Υψηλές προσδοκίες.png Σημείο $S$ κινείται στο εσωτερικό τμήματος $AB$ . Σχεδιάζουμε το ημικύκλιο διαμέτρου $SB$ ,

προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $AP$ και έστω $T$ η προβολή του $P$ στην $AB$ .

Βρείτε το $\sin\widehat{PAB} $ , κατά την...

Μετά τον Πάπα που είναι μαθηματικός έχουμε και πρόεδρο Μαθηματικό στην Ρουμανία.Και με 2 χρυσά στην ΙΜΟ... :roll:

Παραγωγή ισοπλεύρου.png Το σημείο $M$ είναι το μέσο της βάσης $BC$ , τριγώνου $ABC$ . Εντοπίστε σημεία $S , T ,$

των πλευρών $AB , AC$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε το τρίγωνο $MST$ να είναι ισόπλευρο .

Ομοιότητες και διαφορές.png Τα τρίγωνα $BTS$ και $BSC$ είναι όμοια . Υπολογίστε τα τμήματα $x , y$ .

Ισότητα για όλους.png $\bigstar$ Στις πλευρές $Ox , Oy$ της γωνίας $\widehat{O}$ , θεωρούμε σημεία $A , B$ , αντίστοιχα και φέρουμε

κάθετες προς αυτές , οι οποίες τέμνονται στο σημείο $T$ . Οι διχοτόμοι των γωνιών $\widehat{O}$ και $\widehat{T}$ ,...

LXXXVIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
16 Μαρτίου 2025 $\cdot $ 11η τάξη, 1η μέρα

Πρόβλημα 1. Στο κοινό συμπόσιο ψευτών (πάντα λένε ψέματα) και κυρίων (πάντα λένε την αλήθεια) μαζεύτηκαν $100$ συμμετέχοντες, μεταξύ των οποίων δεν είναι όλοι ψεύτες...

Δίνεται η εξίσωση : $\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{x+3}+\dfrac{4}{x+4}=\dfrac{m}{x+n} , m,n \in \{ 5 , 6 , 7 , 8 ,... \}$ .

α) Βρείτε την τιμή του $m$ , για την οποία η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες άνισες .

Με δεδομένο ότι το $m$ είναι αυτό που...

Α) Δείξτε ότι το πολυώνυμο : $P(x)=x^3+2x^2-11x-6$ , έχει μόνο μία θετική ρίζα .

Ισότητα ανομοίων .png Β) Αν στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $AB=2$ , η διχοτόμος $BD$ είναι ίση

με την διάμεσο $CM$ , υπολογίστε - έστω κατά προσέγγιση - την...

Εάν το πρόβλημα έχει ξανατεθεί από άλλο μέλος, παρακαλώ να διαγραφεί από τους διαχειριστές.
Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ. Δίνεται, επίσης, κύκλος κ και σημείο Α' εκτός του κύκλου κ.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Γ', όπου Α'Β'Γ' τρίγωνο...

Δίνεται η εξίσωση : $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{x+3}=\dfrac{m}{x+4}$ .

α) Να λυθεί η εξίσωση αν : $m=10$ .

β) Για ποιες τιμές του $m \in \mathbb{R}$ , η εξίσωση έχει και θετική λύση ;

2001.PNG

Δείτε την παρακάτω ακολουθία θετικών ακεραίων : $3 , 6 , 9 , 12 ,16 , X , 24 , 28, ....$

Θα περίμενε κανείς ο $X$ να είναι ο $20$ . Είναι όμως ο $19$ . Γιατί άραγε ;

Συμπληρώνω : Κάθε όρος της ακολουθίας είναι το ακέραιο μέρος ενός όρου άλλης...

Χλωμή ισότητα.png Στην εφαπτομένη στο άκρο $B$ της διαμέτρου $AKB$ ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο $S$

και ονομάζουμε $T$ την τομή του τόξου με την $SK$ .

Μπορούμε να εντοπίσουμε κατασκευαστικά το $S$ . έτσι ώστε να προκύψει : $AT=ST$ ;

Για την ορθή πας μακριά.png Το σημείο $M$ είναι το μέσο της ακτίνας $OA=r$ , ενός κύκλου , ενώ το $S$ σημείο στην προέκταση της $OA$ . Φέρουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα $SP , ST$ . Η $TM$ τέμνει την $SP$ στο $Q$ . Για ποια θέση του $S$ προκύπτει :...

