ΑΣΚΗΣΗ 467: Αν $\displaystyle{a,b,c \in Z}$ και $\displaystyle{(a,b,c)=d}$ , τότε ν αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{k\in Z}$ , ώστε:

$\displaystyle{(ab,bc,ca)=kd^2 }$

Καλησπέρα σε όλους. Μια λύση:

Θέτουμε:

$\displaystyle {a = xd}$
$\displaystyle {b = yd}$
$\displaystyle {c = zd}$

Τότε ...

AΣΚΗΣΗ 1005
Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases} a\sqrt{b}=a+c \\ b\sqrt{c}=b+a \\ c\sqrt{a}=c+b \end{cases}}$


Μια διαφορετική προσέγγιση:

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $\displaystyle {a \geq b \geq c \geq 0}$

Προφανές είναι ότι $\displaystyle {a + b \geq a + c ...

AΣΚΗΣΗ 986
Βρείτε όλες τις τριάδες πρώτων $(p,q,r)$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ 3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26.}$


Υποθέτουμε ότι $\displaystyle {p, q, r \neq 3}$.

Τότε έχουμε:

$\displaystyle {p^4 \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow 3p^4 \equiv 3 \equiv 0 (mod 3)}$
$\displaystyle {q^2 \equiv 1 (mod 3 ...

AΣΚΗΣΗ 984
Έστω $\displaystyle{m\in \mathbb{N}^*.}$ Με $\displaystyle{m?}$ συμβολίζουμε το γινόμενο των πρώτων (=τακτικό αριθμητικό) $\displaystyle{m}$ πρώτων(=όχι σύνθετων) αριθμών.
Έχει λύσεις η εξίσωση $\displaystyle{m?=n^4+6n^3+11n^2+6n}$ όταν $\displaystyle{n\in \mathbb{N}}$;


Καλησπέρα σε ...

AΣΚΗΣΗ 443 ( Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{m^2 -k^2 =2}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\sqrt{m^2 +4}-k\geq \sqrt{k^2 +8}-m}$ , όπου $\displaystyle{m,k >0}$

Η υπόθεση γίνεται $m^2 = k^2 + 2$
Η ανίσωση προς απόδειξη γίνεται $\sqrt {k^2 + 6} - k \geq \sqrt {k^2 + 8} - \sqrt {k^2 + 2}$
Θα την ...

ΑΣΚΗΣΗ 438: ( Γ Γυμνασίου) Έστω $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{x+1} , x>0}$. Δείξτε ότι:

$\displaystyle{f(1.3).f(2.4).f(3.5). ... .f(2014.2016) >\frac{1}{2}}$

H παράσταση γίνεται: $\dfrac {1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot ... \cdot 2014 \ cdot 2016}{(1 \cdot 3 + 1)(2 \cdot 4)...(2014 \cdot ...

ΑΣΚΗΣΗ 439: ( Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{n\in N}$ και αν $\displaystyle{x=2n+1 , y=3n+2 , z= 4n+3}$, να αποδείξετε ότι ο

αριθμός $\displaystyle{A=\sqrt{\frac{[x,y]+[y,z]}{2}}$, είναι φυσικός.

Καλημέρα.
Θα ξεκινήσουμε με το $[x, y] = [2n + 1, 3n + 2]$. Θέτουμε $\delta = (x, y) = (2n + 1, 3n ...

1. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση $\displaystyle{( |x| -1)^2 = 2x +\alpha}$ , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$.


1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x\geq 0}$. Tότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{x^2 -4x+1-a=0}$ και έχει διακρίνουσα ...

ΑΣΚΗΣΗ 416: Με πόσους τρόπους μπορεί να συμπληρωθεί το ποσόν των $\displaystyle{300}$ ευρώ, χρησιμοποιώντας ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα

των $\displaystyle{20}$ ευρώ και ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα των $\displaystyle{50}$ ευρώ.


Έχουμε την εξίσωση $20x + 50y = 300$, όπου $x$ ο αριθμός των ...

ΑΣΚΗΣΗ 416: Με πόσους τρόπους μπορεί να συμπληρωθεί το ποσόν των $\displaystyle{300}$ ευρώ, χρησιμοποιώντας ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα

των $\displaystyle{20}$ ευρώ και ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα των $\displaystyle{50}$ ευρώ.


