Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\binom{m+k}{n}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\binom{m}{k}2^k$,

για οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους $m,n$.

Σημείωση: Δεκτές τόσο αλγεβρικές όσο και συνδυαστικές προσεγγίσεις :)

Χαίρετε.
Ας υπολογισθεί το πλήθος των υποσυνόλων του συνόλου A={1,2,3...,n} τών οποίων το άθροισμα των στοιχείων είναι πολλαπλάσιο του 2025.
Θα μπορούσαμε άραγε να το υπολγίσουμε αν τα στοιχεία του συνόλου Α ακολούθουσαν αλγεβρική πρόοδο;

Σε τραπέζιο $ABCD(AB//CD),$ είναι $AB=3$ και οι πλευρές $AD, DC, CB$ έχουν ακέραια μήκη και είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Αν η διαγώνιος $BD$ είναι κάθετη στις βάσεις, να βρείτε την πλευρά ισοπλεύρου

τριγώνου που έχει την ίδια...

Ισότητα ανομοίων.png Η ευθεία $y=\dfrac{x}{\lambda}-b$ τέμνει τις πλευρές $OA , AB$ του ορθογωνίου $OABC$ στα σημεία $P , Q$ , ενώ η : $y=\dfrac{x}{\lambda}+b$

τέμνει τις $OC , BC$ στα $T , S$ . Δείξτε ότι το τετράπλευρο $PQST$ είναι...

2007.PNG

2004.PNG

1999.PNG

1998.PNG

Να λυθεί η εξίσωση : $\sqrt{x+\dfrac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{x+\sqrt3}{2}}$ . ( Γράψτε τις λύσεις στην απλούστερη μορφή ) .

Προαιρετικά , προσπαθήστε να λύσετε και την : $\sqrt{x+\dfrac{\sqrt{x+2}}{2}}=\dfrac{x+\sqrt{x+2}}{2}}$ .

Δίνεται η παραβολή : $f(x)=\dfrac{m}{4}x^2+2x-(m+1)$ , με : $m<0$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο

της κορυφής της παραβολής . Εξηγήστε γιατί η κορυφή αυτή δεν έχει ποτέ τεταγμένη μικρότερη του $3$ .

Δημιουργία επαφής.png Το $P$ είναι τυχόν σημείο του ημικυκλίου του σχήματος . Η μεσοκάθετος του $TP$ τέμνει την κάθετη προς την $OAB$ στο $O$ ,

στο σημείο $S$ και την $OAB$ στο $L$ . Δείξτε ότι το τμήμα $SP$ εφάπτεται του τόξου και βρείτε το $SP$...

Τμήμα από καθετότητες.png Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο $OAPB$ , στο $P$ φέρουμε κάθετη προς την $OP$ , η οποία

τέμνει τις προεκτάσεις των $OA , OB $ στα σημεία $T ,Q$ αντίστοιχα . Η κάθετη από το $O$ προς

την $AB$ , τέμνει την $TQ$ στο...

Καλημέρα :logo: . Αναζητώ μια παλιότερη δημοσίευση του εκλεκτού συναδέλφου κ.Πρωτοπαπα Λευτέρη που αφορούσε τη συστηματοποιηση των εφαπτομενων, με συλλογή ασκήσεων,αν θυμάμαι καλά ήταν άρθρο του στο περιοδικό Ευκλείδης .Δεν μπόρεσα να την βρω ,μήπως...

Να εξετασθεί αν είναι Αληθής ή Ψευδής ο παρακάτω ισχυρισμός. Αν είναι αληθής να αποδειχθεί, αν είναι ψευδής να δοθεί αντιπαράδειγμα.

Ισχυρισμός: Για κάθε ρητό αριθμό $x=\frac{p}{q}$ με $p\in\mathbb{Z}$, $q\in\mathbb{N}$ και...

$\bigstar$ Ο αριθμός $125=5^3$ , γράφεται ως διαφορά τετραγώνων θετικών ακεραίων , αφού : $125=15^2-10^2$ .

Κάντε το ίδιο για τον : $1000=10^3$ . Μπορούμε άραγε να κάνουμε το ίδιο για οποιονδήποτε : $n^3 , (n \in \mathbb{N^*}) $ ;

Αποδείξτε ότι για κάθε $x\geq 0$
$\displaystyle{\sum_{j=0}^{8}\binom{8}{j}(j+5)!(8-j)!x^j\geq 13!(x^2+\frac{1}{6})^{4}.}$

Έστω $n$ θετικός ακέραιος και $(G,\cdot)$ ομάδα για την οποία η συνάρτηση $f: G\to G$ με $f(x)= x^{n+1}$ είναι μορφισμός επί
ενώ η συνάρτηση $g: G\to G$ με $g(x)= x^{n}$ είναι 1-1.
Να δείξετε ότι είναι αβελιανή.

Κάθετη στην διχοτόμο.png Οι πλευρές $AB , AC , BC$ , του τριγώνου $ABC$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά : $d=2$ .

Το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $BC$ , ενώ το $S$ είναι η προβολή της κορυφής $C$ στην διχοτόμο της...

Καλησπέρα :santalogo: .Καλή και δημιουργική χρονιά σε όλα τα μέλη !
Έστω το $\vec{j}=(0,1)$ και το διάνυσμα $\vec{b}$ που δεν είναι μηδενικό και δεν είναι και κάθετο στο μοναδιαίο διάνυσμα του $y'y.$.

Αν η εξίσωση...

Να υπολογισθεί το
$\mathop{\lim}\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\log\big({x^{\frac{1}{x}}-1}\big)}{x}$ .

Να λυθεί το σύστημα : $\begin{cases}
x^2+2xy+3y^2 & =22 \\
2x^2+3xy+8y^2& =77
\end{cases} $
Το θέμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε διαγωνισμούς .

Ούτε 15.png Αν οι πλευρές : $c , b , a$ , του τριγώνου $ABC$ του σχήματος , είναι διαδοχικοί

όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου , δείξτε ότι : $\theta<15^0$ .

Ίσες αλλά δύσκολες διαδρομές.png Άσκηση του τύπου : Όποιος δεν έχει βάσανα ... . Παλιά ρωτάγαμε : Έχετε αρκετό χαρτί ; Τώρα :

Είστε διατεθειμένοι να ταλαιπωρήσετε το λογισμικό σας ; Λοιπόν , σχεδιάστε ορθογώνιο $ABCD$ ,

στο οποίο η διαδρομή...