο Β ζητάει κάμποσα σε σχέση με το περσινό, αλλά δεδομένου ότι έχουμε εύκολες συναρτήσεις είναι, νομίζω, οκ. Στο θέμα Γ έχω τις εξής δύο διαφωνίες: 1) Είναι φανερό σε μένα ό...

Πολύ ωραίος ο Βασίλης!

Επαναφορά για το Β

Ωραίος, Βασίλη!

Ratio, σωστές οι ασύμπτωτες, αλλά στο εμβαδό, αν και βρίσκεις το σωστό ολοκλήρωμα, κάτι πρέπει να είναι λάθος στους υπολογισμούς, νομίζω στο ολοκλήρωμα που βγαίνει μετά την παραγοντική (Αν και μάλλον βγαίνει και με παραγοντική).

(Δικής μου κατασκευής, ελπίζω να σας αρέσει) Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+ \infty ) \to R$ για την οποία ισχύουν: 1) $lim_{x \to 0^{+}} f(x) = - \infty , lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ 2) $f''(x)=- \frac {f'(x)}{e^{f(x)}}$ για κάθε $x \in (0,+ \infty )$ Α) Να αποδείξετ...

5) Από τα δεδομένα προκύπτει ότι $G(x)= \int _0^x g(t)dt$ και $F(x)= \int_1^x f(t)dt$ , καθώς τα ολοκληρώματα είναι επίσης παράγουσες των $f(x),g(x)$ οπότε θα διαφέρουν κατά μία αντίστοιχη σταθερά από τις $F(x),G(x)$, που όμως είναι μηδενικές με βάση τα δεδομένα $F(1)=0, G(0)=0.$ Στο $G(-1)=\int _0^...

Ευχαριστούμε για τις ωραίες ασκήσεις!

Θα γράψω το συντομότερο μία λύση για τα 5-7.
(Ελπίζω να είναι ΟΚ με Equation)

Το 4 είναι σίγουρα σωστό; Ίσως εγώ δεν καταλαβαίνω κάτι καλά, γιατί με μια πρώτη ματιά δε βλέπω πώς μπορεί να βρεθεί το πρόσημο.

Πάλι τα ίδια και φέτος με τη θεωρία... Γράφει κάποιος το κριτήριο για να είναι κοίλη αντί για τον ορισμό. Τι του δίνουμε; 0,1,2 μόρια; Εγώ τείνω προς το 1, γιατί "κάτι έγραψε,κλπ", αλλά δεν μπορώ να πω και τίποτα σε κάποιον που θα βάλει 0. Και, δεδομένου ότι ο συγκεκριμένος "ορισμός" δεν είναι ο σωσ...

Παιδιά ήμαρτον με αυτό το Α4γ... Στα Μαθηματικά, $max\{5,5,5,5,5,5\}=5$ Αν θέλετε ισοδύναμη ερμηνεία από την ελληνική γλώσσα, σκεφτείτε την εξής πρόταση: "Ο πωλητής θα λάβει ως μισθό το μεγαλύτερο από: 1) τον βασικό μισθό και 2) το 10% της αξίας των πωληθέντων προϊόντων" Αν τα 1 και 2 βγουν ίσα, πόσ...

Ακριβώς. Αποδεικνύει ότι ισχύει η ισότητα για μια συνάρτηση που ΞΕΡΕΙ ότι είναι παράγουσα από προηγούμενο θεώρημα, αλλά δεν την έχει συσχετίσει με τη δοθείσα παράγουσα. Αν έκανε και το επιπλέον (ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ!) βήμα να πει ότι αυτή που θεώρησε διαφέρει κατά c από αυτή που του δόθηκε, η απόδειξη θα ήταν ...

Ή είναι σωστή η απόδειξη οπότε ο μαθητής θα πρέπει ν α πάρει όλα τα μόρια ή είναι λάθος οπότε δεν παίρνει κανένα μόριο, το να δώσουμε τα μισά είναι κατά την άποψή μου μεσοβέζικο και αντιεπιστημονικό, σαν να λέμε... ολίγον έγκυος .... Επί του θέματος , προς το παρόν το ψάχνω Από Μαθηματικής απόψεως ...

Προσωπικά θα έδινα κάποια (λιγότερα από τα μισά) μόρια. Δεν είναι μόνο ότι δεν κάνει την απόδειξη του βιβλίου, αλλά η απόδειξή του δεν είναι πλήρης. Η εκφώνηση του θεωρήματος υποθέτει ότι ΜΑΣ ΕΧΕΙ ΔΟΘΕΙ η παράγουσα, ενώ ο μαθητής θεωρεί (και αποδεικνύει) το θεώρημα για κάποια παράγουσα που θεώρησε α...