.
Ανόμοια αλλά ίσα.png
.
Στο σχήμα πόσο μέρους του κύκλου καλύπτει η έγχρωμη επιφάνεια ; ( πράσινη )

Υπάρχει σε πολλά βιβλία . Πρώτη φορά το $1994$, πρώτο τεύχος του περιοδικού $Quantum$.


Τη βλέπω πρώτη φορά

Λόγω των σημειωμένων γωνιών $45^0$ είναι προφανές ότι $A,O,D$ είναι διάμετρος

Ισχύει ...

.
Ανόμοια αλλά ίσα.png
.
Στο σχήμα πόσο μέρους του κύκλου καλύπτει η έγχρωμη επιφάνεια ; ( πράσινη )

Υπάρχει σε πολλά βιβλία . Πρώτη φορά το $1994$, πρώτο τεύχος του περιοδικού $Quantum$.

Ανόμια.png
.
Χωρίς πολλά λόγια αφού η εικόνα τα λέει όλα. H ιδέα είναι να χωρίσουμε τα δύο ανόμια σχήματα ...

Ανόμοια αλλά ίσα.png
Είναι $W_1=(W_1+G_1)-G_1=\frac{r^2}{2}\left[( \frac{\pi}{2}+x_1)-\sin(\frac{\pi}{2}+x_1)\right]-\frac{r^2}{2}\left[ x_1-\sin(x_1)\right]=\frac{r^2}{2}\left[( \frac{\pi}{2}+x_1)-\cos(x_1)\right]-\frac{r^2}{2}\left[ x_1-\sin(x_1)\right]=\frac{r^2}{2}\left[ \frac{\pi}{2}-\cos(x_1 ...

Στιγμιότυπο οθόνης 2026-08-05 210125.png
Θα αποδείξουμε πρώτα ότι TP^2=AT^2+PD^2
Φέρουμε EA και BD . Είναι τότε EA \perp BC και BD \perp CE επειδή BC||ED και BA||EC όπως προκύπτει από τις εντός εναλλάξ γωνίες ABC , BCE, CED που είναι ίσες. Επίσης είναι BC, EC αντιστοίχως διχοτόμοι των ορθών ...

. .
Στο σχήμα πόσο μέρους του κύκλου καλύπτει η έγχρωμη επιφάνεια ; ( πράσινη )

Υπάρχει σε πολλά βιβλία . Πρώτη φορά το , πρώτο τεύχος του περιοδικού .

... το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου ;


Καλησπέρα...

Παραθέτω το ακόλουθο σχήμα με ανάλογες σημειώσεις για τη λύση στο αρχικό ερώτημα.

Σχήμα

Ανόμοια αλλά ισοδύναμα 1.png



Για το δεύτερο ερώτημα στο επόμενο σχήμα:

Ανόμοια αλλά ισοδύναμα 2.png

Από προφανείς ομοιότητες προκύπτει ...

Ανόμοια αλλά ισοδύναμα.png$\bigstar$ Στο ορθογώνιο $ABCD$ του σχήματος , εξηγήστε γιατί η πράσινη και η γαλάζια περιοχή έχουν το ίδιο εμβαδόν .

Ερώτημα προς μεγαλύτερους : Πόσο είναι το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου ;


$\displaystyle (DLN) = \frac{1}{2}LN \cdot DA = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{3 ...

Στο ορθογώνιο του σχήματος , εξηγήστε γιατί η πράσινη και η γαλάζια περιοχή έχουν το ίδιο εμβαδόν .

Ερώτημα προς μεγαλύτερους : Πόσο είναι το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου ;

Ανόμοια αλλά ίσα γινόμενα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , η $BM$ είναι διάμεσος και η $CD$ διχοτόμος .

Αν : $AB\cdot CD= AC\cdot BM$ , υπολογίστε το : $\sin B$ .


