mathematica.gr

nikoszan

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 863:

Aν οι είναι πραγματικοί αριθμοί με και $ax^2+bx+c\geq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R},$ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\dfrac{a+b+c}{b-a}.$

ΑΣΚΗΣΗ 863:
Όμορφη!!!
Έχουμε $\left\{ \begin{array}{l} a{x^2} + bx + c \ge 0,\forall x \in R\\ a < b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {b^2} - 4ac \le 0\\ 0 < a < b \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} c \ge \frac{{{b^2}}}{{4a}}\left( { > 0} \right)\\ 0 < a < b \end{array} \right.$ .Θέτω b - a = x > 0

, οπότε είναι b = a + x

και

$\frac{{a + b + c}}{{b - a}} \ge \frac{{a + b + \frac{{{b^2}}}{{4a}}}}{x} = \frac{{a + \left( {a + x} \right) + \frac{{{{\left( {a + x} \right)}^2}}}{{4a}}}}{x} =$ $\frac{{9{a^2} + 6ax + {x^2}}}{{4ax}} = \frac{{6ax + \left( {{{\left( {3a} \right)}^2} + {x^2}} \right)}}{{4ax}} \ge \frac{{6ax + 2\left( {3a} \right)x}}{{4ax}} = 3$ ,

με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν $\left\{ \begin{array}{l} c = \frac{{{b^2}}}{{4a}}\\ 3a = x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = \frac{{{b^2}}}{{4a}}\\ 3a = b - a \end{array} \right. \Leftrightarrow b = c = 4a\left( { > 0} \right)$ .
Άρα $\min \left( {\frac{{a + b + c}}{{b - a}}} \right) = 3$ , μόνο όταν b = c = 4a > 0

Ν.Ζ.
Λίγο διαφορετικά ... $4a + c \ge 2\sqrt {4ac} \ge 2\sqrt {{b^2}} = 2b \Rightarrow a + b + c \ge 3\left( {b - a} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{b - a > 0} \frac{{a + b + c}}{{b - a}} \ge 3$ ...

ΑΣΚΗΣΗ 863:

Aν οι a,b,c

είναι πραγματικοί αριθμοί με a<b

και $ax^2+bx+c\geq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R},$ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\dfrac{a+b+c}{b-a}.$

ΑΣΚΗΣΗ 864:

Bρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους για τους οποίους ο αριθμός $\dfrac{2^n+3^n}{2^{n-2}+3^{n-2}}$ είναι ακέραιος.

Η αναζήτηση βρήκε 2 εγγραφές: 863

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο