Ισότητα εξ επαφής.png Η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ ενός τριγώνου $ABC$ , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο $S$ .

Η παράλληλη από το $S $ προς την $CA$ , τέμνει την $BC$ στο σημείο $T$ και τον κύκλο στο σημείο $P$ .

Η εφαπτομένη του...

Δεν θα πίστευε κάποιος ότι τα δύο συνημμένα έχουν κάποια σχέση μεταξύ τους, αλλά έχουν: αυτό με τα 21 'συμμετρικώς τοποθετημένα' στερεά παραπέμπει στους 21 όρους του πρόσφατου άρθρου Μαθηματικός καταρρίπτει Εικασία Αλγέβρας ηλικίας 80 ετών της Erica...

Έλαβα την παρακάτω ανακοίνωση/πρόσκληση για σειρά Εσπερίδων με τίτλο Διάλογοι στα Μαθηματικά .

Η πρώτη είναι την επόμενη Κυριακή 18 Απριλίου, στις 20:00, με ομιλητές τον Μιχάλη Κολουτζάκη (Πανεπιστήμιο Κρήτης)
και τον Γιάννη Κοντογιάννη...

XXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
ΧΧΧΙΙ Μαθηματική Γιορτή
18 Απριλίου 2021 $\bullet$ 6η τάξη

Πρόβλημα 1. α) Γράψτε στα τετράγωνα τέσσερα διαφορετικά ψηφία, ώστε το γινόμενο των κλασμάτων να είναι ίσο με $\dfrac{20}{21}$.

$\dfrac{\square...

Ν.Δ.Ο. $e^{2}< 8$

Καλημέρα, θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε γιατί το παρακάτω όριο κάνει 0 ;
$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\tau \to - \infty } \left( {{e^{\alpha \tau }} \cdot {e^{ - j\omega \tau }}} \right) = 0,\,\alpha > 0,\omega > 0$
Είναι στον...

Η άσκηση είναι γνωστότατη .

Στο εσωτερικό τετραγώνου $ABCD$ υπάρχει σημείο $M$ για το οποίο , το τρίγωνο $MAD$ είναι ισοσκελές με κορυφή το $M$ και οι γωνίες της βάσης $AD$ είναι από $15^\circ $.

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο $MBC$ είναι ισόπλευρο ....

Λόγος χωρίς τιμές.png
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με κάθετες πλευρές $b, c$ και $(I, r)$ ο εγγεγραμμένος του κύκλος.

α) Να κατασκευάσετε κύκλο $(\omega)$ που να διέρχεται από τα σημεία $B, C$ και να εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου $(I).$

β)...

Βασικές γνώσεις.png Το σημείο $S$ κινείται πάνω στην $C_{f}$ . Η εφαπτομένη της καμπύλης στο $S$ , τέμνει τους άξονες

στα σημεία $A , B$ .... α) Δείξτε ότι η $f$ είναι κυρτή .

β) Δείξτε ότι , $ \forall x>0$ , ισχύει : $3x^2+2\sqrt{x^2+3}\geq 7x$...

Στον ${\mathbb{R}}^3$ περιστρέφουμε την παραμετρική καμπύλη $\overline{c}(t)=\big(t-\tanh{t},0,\frac{1}{\cosh{t}}\big)\,, \; t\in{\mathbb{R}}$, γύρω από τον $x$-άξονα και έτσι παράγεται μια επιφάνεια $S$.

Να υπολογισθεί το εμβαδόν της επιφάνειας...

Συνάρτηση για το εμβαδόν.png Σημείο $S$ κινείται στην βάση $BC$ του τριγώνου $ABC$ , από το $B$ ως και το $C$ . Φέρουμε $SP \perp AB $ ,

$ST\perp AC$ . Δημιουργήστε συνάρτηση $f , (f(x)=f(BS))$ , η οποία να αποδίδει το εμβαδόν του

τριγώνου $SPT$...

Χαιρετώ .
15-4 Λόγου ακεραιότητα.png
Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=90^o$ και $tanB=3$.

