Με τα λιγότερα δεδομένα.png Σε τρίγωνο $ABC$ , ο κύκλος διαμέτρου $AC$ τέμνει τις $AB , BC$ , στα σημεία $S , T$ αντίστοιχα .

Υπολογίστε το τμήμα $ST$ , χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα , από τα $6$ βασικά στοιχεία

του τριγώνου ....

Από σήμερα ξεκινάει η EGMO 2021 με διοργανώτρια χώρα την Γεωργία. Όπως ανέφερα πρόσφατα η Ελλάδα είναι η μοναδική χώρα που δεν έστειλε εθνική ομάδα παρά τις φιλότιμες προσπάθειες της Ε.Μ.Ε. Θα ήθελα να ευχηθώ ολόψυχα καλή επιτυχία στις μαθήτριες της...

Έστω $\lambda >0$ και η συνάρτηση $f(x)=\left | \ln \left ( \lambda x+1 \right )-x \right |$. Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $0$, τότε:

i. Να αποδείξετε ότι $\lambda =1$.

ii. Να αποδείξετε ότι $f(x)=x-\ln \left ( x+1 \right...

Καλημέρα.
Κατέληξα στην παρακάτω-ενδιαφέρουσα πιστεύω- ταυτότητα και είπα να την μοιραστώ.
Ίσως βέβαια να είναι γνωστό αποτέλεσμα ή να βγαίνει πολύ γρηγορότερα από τον δικό μου τρόπο.
Να δειχθεί ότι για κάθε $n\in \mathbb{N^*}$ ισχύει...

Τριχοτομεί τη διάμεσο.png
Ο έγκυκλος τριγώνου $ABC$ με $BC=10$ τριχοτομεί τη διάμεσο $AM.$ Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

Λόγος λόγω λόγου.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , η $BD$ είναι διχοτόμος και το $E$ , το έγκεντρο .

Αν : $\dfrac{BE}{ED}=2$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AB}{AC}$ . Αν : $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2}$ , υπολογίστε τον λόγο :...

Λόγος και γωνία.png Σημείο $C$ κινείται στο εσωτερικό σταθερού τμήματος $AB$ . Το $ACDE$ είναι τετράγωνο ,

ενώ το $CBF$ ισόπλευρο τρίγωνο . α) Μπορεί ο λόγος $\dfrac{EB}{AF}$ , να πάρει την τιμή $\dfrac{3}{2}$ ;

β) Μπορεί η γωνία $\widehat{ASE}$...

Ώρα ημιτόνου 22.png Στο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , είναι : $AD\parallel BC$ και $AD=2 , BC=5 , \hat{C}=60^0$ .

Στην πλευρά $CD$ θεωρούμε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $AS=AB$ . Υπολογίστε το : $\sin\widehat{ASD}$ .

Διχοτόμηση και λόγος.png $\bigstar$ Στην πλευρά $BC=a$ , τριγώνου $ABC$ , βρίσκεται σημείο $S$ , ώστε : $BS=\dfrac{a}{3}$ .

α) Επιλέξτε σημείο $T$ της πλευράς $AC$ , ώστε να προκύψει : $(ABST)=(TSC)$ .

β) Αν επιπλέον είναι : $AB=AC$ και $BS=AT$ ,...

Καλό μήνα σε όλους!
1-4 Χαρταετός εγγράψιμος.png

Πώς θα δείξουμε ότι ο χαρταετός $BELA$ του σχήματος είναι εγγράψιμος ;

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Αξιοποιώντας τα σύγχρονα τεχνολογικά εργαλεία , δημιουργούμε την γραφική παράσταση κάθε είδους συνάρτησης .

Μερικές είναι πολύ εντυπωσιακές και θα ήταν τουλάχιστον διασκεδαστικό να δούμε κάποιες από αυτές .

exp.png sintan.png
ln.png cos.png...

Έστω τετράπλευρο $ABCD$ τέτοιο ώστε να υπάρχει κύκλος $c$ που να εφάπτεται στις προεκτάσεις των πλευρών του.
Να αποδείξετε ότι η ευθεία που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του, η ευθεία $AI_{1}$ και η ευθεία $AI_{2}$ συντρέχουν, όπου $I_{1}$, $I_{2}$...