Η δοθείσα σχέση γράφεται, $\displaystyle \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{B{M^2}}}{{C{D^2}}} = \dfrac{{{c^2} + \dfrac{{{b^2}}}{4 ...

Στο ορθογώνιο τρίγωνο , η είναι διάμεσος και η διχοτόμος .

Αν : , υπολογίστε το : .

Ανόμοια αλλά ισοδύναμα.pngΣημείο $S$ κινείται στην διαγώνιο $AC$ του τετραγώνου $ABCD$ , έτσι ώστε η $DS$ να τέμνει την πλευρά $BC$

στο $P$ και την προέκταση της $AB$ στο $T$ . Βρείτε την θέση του $S$ , για την οποία : $(DCS)=(PBT)$ .

Υπενθυμίζεται ότι εξισώσεις τρίτου ή τετάρτου βαθμού ...

Ανόμοια αλλά ισοδύναμα.pngΣημείο $S$ κινείται στην διαγώνιο $AC$ του τετραγώνου $ABCD$ , έτσι ώστε η $DS$ να τέμνει την πλευρά $BC$

στο $P$ και την προέκταση της $AB$ στο $T$ . Βρείτε την θέση του $S$ , για την οποία : $(DCS)=(PBT)$ .



Χωρίς βλάβη το τετράγωνο έχει πλευρά $1$, άρα οι κορυφές του ...

Ανόμοια αλλά ισοδύναμα.png Σημείο $S$ κινείται στην διαγώνιο $AC$ του τετραγώνου $ABCD$ , έτσι ώστε η $DS$ να τέμνει την πλευρά $BC$

στο $P$ και την προέκταση της $AB$ στο $T$ . Βρείτε την θέση του $S$ , για την οποία : $(DCS)=(PBT)$ .

Υπενθυμίζεται ότι εξισώσεις τρίτου ή τετάρτου βαθμού ...

Όμορφη κι αυτή

Ανόμοια δίδυμα.pngΣτο πρώτο παραλληλόγραμμο αναζητούμε ( κατασκευαστικά ) , σημείο $S$ της $CD$ , τέτοιο ώστε : $AS=AB+SD$ .

Στο δεύτερο παραλληλόγραμμο αναζητούμε σημείο $S'$ της $C'D'$ , τέτοιο ώστε : $A'B'=A'S'+S'D'$ .

΄.
ανόμοια γ.png
.
Για το πρώτο (όμοια το δεύτερο, αλλά θα αναρτήσω ...

Το πρώτο ερώτημα είναι η άσκηση στην σελίδα αυτού του βιβλίου του Ι. Μαντά ( χωρίς λύση ) .

Είχα την τύχη να είμαι μαθητής στο φροντιστήριο του Ι. Μαντά για πέντε μήνες ( το ) .

Δεν γνώρισα εντυπωσιακότερο διδάσκοντα Μαθηματικών !

Ο κύκλος , τέμνει την στο σημείο . Η τέμνει την στο ζητούμενο σημείο .

Μάλλον αυτό.... Στο κέντρο του παραλληλογράμμου φέρουμε κάθετο στη , η οποία τέμνει την ευθεία στο .

Από το φέρουμε παράλληλο στο η οποία τέμνει την στο ζητούμενο σημείο .

Η δεύτερη είναι πιο εύκολη, με την ίδια λογική.... την αφήνω για τη χαρά να τη βρείτε :D
Αυτή είναι μια απλή λύση για το β) . Υπάρχει απλούστερη λύση και για το πρώτο ερώτημα !


Θανάση Καλημέρα. Αυτό σκεφτόμουν για το β) ( Το Ο είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου ). Για το α) δεν ξέρω αν ...

abgd έγραψε: Δευ Δεκ 15, 2025 6:55 pm Η δεύτερη είναι πιο εύκολη, με την ίδια λογική.... την αφήνω για τη χαρά να τη βρείτε

Αυτή είναι μια απλή λύση για το β) . Υπάρχει απλούστερη λύση και για το πρώτο ερώτημα !