Καταλαβαίνω ότι το Μαθηματικό στο Καρλόβασι αντιμετωπίζει πρόβλημα επιβίωσης...
Πόσοι μπορούν να πάνε για σπουδές στη Σάμο ;
Ελάχιστοι ασφαλώς...
Ακόμα κι ενταχθεί στο 4ο πεδίο, το πρόβλημα της απόστασης από τις πιο πολλές περιοχές της χώρας...

Για την δεύτερη θέση.png Εξωτερικά του τετραγώνου $ABCD$ και με διάμετρο την $BC=a$ , σχεδιάζουμε ημικύκλιο . Σημείο $S$

κινείται επί της $BC$ και η $AS$ , τέμνει το τόξο στο σημείο $S'$ . Προφανώς όταν το $S$ συμπέσει με το

μέσο $M$ , θα είναι...

Έστωσαν $\gamma_1$ και $\gamma_2$ οι λογαριθμικές σπείρες με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις $\gamma_1({t})=\big({({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\cos{t},({-1+\alpha^{\frac{2t}{\pi}}})\sin{t}}\big)$, $t\in[{0,+\infty})$, και...

Δίνεται $C^{1}$ συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ η οποία:

$\bullet$ έχει απείρου πλήθους κρίσιμα σημεία

$\bullet$ δεν είναι σταθερή σε κανένα μη τετριμμένο διάστημα.

Να αποδειχθεί ότι το σύνολο των δεξιά απομονωμένων κρισίμων σημείων...

Άσκηση στην παραγωγή λόγου.png Στον κύκλο $(O , 4)$ είναι σχεδιασμένη χορδή $BC$ , με απόστημα $1$ . Θεωρούμε σημείο $A$ του μείζονος

τόξου . Η διχοτόμος $AD$ του τριγώνου $ABC$ τέμνει τον κύκλο στο $S$ , ενώ η διάμεσος $AM$ , στο $T$ .

Να βρεθεί...

(Αναρτώ εκ νέου την παρακάτω άσκηση και την λύση της, γιατί σβήστηκε για κάποιον τεχνικό λόγο).

Έστω $a_1, a_2, \, ... \,, \, a_n \ge 0$ και $a_1+ a_2 + ... + a_n =1$.

Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης $a_1 a_2 + a_2a_3+a_3a_4+ ... +a_{n-1} a_n...

Διπλή πρόδος.png Σχεδιάστε ορθογώνιο τρίγωνο , του οποίου οι πλευρές $CA , AB , BC$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και

στη συνέχεια εντοπίστε σημείο $S$ της υποτείνουσας $BC$ , ώστε για τα τμήματα $CS ,AS , BS$ , να συμβαίνει το ίδιο .

Ο τρισεφαπτόμενος.png Με κέντρο σημείο $K$ , της πλευράς $BC=a$ , τετραγώνου $ABCD$ , γράφω κύκλο $(K , KC)$ , του οποίου η ακτίνα $r$

είναι μικρότερη του $\dfrac{a}{2}$ . Η $DK$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $S$ , έξω από το τετράγωνο . Η...

Βρείτε το κουμπί της.png Σημείο $S$ βρίσκεται στην ακτίνα $OC=5$ ενός κύκλου , που είναι παράλληλη προς την χορδή $AB=6$ .

Οι $BS , AS$ , ξανατέμνουν τον κύκλο στα σημεία $Q , P$ αντίστοιχα , ενώ οι $QP , AB$ , τέμνονται στο $T$ .

Για ποια θέση...

Στο συνημμένο αρχείο θα βρείτε την εργασία μας (μαζί με τη Μαρία Σαμπάνη και τον Χρήστο Κυριαζή) στην 15η Μαθημακή εβδομάδα με τίτλο:

Παραβολές και γνώση: καινοτόμες προσεγγίσεις στη διδασκαλία των μαθηματικών

Δυστυχώς, δεν υπάρχουν ακόμα...