Αν $AZ=AB=2BN$ και $ZE \perp BC$ τότε: Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( BEN \right )}$

Λέτε το παρόν , να δεχθεί.. :)...

Τοξικός λόγος.png Στο τεταρτοκύκλιο $O\overset\frown{AB}$ , θεωρούμε τα διαδοχικά και ίσα τόξα $\overset\frown{AS}$ και $\overset\frown{ST}$ και ονομάζουμε

$S' , T' $ , τις προβολές των $S , T$ στην $OA$ . Αν $\dfrac{SS'}{TT'}=\dfrac{3}{5}$ ,...

Δυσαναλογία.png Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ , θεωρούμε σημεία $S , T$ , ώστε : $\overset{\frown}{ST}=\dfrac{2}{3}\overset{\frown}{BS}$ . Ονομάζουμε $S' , T' $

τις προβολές των $S , T$ στην $AB$ . Μπορούμε να επιλέξουμε τα $S , T$ έτσι , ώστε :...

Παρουσιάζω ένα πρόβλημα της Διαφορικής Γεωμετρίας στο οποίο χρειάζομαι μια βοήθεια.

Πρόβλημα : Ποιες καμπύλες που βρίσκονται σε μια σφαίρα έχουν σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα ;

Δηλαδή ζητάμε καμπύλες $\displaystyle{\gamma : I \subseteq...

Έχω ένα θέμα στην ελαχιστοποίηση μιας ποσότητας στο παρακάτω πρόβλημα της απόστασης σημείου από υπόχωρο.

Το πρόβλημα είναι το εξής: Έστω $V$ να είναι ο διανυσματικός χώρος όλων των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές με το μήκος των διανυσμάτων...

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για κάθε μία από τις οποίες η εξίσωση

$x^6-6ax^5+12a^2x^4-8a^3x^3-7x^2+14ax-6=0$

έχει ακριβώς δυο ρίζες.

Το παρόν ερωτηματολόγιο εντάσσεται στο πλαίσιο έρευνας με θέμα Τηλεκπαίδευση στη Δημόσια Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση και απευθύνεται σε εκπαιδευτικούς όλων των ειδικοτήτων. Ο στόχος είναι να καταγραφεί η τιτάνια και πολυεπίπεδη προσπάθεια των...

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για κάθε μία από τις οποίες το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης

$\dfrac{a+2-2^{x-2}}{a+3} \geq \dfrac{5a+5}{2\left( 2^x+3a+3\right )}$

αποτελεί κάποια ημιευθεία στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου $a$, για κάθε μία από τις οποίες η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

$f(x)=ax+|x^2-4x+3|$

είναι μεγαλύτερη του $1$.

Να βρείτε όλες τις τιμές του $x$, για κάθε μια από τις οποίες η ανίσωση

$(2-a)x^3+(1-2a)x^2-6x+(5+4a-a^2) < 0$

ικανοποιείται για τουλάχιστον μία τιμή του $a$, που ανήκει στο διάστημα $ $.

Γενίκευση αυτής Μήκος προβολής.2.png
Έστω $O$ το περίκεντρο τριγώνου $ABC$ και $P$ ένα σταθερό σημείο της ευθείας $AO.$ Γράφω μεταβλητό κύκλο που

διέρχεται από τα σημεία $A, P$ και τέμνει τις $AB, AC$ στα $E, F$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η...

Καλημέρα σε όλους!
17-4 Διχοτόμος ορθής.png

Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{B}=30^o$ και $\widehat{C}=60^o$. Το $E \in BC$ ώστε $AC+CE=AB$.

Να δείξετε ότι η $AE$ είναι διχοτόμος του τριγώνου.

$48$ ώρες για μαθητές . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Σας επισυνάπτω ένα δίωρο διαγώνισμα που έβαλα σήμερα στον κύκλο.
Προσπάθησα να καλύψω κατά το δυνατό την ενότητα, βάζοντας ''τίμια κατά την γνώμη μου θέματα, αποφεύγοντας τις πονηριές και τις παγίδες.

Σας το καταθέτω για κρίση αλλά και για ...χρήση!