Τετράγωνο σε παραβολή.png Η παραβολή του σχήματος είναι της μορφής : $f(x)=ax^2+bx+c$

και διέρχεται από τις κορυφές $A,B,C$ του τετραγώνου $ABCD$ .

α) Βρείτε σημείο $S$ της παραβολής , τέτοιο ώστε : $SB\perp DB$ .

β) Ο άξονας συμμετρίας της...

13 μοίρες.png Μετά από προσπάθειες δεκαετιών , ο διάσημος Πέρσυς μαθηματικός Καρχάρι , κατάφερε

σήμερα , να κατασκευάσει την γωνία των $13^0$ . Δείτε το σχήμα . Η συνέχεια είναι απλή .

Διάκεντρος.png Οι κύκλοι $(O , 3)$ και $( K , 4)$ τέμνονται στα σημεία $A , B$ . Από σημείο $S$ του $(O)$

φέρω τις $SA , SB$ οι οποίες τέμνουν τον $(K)$ στα σημεία $ T , P$ . Αν η χορδή $TP$

έχει απόστημα $2$ , υπολογίστε την διάκεντρο $OK$ .

Αγαπητοί φίλοι,
ζητώ τη γνώμη σας για μία άσκηση.
Βρίσκεται (λυμένη) σε ένα βιβλίο. Δεν αναφέρω τώρα το συγγραφέα του για να μην σας επηρεάσω!

Παρακαλώ, επίσης, όποιον δώσει λύση, ας μην αναφέρει ακόμα την πηγή.

Επισκέπτεται κάποιος το σπίτι...

Αν : $\sqrt{(x+1)(6x^3+7x-7)}=(2x+\sqrt{x}-1)(2x-\sqrt{x}-1)$ ,

υπολογίστε την υπόρριζη ποσότητα του α' μέλους της εξίσωσης .

Μήπως γίνεται να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης πάνω στον κύκλο; Η άσκηση είναι :
Έστω η ευθεία $\varepsilon =\lambda x$
όπου $\lambda \neq 2$
και το σημείο $\Phi(1,2)$.
Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του $\Phi '$
ως προς την ευθεία...

Διπλάσια χορδή 2.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ ABC$ , ο κύκλος διαμέτρου $AB$ τέμνει την υποτείνουσα $BC$ στο $T$

και την διάμεσο $BM$ στο $S$ . Κατασκευάστε το τρίγωνο με τρόπο , ώστε : $BT =2ST$ .

Χαιρετώ όλους!

Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$ και $M$ το μέσον της $BC$. Το $E \in AC$ ώστε $\hat{EMC}=60^o $ και $N$ το μέσον του $EM$.

Ι) Να κατασκευαστεί (με κανόνα-διαβήτη) τρίγωνο $ABC$ με τα ως άνω δεδομένα , τέτοιο ώστε να ισχύει $BN=2AN$...

Δίνεται ο αριθμός

$\displaystyle{A=\underset{n}{\underbrace{11...1}} }$.

Να βρεθεί εκείνος ο παλινδρομικός αριθμός $\displaystyle{B}$ ο οποίος να έχει το ίδιο άθροισμα ψηφίων

με τον αριθμό $\displaystyle{A}$ και να έχει ελάχιστο πλήθος ψηφίων....

Λόγου χάριν.png
$N$ είναι το μέσο ημικυκλίου διαμέτρου $AB$ και $M$ το μέσο του τόξου $\overset\frown{NB}.$ Η παράλληλη από το $M$

στην $AB$ τέμνει την $AN$ στο $T$ και ο κύκλος $(A, AN)$ την $AB$ στο $P.$ Να βρείτε το λόγο $\dfrac{(TPB)}{(TMN)}.$

Να αποδειχθει οτι γσε καθε ορθογωνιο τριγωνο ισχυει (γ/υ)^2 < (εφθ)^2 + (σφθ)^2 οπου θ μια μη ορθη γωνια του τριγωνου και υ το υψος του τριγωνου το οποιο δε ταυτιζεται με μια απτις πλευρες του.

Αναλογία και εφαπτομένη.png Η $ST$ είναι εφαπτομένη και η $SPQ$ τέμνουσα του ημικυκλίου διαμέτρου $AOB$ .

