Δίνεται ένα τετράγωνο με κορυφές στα σημεία $(\pm1, \pm1)$. Υπάρχει άραγε στον άξονα των τετμημένων σημείο, οι αποστάσεις του οποίου από όλες τις κορυφές είναι ρητοί αριθμοί;

Ακραίες καταστάσεις.png $\bigstar$ Σημείο $S$ , κινείται στην πλευρά $BC$ του διαστάσεων $a\times b$ , ορθογωνίου

$ABCD$ . Η κάθετη του τμήματος $AS$ στο $S$ , τέμνει την $CD$ στο σημείο $T$ .

Υπολογίστε το ελάχιστο του $DT$ και το μέγιστο του...

Κατασκευή τετραπλεύρου.png Σχεδιάστε αυτό το δισορθογώνιο τετράπλευρο $OASB$ , με εμβαδόν $23$ .

Δύο γωνίες.png Στο τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο $S$ . Η παράλληλη από το $B$ , προς

την $SA$ , τέμνει την ακτίνα $OS$ στο σημείο $B$ . α) Υπολογίστε την γωνία $\widehat{SBT}$ .

β) Για ποια θέση του $S$ , προκύπτει :...

Δίνεται τετράπλευρο με διαδοχικές πλευρές μήκους $1,2,4,3$
Έστω $\color{red}r$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
Να προσδιοριστεί το infimum και το supremum της $\color{red}r$

LI Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Κέντρο Σείριος, Σότσι 16-22 Απριλίου 2025
Θέματα της πρώτης μέρας για την 9η τάξη.

1. Σε ένα ορθογώνιο φύλλο χαρτί φέρθηκαν μερικά τμήματα, παράλληλα προς τις πλευρές του. Αυτά τα τμήματα διαμέρισαν το ορθογώνιο...

Ισότητα τμημάτων όχι , γωνιών ναι.png Από σημείο $S$ της κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το άκρο $A$ του μεγάλου άξονα

της έλλειψης $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ , φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα $SP$ . Εξετάστε εάν

είναι :...

Έστω $A,B$ μιγαδικοί $n\times n $ πίνακες τέτοιοι ώστε ο $I_n+A$ να είναι αντιστρέψιμος και $AB+A=B^2+B$.

Έστω επίσης $k$ η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής $\lambda =-1$ στο φάσμα του $B$.

Να δειχθεί ότι $\text{rank}(A-B)=k$.

LI Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Κέντρο Σείριος, Σότσι 16-22 Απριλίου 2025
Θέματα της δεύτερης μέρας για την 9η τάξη.

1. Έστω $P_{1}(x)$ και $P_{2}(x)$ δυο μονικά δευτεροβάθμια τριώνυμα, ενώ $A_{1}$ και $A_{2}$ οι κορυφές των παραβολών...

Ομόκεντρα ημικύκλια.png Τα ομόκεντρα ημικύκλια του σχήματος , έχουν διαμέτρους : $AOB=10$ και : $COD=6$ . Στο μεγάλο

ημικύκλιο κινείται σημείο $S$ και η μεσοκάθετος του $CS$ , τέμνει τα δύο τόξα στα σημεία $P $ και $T$ , όπως

φαίνεται στο σχήμα...

Δίνεται ένα μη κενό υποσύνολο $A$ του $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ με την ιδιότητα ότι όλα τα στοιχεία του περιέχουν ρητούς αριθμούς

$\forall x(x\in A \rightarrow x\cap\mathbb{Q}\ne\emptyset)\quad\color{red}(*)$

Να δειχθεί ότι για το $A$ υπάρχει...

Εξαρτημένο από λόγο.png
Στην πλευρά $DC$ τετραγώνου $ABCD$ πλευράς $a$ κινείται σημείο $E$ με $DE=x.$ Από το έγκεντρο $K$ του τριγώνου

$ADE$ φέρνω παράλληλη στην $AB$ που τέμνει τη διαγώνιο $AC$ στο $L.$ Αν $(KLBA)=5(KLCD),$ να βρείτε το

$x$...

