Ένα μεγάλο ΕΥΓΕ στους μαθητές μας για την διάκρισή τους στην πρόσφατη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Βλέπε εδώ από όπου αντιγράφω.

...................................... Total Rank Award
..................................... Abs. Rel.
Prodromos...

Καλησπέρα από το όμορφο αλλά και πολύ ζεστό Blagoevgrad της Βουλγαρίας, όπου πριν από λίγες μέρες έλαβε χώρα ο διεθνής διαγωνισμός IMC υβριδικά. Συνολικά συμμετείχαν $673$(!) φοιτητές, εκ των οποίων οι $168$ διαγωνίστηκαν δια ζώσης.

Να σημειωθεί...

Χαιρετώ. Αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος το ωραίο θέμα τούτο
10-8 Ισότητα λόγων.png
Το τρίγωνο $ABC$ έχει ορθόκεντρο το $H$ , ενώ το $F$ είναι σημείο της πλευράς $BC$.

Θεωρούμε ευθεία κάθετη στην $AF$ που τέμνει την $HB$ στο $K$ , την...

Πώς θα φτιάχνατε το παρακάτω στο geogebra ;

Στριφνή ακτίνα.png

Με ενδιαφέρει πιο πολύ η εξίσωση των κύκλων.

:wallbash: θα ήθελα βοήθεια σχετικά με το ορθοκεντρικο τρίγωνο.. στο βιβλίο του Chen ψάχνω να βρω τα περιγεγραμμενα τετράπλευρα αλλά έχω βρει μόνο τρία. Μπορείτε να με βοηθήσετε και να δώσετε και την αιτιολόγηση από δίπλα. Σας επισυνάπτω την εικόνα...

Το 2012 ο μαθηματικός (συνταξιούχος σήμερα) Ian Stewart δημοσιεύεσαι το βιβλίο In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World. προσπαθώντας να συγκεντρώσει τις σημαντικότερες εξισώσεις στις θετικές επιστήμες που είχαν σημαντική...

Αν οι μονοψήφιοι αριθμοί $a,b,c$ είναι τέτοιοι ώστε $\overline{abc}\equiv 0(mod9)$, να λύσετε την εξίσωση :
$\overline{cba}=1,75\cdot \overline{abc}$.
Καλή επιτυχία!!

Να λύσετε στους πρώτους αριθμούς την εξίσωση $p(q+p)=r+120(E)$.
είναι πολύ απλή, ας την αφήσουμε για τους μαθητές μας.
είμαι περίεργος να δω τι θα κάνουν όσοι δεν ξέρουν εξισώσεις με διακρίνουσα!!

Τρίτο τμήμα (τος).png Το $CD$ εφάπτεται στο ημικύκλιο και : $ED \parallel AB$ . Υπολογίστε το : $\dfrac{AS}{SB}$

Η πέμπτη ευθεία.png Το σημείο $S$ κινείται στην πάνω παράλληλη , το $A$ στην δεύτερη και το $B$ στην τρίτη . Οι $SA , SB$

τέμνουν την τέταρτη παράλληλη στα : $A' , B'$ . Δείξτε ότι το σημείο τομής $T$ , των $AB' , A'B$ ,

κινείται σε ευθεία...

Συνευθειακότητα και ορθότητα.png Με κέντρο το μέσο $M$ της πλευράς $AB$ , ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , γράφουμε τους κύκλους : $(M ,\dfrac{c}{2} )$ και :

$(M, r ), (r<\dfrac{c}{2})$ . Η $CM$ τέμνει τον μικρό κύκλο στα σημεία $E , D$ , ενώ οι $BD ,...

Χωρίς τριγωνομετρία.png
Να δείξετε χωρίς χρήση τριγωνομετρίας ότι, $AC = BD$

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος:

$\displaystyle{x^2 + y^2 = z^3}$

$\displaystyle{x^2 + z^2 = y^3}$

$\displaystyle{x + y + z = 102}$

τα εργαλεία κάνουν το μεγάλο Μάστορα_20.png
Σε κάθε σκαληνό τρίγωνο, τυχαία κάθετος σε μια διάμεσό του τέμνει τις ευθείες των υψών σε τρία σημεία,

που το ένα απ’ αυτά είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος των δύο άλλων.

Αριστεία στο τετράγωνο.png
Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $a$ και το ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ εντός του τετραγώνου. Από το $A$ φέρνω

ευθεία που εφάπτεται του ημικυκλίου στο $E$ και τέμνει την $DC$ στο $F.$ α) Να δείξετε ότι $\displaystyle...

Δίνεται τετράπλευρο $ABCD$ και έστω $Bx,\ By$, τυχούσες ευθείες δια της κορυφής $B$, ισογώνιες ως προς την γωνία $\angle B$. Επί των $Bx,\ By$ λαμβάνουμε αντιστοίχως τυχόντα σημεία $E,\ F$ και έστω τα σημεία $K\equiv BA\cap DE$ και $L\equiv BC\cap...

Έστω $F_n$ η ακολουθία Fibonacci. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left | \varphi F_n - F_{n+1} \right | = \varphi}$

όπου $\varphi$ ο χρυσός λόγος.

Έστω $a \in \mathbb{R}$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \ln \left ( 1 + \frac{\cosh a}{\cosh x} \right )\, \mathrm{d}x = \frac{\pi^2}{8}+ \frac{a^2}{2}}$

Να βρεθούν όλοι οι ακέραιο αριθμοί $\displaystyle{x}$, έτσι ώστε οι αριθμοί:

$\displaystyle{20x^2 + 76}$ και $\displaystyle{45x^2 + 684}$ να είναι και οι δύο τέλεια τετράγωνα.

Έστω $a \in (-1 , 1)$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\ln \left ( 1-2a\cos x + a^2 \right )}{1-2a \cos x+ a^2} \, \mathrm{d}x = \frac{2\pi \ln \left ( 1- a^2 \right )}{1-a^2}$

Να λύσετε στους θετικούς ακεραίους την εξίσωση $a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}=72\sqrt{abc}(E)$

Και μιά παραλλαγή της άσκησης αυτής , δημοσιευμένη στον Ευκλείδη το $1986$ .

Δείξτε με τρεις τρόπους - το πολύ ( ! ) - ότι η γωνία $\widehat{BMN}$ είναι ορθή

Ένα όμορφο θέμα απο mathlinks

Έστω $ABCD$ ενα ισοσκελές τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O,R)$ με $AD \parallel BC$.Έστω $M$ το μέσο του τόξου $\widehat{BC}$ και $E$ ένα τυχαίο σημείο του τμήματος $DM$.Μια ευθεία που διέρχεται απο το $E$ είναι...

Να βρεθούν χωρίς τη χρήση παραγώγων τα όρια:

1.$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x\sin \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)} \right)$ και

2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\cos \left( {\dfrac{\pi }{{2x}}}...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $\widehat{A}=45^{0}, \widehat{B}=75^{0}$
και ο έγκυκλός του, που εφάπτεται στις πλευρές $AB,AC,BC$ στα σημεία $F,E,D$ αντίστοιχα και επανατέμνει την $AD$ στο $M$. Ο περίκυκλος του τριγώνου $MDC$ τέμνει την $FD$ στο $N$ και...