Να βρεθεί, εφόσον υπάρχει, συνεχής συνάρτηση $f:\left \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε:

$\displaystyle{\left | \int_{-1}^{0}f(t)\mathrm{d}t-\int_{0}^{1}f(t)\mathrm{d}t \right |=\int_{-1}^{1}\left |f(t) \right |\mathrm{d}t=1}$

Φιλικά,
Μάριος.

Ισότητα από παράκεντρα.png
Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο $ABCD (AB>CD)$ και $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων. Ονομάζω $I$ το

$A-$παράκεντρο του τριγώνου $AOB$ και $J$ το $D-$παράκεντρο του τριγώνου $DOC.$ Να δείξτε ότι $CI=BJ.$

Καλησπέρα, δεν γνωρίζω αν έχει μπει στην σωστή κατηγορία...

Για δύο αριθμούς $x,y \in R$ ισχύουν ${x^3} + {y^2} > 4$ και ${x^2} + {y^3} > 4$. Να αποδείξετε ότι $x + y > 1$.

Αξιοποιώντας τα σύγχρονα τεχνολογικά εργαλεία , δημιουργούμε την γραφική παράσταση κάθε είδους συνάρτησης .

Μερικές είναι πολύ εντυπωσιακές και θα ήταν τουλάχιστον διασκεδαστικό να δούμε κάποιες από αυτές .

exp.png sintan.png
ln.png cos.png...

Καλημέρα.
Κατέληξα στην παρακάτω-ενδιαφέρουσα πιστεύω- ταυτότητα και είπα να την μοιραστώ.
Ίσως βέβαια να είναι γνωστό αποτέλεσμα ή να βγαίνει πολύ γρηγορότερα από τον δικό μου τρόπο.
Να δειχθεί ότι για κάθε $n\in \mathbb{N^*}$ ισχύει...

Διαδικτυακή ομιλία του Βασίλη Χαρμανδάρη με θέμα Παρατηρώντας το Σύμπαν με
διαστημικά τηλεσκόπια , μεθαύριο Τετάρτη 14 Απριλίου, στις 19:00.

Το Κέντρο Επιστημών Παρατήρησης της Γης και Δορυφορικής Τηλεπισκόπησης BEYOND του Ινστιτούτου...

Έστω τετράπλευρο $ABCD$ τέτοιο ώστε να υπάρχει κύκλος $c$ που να εφάπτεται στις προεκτάσεις των πλευρών του.
Να αποδείξετε ότι η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του, η ευθεία $AI_{1}$ και η ευθεία $AI_{2}$ συντρέχουν, όπου $I_{1}$, $I_{2}$...

Τριχοτομεί τη διάμεσο.png
Ο έγκυκλος τριγώνου $ABC$ με $BC=10$ τριχοτομεί τη διάμεσο $AM.$ Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

Ο μαθητής Λυκείου Κωνσταντίνος Μαρκόπουλος έγινε δεκτός στο Πανεπιστήμιο του Yale με υποτροφία.Έχει διακρίσεις σε Μαθηματικούς διαγωνισμούς και είναι ο αρχηγός της ομάδας ρομποτικής VeloCT. :clap2:

Με τα λιγότερα δεδομένα.png Σε τρίγωνο $ABC$ , ο κύκλος διαμέτρου $AC$ τέμνει τις $AB , BC$ , στα σημεία $S , T$ αντίστοιχα .

Υπολογίστε το τμήμα $ST$ , χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα , από τα $6$ βασικά στοιχεία

του τριγώνου ....

Με αφορμή αυτήν Μήκος προβολής.png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC(AB=AC)$ και $M$ το μέσο της $BC.$ Γράφω μεταβλητό κύκλο που διέρχεται από

τα σημεία $A, M$ και τέμνει τις $AB, AC$ στα $E, F$ αντίστοιχα. Να βρείτε το μήκος $ST$ της προβολής του...

Έστω $\lambda >0$ και η συνάρτηση $f(x)=\left | \ln \left ( \lambda x+1 \right )-x \right |$. Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$, τότε:

i. Να αποδείξετε ότι $\lambda =1$.

ii. Να αποδείξετε ότι $f(x)=x-\ln \left ( x+1 \right...