Δύο φίλοι, ο Μάνος και ο Δημήτρης έχουν ο καθένας τους κοκόρια, πάπιες και γαλοπούλες.
Γνωρίζουμε ότι:
* Ο αριθμός των πουλερικών του Μάνου, είναι ο ίδιος με αυτόν του Δημήτρη.
* Οι πάπιες του Δημήτρη είναι διπλάσιες και οι γαλοπούλες οι μισές από...

Που είναι το κέντρο ;.png Θεωρώντας ως αρχή το σημείο $P$ και ως οριζόντιο άξονα την ευθεία $AB$ , προσδιορίστε

τις συντεταγμένες του κέντρου $K$ , του κύκλου που ορίζεται από τα σημεία : $S , T , Q$ .

( Το αποτέλεσμα να δοθεί ως συνάρτηση του...

Εξάρι.png $\bigstar$ Στην βάση $BC=8$ , του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ , πλησιέστερα προς το $C$ , θεωρούμε σημείο $S$ , από

το οποίο φέρουμε τμήματα : $SP \parallel CA$ και : $ST \parallel BA$ . Υπολογίστε το $BS=x $ , ώστε : $(SPT)=6$ .

Άσκηση της κατηγορίας : Όποιος δεν έχει βάσανα και θέλει ν' αποκτήσει ...
Βάσανα.png Στην προέκταση της ακτίνας $BD$ , κύκλου $(B , r)$ , θεωρούμε σημείο $C$ , από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα $CA$ . Από το μέσο $M$ του $AC$ , φέρουμε :...

εδώ
και
εδώ των ομογενών

Καλή Ανάσταση!

Διπλάσιο της χορδής.png
Έστω $M$ το μέσο ενός τμήματος $OK$ και $N$ το μέσο του $OM.$ Γράφω τους κύκλους $(O, OM), (K, KN) $

και ονομάζω $A$ ένα κοινό σημείο τους. Φέρνω το κοινό εφαπτόμενα τμήμα $ST$ που βρίσκεται πλησιέστερα...

LXXXVIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
16 Μαρτίου 2025 $\cdot $ 10η τάξη

Πρόβλημα 1. Ο δούκας Αθροισμάτορ διάλεξε μερικούς πραγματικούς αριθμούς (τουλάχιστον ένα, αλλά μπορεί και άπειρο πλήθος). Το ίδιο έκανε και ο δούκας Αφαιρέτορ. Προέκυψε ότι αν...

O Αγγλος Πουριτανός George Swinnock στο έργο του The Blessed and Boundless God σημειώνει ότι

“God is an infinite sphere, whose center is everywhere, and whose circumference is nowhere.”

Μετάφραση :

'Ο Θεός είναι μια άπειρη σφαίρα, της οποίας...

Τι τύχη !.png Στις πλευρές $AB , AC$ , του ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε τυχόντα σημεία $P , T$ αντίστοιχα .

Οι προεκτάσεις των $BC , PT$ , τέμνονται στο σημείο $S$ . Υπολογίστε την διαφορά : $\dfrac{BS}{BP}-\dfrac{CS}{CT}$ .

Η άστατη μεσαία.png Τριγώνου $ABC$ , με : $c
γωνία θα μειωθεί ενώ η μικρότερη θα αυξηθεί . Μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για την μεσαία ;

Βρείτε την μεσαία πλευρά $b$ , αν :...

Τελειοποίηση τετραπλεύρου.png Σίγουρα δεν σας αρέσει το σχήμα του τετραπλεύρου $ABCD$ . Η απαρέσκειά σας θα αρθεί ,

αν περιγράψετε σ' αυτό , ένα τετράγωνο $PTSQ$ . Υπολογίστε το : $(PTSQ)$ . Ευχές !

Συνευθειακότητα και αναλογία.png Από σημείο $A$ , εξωτερικό του κύκλου $(O,r)$ , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα : $AB,AC$ . Από σημείο $S$ της προέκτασης

της χορδής $BC$ , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ . Οι $BT , CT$ τέμνουν τις $AC , AB$ , στα...