Κάποιος με πτυχίο φυσικής και διδακτορικό από ΣΕΜΦΕ μπορεί να εργαστεί ως καθηγητής Μαθηματικών στο δημόσιο σχολείο ή σε ιδιωτικό σχολείο δευτεροβάθμιας?

Όσα δεν φτάνει η αλεπού.png Υπάρχει άραγε τιμή του θετικού $a$ , ώστε οι γραφικές παραστάσεις των $f(x)=a^x$ και $g(x)=a\sin x$

με $x>0$ , να εφάπτονται ; Αν η απάντησή σας είναι θετική βρείτε ικανοποιητικές προσεγγίσεις για τα $a , x$ .

Δίνεται η συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f'(x)=\frac{e^x}{x},x>0.}$ Να υπολογίσετε το όριο: $\displaystyle{\lim_{a \rightarrow 0^+} .}$
ΛΥΣΗ
Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $ \subset (0,+\infty),$
οπότε ικανοποιεί τις...

Ίχνη διχοτόμου.png Σημείο $T$ κινείται στο δυτικό ημικύκλιο , κύκλου $(K)$ με εξίσωση : $(x-2)^2+y^2=16$ . Η εφαπτομένη

του κύκλου στο $T$ , τέμνει την ευθεία $x=2$ , στο σημείο $P$ . Η $PS$ είναι διχοτόμος στο τρίγωνο $PKT$ .

Περιγράψτε...

Ώρα εφαπτομένης 98.png Στο εσωτερικό γωνίας $\widehat{xOy}$ , με $\tan\widehat{xOy}=\dfrac{3}{4}$ , γράφουμε κύκλο $(K)$ , ο οποίος εφάπτεται των πλευρών

της γωνίας . Σε σημείο $S$ του κύκλου , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις πλευρές της...

Ο (Έλληνας) πρίγκηπας Φίλιππος γνωστότερος ως σύζυγος της Βασίλισσας Ελισάβετ του Ηνωμένου Βασιλείου που ''έφυγε'' σήμερα έγραψε σχετικά με τα Μαθηματικά το 1982 στην Teaching Mathematics and its Applications: An International Journal of the IMA το...

Σταθερό μήκος..png
Δύο κύκλοι με κέντρα $K, O$ τέμνονται στα $A$ και $B,$ ενώ ο κύκλος $(K)$ διέρχεται από το $O.$ Από τυχόν σημείο $P$ του

$(K)$ φέρνουμε τις $PA, PB$ που επανατέμνουν τον $(O)$ στα $E, F.$ Να δείξετε ότι το μήκος του $EF$ είναι...

Από τόπο σε τόπο.png Σημείο $S$ κινείται σε τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , ακτίνας $6$ . Φέρουμε $ST \perp OA$ . Βρείτε τις καρτεσιανές εξισώσεις

του γεωμετρικού τόπου του εγκέντρου $E$ και του γεωμετρικού τόπου του βαρυκέντρου $K$ , του...

Στον ${\mathbb{R}}^3$ περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη $\overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}$, γύρω από τον $x$-άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια $S$.

Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας...

Αν η συνάρτηση $f$ έχει δεύτερη παράγωγο στο $\alpha$ , $f(\alpha) \neq 0 \neq f'(\alpha)$ τότε να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \left ( \frac{1}{\left ( x-\alpha \right ) f(\alpha)} - \frac{1}{f(x) - f(\alpha)} \right )...

Καλησπέρα σας! Θα μπορούσατε να μου προτείνετε κάποια καλά βιβλία αυτοδιδασκαλίας στα μαθηματικά? Ιδανικα θα τα ήθελα στα Ελληνικα αλλα και στα Αγγλικα δεν με πειράζει. Εχούν περάσει κάποια χρόνια απο τότε που εχω τελειώσει το σχολείο και πιθανότατα...