Ωραία λύση Ηλία! Δεν έχω να προσθέσω τίποτα!

Και η δικιά μου προσέγγιση περίπου ίδια είναι...το αφήνω λίγο μήπως βρεθεί κατι αλλο και θα τη γράψω μετά αν και διαφέρει σε λίγα πράγματα..

Σχετικά εύκολη αλλά έχει το κόλπο της...εκτός αν δε βλέπω κατι απλό.

Έστω ακολουθία γνήσια θετικών όρων.

Αν η συγκλίνει

Να δειχθεί ότι η αποκλίνει.

Οκ! στον ενικό λοιπόν!

Γρηγόρη έγινες απόλυτα κατανοητός! Αρκετά διδακτικό το λάθος μου...
Στο μέλλον θα 'μαι πιο προσεκτικός. Ευχαριστώ πολύ για τη διασαφήνιση της κατάστασης και τη διδακτική παρέμβαση!

Κύριε Γρηγόρη αν κατάλαβα καλά το πρόβλημα στη λύση μου είναι ότι ενώ εξαρτώνται τα c,d από τα a,b αντίστοιχα, πιθανώς τα c,d να μη διατρέχουν όλο το G... Πως ξέρετε όμως ότι τα $a*x^{-1},b*x^{-1}$ διατρεχουν όλο το G με την ίδια λογική;; Εννοώ ότι μου είπατε ότι θα πρεπε να ξεκινήσω από τη σχέση αν...

Δίνω και την προσέγγισή μου στο β) Ελπίζω να ναι σωστή γιατί έχω ένα θέμα ως προς την ορθότητα της απόδειξης της αντίστροφης πρότασης! Αν η $(G,*)$ είναι αβελιανή τότε ισχύει $a*b=b*a \forall a,b\in G$ οπότε $a\oplus b=(a*x)*b=b*(a*x)=b*x*a=b\oplus a$ άρα η $(G,\oplus)$ είναι αβελιανή. Αν η $(G,\opl...

Μάνο, πολύ ωραία και αναλυτικά. Νομίζω όμως πως λείπει κάτι. Έχεις δείξει πως το x' είναι «δεξιά ουδέτερο», δηλαδή a \oplus x' = a για κάθε a \in G. Χρειάζεται να δείξεις πως είναι και αριστερά ουδέτερο. Το ίδιο και με το αντίστροφο στοιχείο. Χρειάζεται να δείξεις πως είναι και αριστερά αντίστροφο....

Μια προσέγγιση για το α) Με συγχωρείτε σε περίπτωση λάθους γιατί είμαι καινούριος στον τομέα. Η πράξη $\oplus$ είναι καλώς ορισμένη αφού αν υπήρχαν $c,d\in G$ ώστε $(a\oplus b=c)\wedge (a\oplus b=d)\Rightarrow (a*x*b=c)\wedge (a*x*b=d)$ που είναι άτοπο διότι η $*$ είναι καλώς ορισμένη επί του $G$ Tώ...

Κι εγώ νομίζω υπάρχει λάθος στην απόδειξη.. Ο αρχικός ισχυρισμός είναι σωστός αλλά δε μπορούμε να διακρίνουμε μόνο αυτές τις δυο περιπτώσεις αφού είναι πιθανόν να ισχύει $((f(x)-f(y))\geq 0\wedge (yf(x)-xf(y))\leq 0)\forall x,y\in A\subseteq (0,+\infty)$ και $((f(x)-f(y))\leq 0\wedge (yf(x)-xf(y))\g...

Ιάσονα και Ράνια παλεύω και εγώ για την άσκηση του Τάκη και ψάχνω (αν και δευτεροετής...)..Παιδιά ο Τάκης είπε ότι θα χει σχέση με αυτούς τους αριθμούς όχι ότι θα ναι στάνταρ ένα πρόγραμμα που τους εντοπίζει και τους εμφανίζει..Εν πάση περιπτώσει εγώ αυτό που δεν κατάλαβα είναι γιατί επιλέγουμε πχ ...

γνωρίζουμε ότι το ημίτονο είναι περιττή συνάρτηση άρα και συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων και το συνημίτονο άρτια, άρα κανονικά το δεύτερο ολοκλήρωμα δεν θα έπρεπε να είναι 0; Κώστα καλησπέρα! Η υπό ολοκλήρωση μεταβλητη Ω μετέχει στη ολοκληρωτέα εκτός απ το ημίτονο και στον παρονομαστή... $s...

Χρόνια πολλά κι από μένα στους εορτάζοντες του !!

Τρία ατομα λένε τα ίδια με διαφορετικό τρόπο στο ίδιο λεπτό!!

Δίνω υπόδειξη!!

Θεωρησε την και παραγώγισε..τι παρατηρείς;;

Καλή επιτυχία και από εμένα σε όλη την ομάδα!!
Αναμένουμε και να δουμε τα θέματα...

Αν το x είναι τέτοιο ώστε $f'(x)=0$ τότε η ανισότητα κρατάει ως ισότητα! Σταθεροποιούμε ένα x (εάν υπάρχει) ώστε να είναι f'(x)<0 και από ΘΜΤ στο $[x+f'(x), x]$ είναι $f(x)-f(x+f'(x))=-f'(c)f'(x)$ για κάποιο c ωστε $x+f'(x)<c<x$ και $f'(c)\leq f'(x)<0$. άρα $f(x)-f(x+f'(x))=-f'(c)f'(x)<0$ που είναι ...

Αυτή ήταν η λύση με Μενέλαο και stewart;;καταπληπτική αλλά δε θα το κανα ποτέ, τουλάχιστον για τώρα! κύριε Αχιλλέα ευχαριστούμε για την πλήρη shortlist! κι εγώ θέλω να δω λύση με μιγαδικούς...είμαι περίεργος να δω τι σκαρφίστηκε! Κύριε Μιχάλη έψαχνα τι μου θύμιζε αυτό το σημείο..Gergonne όντως!! Ομο...

KapioPulsar έγραψε: (αα και το ακομα πιο χαζο ειναι το να σου κοβουνε επειδη ελυσες με διακρινουσα -.-' )

Νίκο, δε νομίζω να σου κοψαν από κει...μπορώ σχεδόν να το αποκλείσω!

Ας δοκιμάσω μια λύση με πιθανότητα λάθους 35,34672%(ακριβώς!) :lol: Έστω $C$ o εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και $C_a$ ο παρεγγεγραμμένος κύκλος απέναντι από το $A$..Έστω επίσης ότι οι ανωτέρω κύκλοι εφάπτονται της $BC$ στο $K$ και $L$ αντιστοίχως, και ακόμη ότι ο $C_a$ εφάπτεται των $AB$ ,$BC$ ...

Το θεωρώ απαράδεκτο να συμβαίνει. Η διαφορά των 18 μονάδων στα μαθηματικά είναι τεράστια και δείχνει τουλάχιστον .......... προχειρότητα. Πραγματικά, είναι απαράδεχτο δεδομένου ότι τα μαθηματικά είναι μάθημα με μηδενικό(σχεδόν) βαθμό υποκειμενικότητας στη διόρθωση! Οτιδήποτε είναι ή σωστό ή λάθος..