Δώστε παράδειγμα δέκα διαφορετικών ανά δύο φυσικών αριθμών που ο καθένας διαιρεί το άθροισμα των δέκα αυτών αριθμών,

(Εννοείται ότι γενικεύεται και για περισσότερους από δέκα. Ως άσκηση είναι προσιτή και σε μαθητές του Δημοτικού, αλλά πρέπει να...

Από Σερβία ο λόγος.png
Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ και ο κύκλος $(K)$ διαμέτρου $AB.$ Ένα σημείο $P$ κινείται στην πλευρά $CD$

και οι $PA, PB$ επανατέμνουν τον κύκλο στα $M, N$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι $DM, CN$ τέμνονται

σε σημείο $Q$ του...

Αγνή καθετότητα.png

Στο τετράγωνο $ABCD$, θεωρώ το μέσο $M$ της $BC$ και το συμμετρικό $E$ του $A$ ως προς το $C$.

Δείξετε ότι $DM \bot BE$.

Μεγάλες κατασκευές 84.png Τοποθετήστε τα κέντρα των κύκλων $(O,3)$ και $(K,2)$ σε μια οριζόντια ευθεία , έτσι ώστε ,

ο βόρειος πόλος $N$ του $(O)$ , το ένα σημείο τομής τους $T$ και το $K$ , να είναι συνευθειακά .

Αν κάνετε κατασκευή μετά από...

Καλημέρα σε όλους!
25-6 εύρεση λόγων.png
Το τραπέζιο $ABCD$ με $AB \parallel CD$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο $O$

και $K,L,M,N$ τα μέσα των πλευρών του $AB,BC,CD,DA$ αντιστοίχως. Αν $\widehat{AOD}=54^o$ τότε

Ι) Να υπολογιστεί ο λόγος...

Μεταφέρω και εδώ την ανάρτηση του κ. Παπασπύρου (καθηγητή ΕΜΠ με συνεχή συνεισφορά στους διαγωνισμούς πληροφορικής στην Ελλάδα) για την φετινή κατάντια.

Κάποια στιγμή λοιπόν, θα έφτανε κι εδώ. Το είχα προτείνει χρόνια τώρα, μεταξύ σοβαρού και...

Καλή Κυριακή σε όλους.

19-6 ..διχοτόμος και χορδής.png

Το τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=120^o$ και $AD,BE,CZ$ οι (εσωτερικές) διχοτόμοι του.

Αν ο κύκλος των $A,Z,E$ τέμνει την $BC$ στα $M,N$ τότε: Να εξεταστεί αν ισχύει $DM=DN$

Μου...

f(f(x)).png
Στην εικόνα βλέπουμε το γράφημα μιας συνάρτησης $f:\left \to \mathbb{R}$.

Όπως δείχνει και το γράφημα η συνάρτηση έχει ρίζες τις : $ - 4\,\,,\, - 2\,\,,\,\,2\,\,,\,\,4$ .

Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση , $f\left( {f\left( x \right)}...

Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ στον κύκλο $\displaystyle{(C)}$ με πλευρές τις
$\displaystyle{AB=a, \ \ BC=b \ \ CD=c \ \ DA=d}$ και με διαγώνιες τις $\displaystyle{AC=x, \ \ BD=y}$.

Με συμμετροδιάμεσο (symedian) κι...

Το παρακάτω πρόβλημα μπορεί να τεθεί στο τέλος του 1ου Κεφαλαίου της Α' Γυμνασίου.
Εννοείται ότι για τη λύση δεν επιτρέπεται η χρήση ημερολογίων...

Αν η $27$ Ιουνίου του $2022$ είναι Δευτέρα, τι μέρα της εβδομάδας είναι η $27$ Ιουνίου του $2024 $;

Στο συνημμένο σχήμα έχουμε ένα κανονικό τρίγωνο (ισόπλευρο), ένα κανονικό τετράπλευρο (τετράγωνο), ένα κανονικό πεντάγωνο κι ένα κανονικό εξάγωνο.
1. Να εξετάσετε αν τα σημεία $A,B, C$ είναι συνευθειακά.
2. Να βρείτε το μέτρο της γωνίας $KAB$.
Μία...

1)Στην εικόνα παρακάτω αναζητείται ένα πάντα (το γνωστό ζωάκι) ανάμεσα στους χιονάνθρωπους. Μπορείτε να το εντοπίσετε?

2)Στην εικόνα παρακάτω υπάρχει μια καρδιά ανάμεσα στα ελεφαντακια. Μπορείτε να την εντοπίσετε?

Η πηγή θα δοθεί αργότερα....

Μέγιστο γινόμενο.png Ο κύκλος $(K , r)$ έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο $(O , R)$ και τον τέμνει στα σημεία $A , B$ .