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{QT}{TP}$ , καθώς και την απόσταση του $P$ από την διάμετρο .

Με αφορμή παλιές και καινούργιες συζητήσεις εδώ και εδώ ... προτείνω την εξής 'ανοικτή παραλλαγή':

Να βρεθούν η ακτίνα και το κέντρο του 'δισεφαπτόμενου' κόκκινου κύκλου, θεωρώντας γνωστά τα κέντρα και τις ακτίνες των μαύρων κύκλων και τα σημεία...

Να βρεθεί το πλήθος των ψηφίων και στη συνέχεια το άθροισμα των ψηφίων αυτών του αριθμού:

$\displaystyle{A=(111)(\underset{100}{\underbrace{11...1}}) }$

Αφορμή η άσκηση:

Μια μη παράλληλη μια βάση και μια διαγώνιος.png Οι πλευρές του τριγώνου $ABC$ είναι γνωστές . Συμπληρώστε το τραπέζιο $ABCD$

με κατάλληλη βάση $AD=x$ , έτσι ώστε ο λόγος $\dfrac{DB}{DC}$ , να ισούται με : $\dfrac{3}{2}$ .

Ένα δωρεάν μάθημα (MOOC) για τις εφαρμογές του Chatgpt στην εκπαίδευση απο τον Panagiotis Tsiotakis (Μελος ΕΔΙΠ Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου).
Απαιτείται λογαριασμός στην εν λόγω πλατφόρμα.

Link--->

Συμβολίζουμε με $\alpha$ την θετική ρίζα του δευτεροβάθμιου τριώνυμου $x^2+x-5$. Το πολυώνυμο $P(x)$ έχει ακέραιους μη αρνητικούς συντελεστές και $P(\alpha)=49$. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του αθροίσματος των συνελεστών του πολυώνυμου $P$....

Πάνω από 2.png Στο τρίγωνο $ABC$ με : $b=a+1 , c=a-1 , a>4$ , το σημεία $O , H$ είναι το περίκεντρο

και το ορθόκεντρο αντίστοιχα . Αποδείξτε η καταρρίψτε τον ισχυρισμό ότι : $\lim\limits_{a \to +\infty}(OH) =2$

Να λυθεί στους πραγματικούς

$\displaystyle 256^y = \frac{1}{y}$

Η συνάρτηση $f(x)$ είναι ορισμένη στους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς και λαμβάνει τιμές στους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς. Να βρείτε την τιμή $f(2024)$, αν είναι γνωστό ότι για κάθε μη μηδενικό φυσικό αριθμό $n$ ικανοποιούνται $f(n+1) > f(n)$...

Ο Geoffrey Hinton εφηύρε τον αλγόριθμο της οπισθοδιάδοσης; Όχι ακριβώς. Παρόλο που ο Hinton έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην προώθηση της χρήσης του στις νευρωνικές δικτυώσεις τη δεκαετία του 1980, ο ίδιος ο αλγόριθμος προϋπήρχε κατά δεκαετίες—και το...

Καρτεσιανή κατασκευή.png $\bigstar$ Σχεδιάστε την - μη κατακόρυφη - χορδή $AB$ του κύκλου : $x^2+y^2=25$ ,

η οποία διέρχεται από το σημείο $S(-3 , 2 )$ και έχει μήκος $(AB)=8$ .

Ο καινούργιος σκακιστικός πεσσός γύπας μπορεί να κινείται είτε κατά ένα κελί αριστερά, είτε κατά δυο κελιά δεξιά και ένα προς τα πάνω, είτε κατά δυο κελιά προς τα πάνω και ένα δεξιά. Όλες οι δυνατές κινήσεις ενός γύπα, που βρίσκεται στο κελί...

Επικίνδυνη επαφή.png Σε κύκλο $(O,r)$ είναι προ - σχεδιασμένες οι διαδοχικές χορδές : $AB=3,2$ και : $BC=4$ .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο $B$ τέμνει την παράλληλη από το $C$ προς την $AB$ στο σημείο $S$ .

α) Υπολογίστε το τμήμα $CS$ ... β) Αν...