Έστω $x, y$ τέτοιοι ώστε $x^2+y^2=1$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{\frac{x^4+ 4y^2}{9}} + \sqrt{\frac{y^4 + 4x^2}{9}} = 1}$

Χαιρετώ. Φρέσκια σύνθεση , με χρήση του σχήματος
6-8 Λόγος ..περίΦημος!.png
Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}>90^o$ και το $M \in BC$. Πάνω από το $A$ και έξω από τους κύκλους των $(B,A,M)$ και $(M,A,C )$

θεωρούμε το σημείο $F$ ώστε η $FB$ να...

Να βρεθούν χωρίς τη χρήση παραγώγων τα όρια:

1.$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\sin \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)} \right)$ και

2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\cos \left( {\dfrac{\pi }{{2x}}}...

Φέρουμε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και με κορυφή το $A$ γράφουμε δύο εφεξής γωνίες $\widehat{BAC}=\widehat{CAF}=10^{0}$, όπου $F,C$ σημεία της ημιπεριφέρειας. Επί των $AB,AF$ παίρνουμε σημεία $D,E$ αντίστοιχα, τέτοια ώστε $DE=DB=2FC.$. Να υπολογίσετε...

Πώς θα φτιάχνατε το παρακάτω στο geogebra ;

Στριφνή ακτίνα.png

Με ενδιαφέρει πιο πολύ η εξίσωση των κύκλων.

Έστω τραπέζιο $BCDE$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(A,R)$. Αν $\widehat{EDC}=75^{0}, ED=6\sqrt{3}, AB=BC,$ να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται εντός του κυκλικού τομέα $DAC$ και εκτός του τριγώνου $DAC$.

Να λύσετε στους θετικούς ακεραίους την εξίσωση $a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}=72\sqrt{abc}(E)$

τα εργαλεία κάνουν το μεγάλο Μάστορα_20.png
Σε κάθε σκαληνό τρίγωνο, τυχαία κάθετος σε μια διάμεσό του τέμνει τις ευθείες των υψών σε τρία σημεία,

που το ένα απ’ αυτά είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος των δύο άλλων.

Έστω $\alpha, \beta$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί διάφοροι μεταξύ τους. Να απλοποιηθεί η παράσταση

$\displaystyle{\left ( \frac{\alpha \sqrt{\alpha} + \beta \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}} - \sqrt{\alpha \beta} \right ) \cdot \left (...

Αν ο αριθμός $n$ είναι μονοψήφιος θετικός ακέραιος , να λυθεί η ανίσωση : $\dfrac{1+x}{1-\sqrt{x}}\leq x-n$

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $\widehat{A}=45^{0}, \widehat{B}=75^{0}$
και ο έγκυκλός του, που εφάπτεται στις πλευρές $AB,AC,BC$ στα σημεία $F,D,E$ αντίστοιχα και επανατέμνει την $AD$ στο $M$. Ο περίκυκλος του τριγώνου $MDC$ τέμνει την $FD$ στο $N$ και...

Έστω $\alpha, \beta$ δύο αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί τέτοιο ώστε $\alpha^4 = \beta^2$. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $2022^{\alpha + \sqrt{-\beta}}$.

Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός $N$ τέτοιος ώστε ο $1,316N$ είναι φυσικός;

(Κάνει για Γυμνάσιο)

:byebye: :byebye: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΣΤΟΥΣ
Σωτήρη Λουρίδα
Σωτήρη Χασάπη
Σωτήρη Λοϊζιά

Κατασκευή και αναλογία.png Να σχεδιασθεί ευθεία , διερχόμενη από την κορυφή $A$ του τριγώνου $ABC$ , τέτοια ώστε

αν $B' , C'$ , είναι οι προβολές των κορυφών $B , C$ σ' αυτήν , να είναι : $(B'C')=7$ .

Επιπλέον , υπολογίστε τον λόγο :...

Έστω $n \geq 2$. Να υπολογιστεί ο $\displaystyle{d_n:=\gcd \left\{\binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \dots , \binom{n}{n-1}\right\}}$.

Πριν λίγες ώρες έφυγε από τη ζωή σε ηλικία 79 ετών ο Αστροφυσικός Διονύσης Σιμόπουλος επίτιμος Διευθυντής του Ευγενιδείου Πλανηταρίου και πολυβραβευμένος διεθνώς για την συνεισφορά του στην αστρονομική εκπαίδευση.
Σε λίγες ημέρες θα αναπαύεται στο...

Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ και σταθερό σημείο $P$ επί της πλευράς $CD$, τέτοιο ώστε $\widehat{APD}=60^{0}.$. Φέρνουμε τα ύψη $AN,BM$ του τριγώνου $APB$ και ονομάζουμε $Q$ την τομή των $DM,CN$. Να υπολογίσετε τον λόγο $\frac{(DCQ)}{(ABCD)}$.

Έχουμε αυτό το τετράγωνο πλέγμα 9 σημείων. Πόσα τρίγωνα μπορούμε να σχηματίσουμε που θα έχουν σαν κορυφές τα 9 αυτά σημεία... :?:
ΥΓ..Εχω ήδη σχηματίσει δυο τριγωνα...

ΟΜΟΙΑ ΙΣΟΣΚΕΛΗ.png
Στις πλευρές τριγώνου $ABC$ και εξωτερικά αυτού, κατασκευάζουμε τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα $ABD, BCT, ACE$. Κατασκευάζουμε άλλο ένα όμοιο προς αυτά τρίγωνο $EDF$ καθώς και το συμμετρικό του $T$ ως προς $BC$ σημείο $S$. Αν $H, O$...

Καλησπέρα από το όμορφο αλλά και πολύ ζεστό Blagoevgrad της Βουλγαρίας, όπου πριν από λίγες μέρες έλαβε χώρα ο διεθνής διαγωνισμός IMC υβριδικά. Συνολικά συμμετείχαν $673$(!) φοιτητές, εκ των οποίων οι $168$ διαγωνίστηκαν δια ζώσης.

Να σημειωθεί...

Στην γνωστή ακολουθία $F_{1}=1,F_{2}=1$ και $F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1},n\geq 2$ να βρεθεί
ο μικρότερος θετικός ακέραιος $n$ για τον οποίο ο $F_{n}$ τελειώνει σε $4$ μηδενικά.

Ευθύμης

Συνευθειακότητα και ορθότητα.png Με κέντρο το μέσο $M$ της πλευράς $AB$ , ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , γράφουμε τους κύκλους : $(M ,\dfrac{c}{2} )$ και :

$(M, r ), (r<\dfrac{c}{2})$ . Η $CM$ τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία $E , D$ , ενώ οι $BD ,...

Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η γωνία $\pi ^2$ ακτίνια;

Ομοίως αλλά για γωνία $45$ ακτίνια.

(Κάνει για όσους έχουν ακούσει τι θα πει ακτίνιο. Δεν θυμάμαι σε ποια τάξη το πρωτοακούν οι μαθητές μας.
Ως άσκηση είναι πολύ απλή αλλά την τοποθετώ για...

Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι είναι εικοσαπλάσιοι του αθροίσματος των ψηφίων τους.

Για παράδειγμα αντί για εικοσαπλάσιοι ζητούσα τετραπλάσιοι , τότε ένα παράδειγμα είναι ο $12$ αφού $12=4\times (1+2)$.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για...