Ευθεία διερχόμενη από το $A$ τέμνει πρώτα τον $(K)$ στο σημείο $T$ και κατόπιν τον $(O)$ στο $S$ .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή...

Σήμερα το πρωί στο γραφείο των καθηγητών, ανάμεσα σε βαθμούς απολυτηρίων και μητρώα, βρήκα λίγο χρόνο να δω μια ανισότητα...
Τη μοιράζομαι μαζί σας, με την ελπίδα να μην έχει συζητηθεί πιο παλιά στο forum...

Σε τρίγωνο $ABC$ ισχύει ότι...

Να κατασκευαστεί το ισοσκελές τραπέζιο $\displaystyle{ABCD}$ με $\displaystyle{AB=a, \ \ BC=b \ \ CD=c \ \ DA=d}$ όταν γνωρίζουμε
τις δυο βάσεις του $\displaystyle{a, c}$ και πως η διαγώνιος αυτού $\displaystyle{BD}$ είναι η συμμετροδιάμεσος του...

Τα μήκη των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι σε αριθμητική πρόοδο
με διαφορά δύο.
Το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι $\sqrt{105}$ τ.μ.
Να βρείτε το μήκος των πλευρών του τετραπλεύρου.
(Υ.Γ: Ο επώνυμος τύπος είναι εκτός ύλης, μπορεί να...

Ειδικό τρίγωνο_fragkos_26_6_2022.png
Σε ευθεία έστω κατά σειρά τα σταθερά σημεία , $B,D,M,C$ με : $BD = 2\,\,,\,\,DM = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MC = 5$.

Να κατασκευαστεί τρίγωνο $ABC$ έτσι ώστε , $\widehat {BAD} = \widehat {MAC}$ και :

α)...

Εμβαδόν εγγραψίμου τετραπλεύρου.png

Σε εγγράψιμο τετράπλευρο $ABCD$ είναι , $AD = DC\,\,$ και $\widehat {DBA} = 15^\circ $.

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του αν γνωρίζουμε ότι αριθμητικά είναι τριπλάσιο, του μήκους $d$ της διαγώνιου $DB$.

Μπορείτε να με βοηθήσετε ως προς την λύση των παρακάτω προβλημάτων:

Πρόβλημα(1) : Έστω $ k \in C \big( \times : \mathbb{C} \big) $ και έστω ο τελεστής $ A \in L(X) $ με τύπο
$\displaystyle{ (Au)(x) = \int\limits_{0}^{x} k(x,y) u(y) d y , x \in...

Να αποδείξετε ότι το άθροισμα: $1 + 2 + \cdots + n$ διαρεί το άθροισμα: $ 1^k + 2^k + \cdots + n^k$ για κάθε περιττό $k$. Θα γράψω μετά την πηγή της άσκησης αν και εκεί έδινε αρκετές βοήθειες για τη λύση μέσω άλλων υποερωτημάτων. Ελπίζω να κάνει για...

Για κατάλληλους $c, d$ να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{c}^{d} \frac{\mathrm{d}u}{u \sqrt{\left ( u^2-c^2 \right ) \left ( d^2-u^2 \right ) }}}$

Καλησπέρα σας,
Στο πλαίσιο του μαθήματος της ανάλυσης ζητήθηκε η απόδειξη του θεωρήματος του Ναπολέοντος με την χρήση μιγαδικών αριθμών. Στις αποδείξεις που υπάρχουν συχνά γίνεται αναφορά στην κατεύθυνση των τριγώνων αλλά και η σύνδεση με την...

Να δώσετε παράδειγμα οξείας γωνίας η οποία

α) δεν κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη αλλά, συγχρόνως,

β) αν κάποιος σας την ζωγραφίσει (εννοείται χρησιμοποιώντας όργανα πέρα από τον κανόνα και διαβήτη) τότε εσείς θα μπορέσετε να την...

Συμμετρίες για παραλληλία.png
Έστω σταθερό τρίγωνο $ABC$ , η διάμεσός του $AM$ και μεταβλητό σημείο, έστω $S$,της πλευράς $AC$.

Ας είναι $D$ το συμμετρικό του $S$ ως προς το $M$ και $T$ το σημείο τομής των $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS$.

Για...

Μεγάλες κατασκευές 83.png Η γωνία $\hat{A}$ είναι γνωστή , όπως και το τμήμα $AB$ . Μπορούμε άραγε να εντοπίσουμε

( κατασκευάσουμε ) σημείο $C$ , στην άλλη πλευρά της γωνίας , ώστε : $\widehat{B}=2\hat{C}$ ;

( Για περαιτέρω ενασχόληση με αυτή ) ....