Υπάρχει περιορισμός στα ποια χαρτονομίσματα ή κέρματα πρέπει να ...

ΑΣΚΗΣΗ 417: Ένας χωρικός πουλάει κότες, χήνες και πάπιες. Κάθε κότα στοιχίζει $\displaystyle{10}$ ευρώ, κάθε πάπια $\displaystyle{12}$ ευρώ και

κάθε χήνα $\displaystyle{15}$ ευρώ. Ένας πελάτης διαθέτει ακριβώς $\displaystyle{240}$ ευρώ και θέλει να αγοράσει $\displaystyle{20}$ πτηνά, με την ...

AΣΚΗΣΗ 413: Να λυθεί στο σύνολο των ακεραίων η εξίσωση $\displaystyle{2x+9y=11}$


Παρατηρούμε ότι $y = 2k + 1$.*
Για $y = 1$: $2x + 9 = 11 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1$
Οι υπόλοιπες τιμές του $x$ δίνονται από τον τύπο: $1 + 9t, t \in Z$
Και οι υπόλοιπες τιμές του $y$ δίνονται από ...

2. Να προσδιορίσετε την τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ , αν το σύστημα $\displaystyle{\left\{\alpha(x^2+y^2)+2x+y=\lambda , 2x-y =-\lambda\right\}}$ $\displaystyle{ (\Sigma)}$
έχει λύση στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , για κάθε τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{\alpha ...

ΑΣΚΗΣΗ 412: Αν $\displaystyle{k|a^2 -b}$ και $\displaystyle{k|b^2 -a}$, ($\displaystyle{k\in Z}$), δείξτε ότι οι αριθμοί $\displaystyle{A=ab^2 +a^2 b}$ και $\displaystyle{B=a^2 +b^2}$ με $\displaystyle{a,b\neq 0}$

διαιρούμενοι με το $\displaystyle{k}$ , δίνουν το ίδιο υπόλοιπο.

Ας υποθέσουμε ...

ΑΣΚΗΣΗ 411: Αν $\displaystyle{n\in N}$ δείξτε ότι ο αριθμός $\displaystyle{3^{2n+2}+2^{6n+1}}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{11}$

Ας θέσουμε $A = 3^{2n+2}+2^{6n+1}$
Πρέπει να αποδείξουμε ότι $A = \pi o \lambda 11$
Η παράσταση γίνεται $A = 3^{2n+2}+2^{6n+1} =9^n \cdot 9 + 64^n \cdot 2 = (11 ...

Διπλασιασμός.png Στο δεύτερο ορθογώνιο του σχήματος (το πράσινο ) , το μήκος έχει αυξηθεί κατά $25\%$ σε σχέση με το πρώτο.

Ποια είναι η ποσοστιαία αύξηση του πλάτους , αν το μεγάλο ορθογώνιο έχει διπλάσιο εμβαδόν από το μικρό ?

Παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του πρώτου ορθογωνίου είναι $E_1 = xy ...

Πέρασα στην επόμενη φάση! Συγχαρητήρια σε όλους, ανεξαρτήτως επιτυχίας ή όχι!

Χρόνια πολλά σε όλους τους εορτάζοντες και ιδιαίτερα στον κ. Μπάμπη Στεργίου με υγεία και δημιουργικότητα.

Με εκτίμηση,
Νίκος

Βρήκα και για αυτόν τον ισχυρισμό μια λύση.
Αν οι όροι του $S$ είναι άρτιοι, τότε προφανώς θα τελειώνει σε $-1$. Άρα, δημιουργούνται $n$ ζευγάρια $1 - 1$. Άρα, $S (2n) = 0$
Αν όμως οι όροι είναι περιττός αριθμός, τότε θα υπάρχουν τα $n$ ζευγάρια $1 - 1$ και ένας ακόμη άσος. Άρα $S (2n + 1) = 1 ...

Ένα ενδιαφέρον βίντεο για τον υπολογισμό της παράστασης
$S=1-1+1-1+1-1+1......$

http://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4

Βρήκα και για αυτόν τον ισχυρισμό μια λύση.
Αν οι όροι του $S$ είναι άρτιοι, τότε προφανώς θα τελειώνει σε $-1$. Άρα, δημιουργούνται $n$ ζευγάρια $1 - 1$. Άρα, $S (2n) = 0 ...