Από σήμερα ξεκινάει η EGMO 2021 με διοργανώτρια χώρα την Γεωργία. Όπως ανέφερα πρόσφατα η Ελλάδα είναι η μοναδική χώρα που δεν έστειλε εθνική ομάδα παρά τις φιλότιμες προσπάθειες της Ε.Μ.Ε. Θα ήθελα να ευχηθώ ολόψυχα καλή επιτυχία στις μαθήτριες της...

Λόγος λόγω λόγου.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , η $BD$ είναι διχοτόμος και το $E$ , το έγκεντρο .

Αν : $\dfrac{BE}{ED}=2$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AB}{AC}$ . Αν : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2}$ , υπολογίστε τον λόγο :...

Λόγος και γωνία.png Σημείο $C$ κινείται στο εσωτερικό σταθερού τμήματος $AB$ . Το $ACDE$ είναι τετράγωνο ,

ενώ το $CBF$ ισόπλευρο τρίγωνο . α) Μπορεί ο λόγος $\dfrac{EB}{AF}$ , να πάρει την τιμή $\dfrac{3}{2}$ ;

β) Μπορεί η γωνία $\widehat{ASE}$...

Ώρα ημιτόνου 22.png Στο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , είναι : $AD\parallel BC$ και $AD=2 , BC=5 , \hat{C}=60^0$ .

Στην πλευρά $CD$ θεωρούμε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $AS=AB$ . Υπολογίστε το : $\sin\widehat{ASD}$ .

Διχοτόμηση και λόγος.png $\bigstar$ Στην πλευρά $BC=a$ , τριγώνου $ABC$ , βρίσκεται σημείο $S$ , ώστε : $BS=\dfrac{a}{3}$ .

α) Επιλέξτε σημείο $T$ της πλευράς $AC$ , ώστε να προκύψει : $(ABST)=(TSC)$ .

β) Αν επιπλέον είναι : $AB=AC$ και $BS=AT$ ,...

Καλό μήνα σε όλους!
1-4 Χαρταετός εγγράψιμος.png

Πώς θα δείξουμε ότι ο χαρταετός $BELA$ του σχήματος είναι εγγράψιμος ;

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Κάποιος με πτυχίο φυσικής και διδακτορικό από ΣΕΜΦΕ μπορεί να εργαστεί ως καθηγητής Μαθηματικών στο δημόσιο σχολείο ή σε ιδιωτικό σχολείο δευτεροβάθμιας?

Όσα δεν φτάνει η αλεπού.png Υπάρχει άραγε τιμή του θετικού $a$ , ώστε οι γραφικές παραστάσεις των $f(x)=a^x$ και $g(x)=a\sin x$

με $x>0$ , να εφάπτονται ; Αν η απάντησή σας είναι θετική βρείτε ικανοποιητικές προσεγγίσεις για τα $a , x$ .

Δίνεται η συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f'(x)=\frac{e^x}{x},x>0.}$ Να υπολογίσετε το όριο: $\displaystyle{\lim_{a \rightarrow 0^+} .}$
ΛΥΣΗ
Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $ \subset (0,+\infty),$
οπότε ικανοποιεί τις...

Ίχνη διχοτόμου.png Σημείο $T$ κινείται στο δυτικό ημικύκλιο , κύκλου $(K)$ με εξίσωση : $(x-2)^2+y^2=16$ . Η εφαπτομένη

του κύκλου στο $T$ , τέμνει την ευθεία $x=2$ , στο σημείο $P$ . Η $PS$ είναι διχοτόμος στο τρίγωνο $PKT$ .

Περιγράψτε...

Ώρα εφαπτομένης 98.png Στο εσωτερικό γωνίας $\widehat{xOy}$ , με $\tan\widehat{xOy}=\dfrac{3}{4}$ , γράφουμε κύκλο $(K)$ , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών

της γωνίας . Σε σημείο $S$ του κύκλου , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις πλευρές της...