Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της παρακάτω εξίσωσης, συμπεριλαμβανομένου όλων των σημαντικών στοιχείων της (ρίζες, ασύμπτωτες κλπ):

$\begin{equation} f(x) = \frac{2x^3 + x^2 - 7x - 4}{x^2 - 4} \end{equation}$

Καλησπέρα.

Είναι γνωστό ότι η σταθερά $\pi$ και οι αριθμοί $lnk, k\epsilon \mathbb{N}/\left \{ 0,1 \right \}$ είναι άρρητοι και, μάλιστα, υπερβατικοί. Γνωρίζουμε αν είναι υπερβατικοί ή, τουλάχιστον, άρρητοι οι αριθμοί $\frac{\pi }{lnk}$ για τις...

Ρομβοδουλειά.png Ρόμβος με διαγωνίους $AC=8 , BD=6$ περιστρέφεται περί την κορυφή $C$ , με την κορυφή $B'$ ,

να διαγράφει το τόξο $\overset{\frown}{BD}$ , χωρίς τα άκρα του . Ενδιαφερόμαστε για το τετράπλευρο $AB'DA'$ .

α) Βρείτε το $(AB'DA')$ ,...

Υπολογιστική κατασκευή.png Σε κύκλο διαμέτρου $11$ , να κατασκευασθεί χορδή $AB$ , στην οποία αν φέρουμε το μεσοκάθετο

τμήμα $MT$ - το οποίο έχει μέσο το $N$ - και την χορδή $ANS$ , να προκύψει : $NS=MB$ .

Αν $y_1(x),y_2(x)$ είναι δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης $y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0,$ όπου $x \in \Delta$ (διάστημα) και $p(x),q(x)$ συνεχείς συναρτήσεις στο $\Delta,$ να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο διαδοχικών λύσεων της $y_1(x)=0$...

Έχω να λύσω την:
$x^{2} y^{''}-3xy^{'}+4y=0$

Και έχω κολλήσει, μετά από ένα σημείο και μετά.
Αν μπορούσε κάποιος να βοηθήσει θα του ήμουν ευγνώμων. :) Ευχαριστώ!

Στροφή προς το συνημίτονο.png Από σημείο $S$ εξωτερικό του κύκλου , φέραμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA , SB$ .

Αν $M$ είναι το μέσο του $SB$ και το σημείο τομής $N$ του $AM$ με τον κύκλο ,

είναι ταυτόχρονα και το μέσο του $AM$ , υπολογίστε το...

right_angle.png Από ένα σημείο $M$, που βρίσκεται εκτός ενός δεδομένου κύκλου, φέρουμε δύο τέμνουσες του κύκλου. Η μια απ' αυτές διέρχεται από το κέντρο
$O$ του κύκλου και τον τέμνει στα σημεία $A$ και $B$. Η δεύτερη τέμνουσα τέμνει τον κύκλο στα...

Μια άσκηση μου που είχα προτείνει στο Math Reflections ( ελπίζω να είναι σωστή η επιλογή φακέλου )

Να αποδειχθεί ότι η παράσταση $2^x+2023$ δεν είναι ποτέ τέλειος κύβος ακέραιου, όπου $x$ ένας θετικός ακέραιος

Δείξατε ὅτι διά κάθε θετικό ἀκέραιο $m$ ὑπάρχει θετικός ἀκέραιος $n$, ὥστε

$\displaystyle{
\big \,=\, \big .
}$

Οι $\displaystyle{n_1,n_2,...,n_k}$ είναι θετικοί ακέραιοι και ο $\displaystyle{a}$ είναι άρρητος. Να δειχθεί ότι:

1. Υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{m_1,m_2,...,m_k}$ ώστε

$\displaystyle{\frac { }{n_1}=\frac { }{n_2}=...=\frac {...

Έστω $a,b,c>0$ τέτοιοι ώστε $ab+bc+ca=1$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sqrt{a + \frac{1}{a}} + \sqrt{b + \frac{1}{b}} + \sqrt{c + \frac{1}{c}} \geq 2 \left (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \right ) }$

Ξερριζωμός.png Οι μοναδιαίοι κύκλοι $(O)$ και $(K)$ εφάπτονται στο $S$ . Στο παραλληλόγραμμο $ABCD$ ,

οι κορυφές $B , D$ είναι σημεία επαφής . Υπολογίστε τις πλευρές και τις διαγωνίους του .

Μέγιστη τιμή αθροίσματος.png
Με διάμετρο την υποτείνουσα $BC=a$ ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ γράφω ημικύκλιο έξω απ' το τρίγωνο και

έστω $M$ ένα μεταβλητό σημείο του ημικυκλίου. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του αθροίσματος $MA+MB+MC$

καθώς και τη...

Εξωφρενική ισότητα.png Τα δύο ομόκεντρα ημικύκλια , έχουν διαμέτρους $AB=2R$ και $CD=2r$ . Σχεδιάζουμε

τέμνουσα $AST$ των δύο τόξων , με τα σημεία $S , T$ πλησιέστερα προς τα $D , B$ αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι :...

Αν $a,b,c,d$ θετικοί με $abcd\ge 1$, να αποδειχθεί ότι $\dfrac {1}{a+3}+\dfrac {1}{b+3}+\dfrac {1}{c+3}+\dfrac {1}{d+3}\le 1$

(Ας σχολιάσω ότι έχει πολλά άμεσα πορίσματα, π.χ. με την ίδια υπόθεση ισχύει

$\dfrac {1}{ab+3}+\dfrac {1}{bc+3}+\dfrac...

Όλα γωνιακά.png Τα σημεία $K , L , M, N $ είναι τα μέσα των πλευρών του τετραγώνου και τα νούμερα

δείχνουν τα εμβαδά . Υπολογίστε το $E$ . Κερδίζει η πλέον λακωνική λύση :mrgreen:

Γενίκευση αυτής Γενίκευση Φ..png
Έστω $M$ το μέσο χορδής $BC$ ενός κύκλου $(O)$ και δύο σημεία του $D, E$ στο ίδιο τόξο $\overset\frown{BC}.$ Να προσδιορίσετε

σημείο $A$ του άλλου τόξου, ώστε αν οι $DA, EA$ τέμνουν την $BC$ στα $K, L$ αντίστοιχα,...

Δίνονται δύο τεμνόμενοι κύκλοι και μία τέμνουσά τους που διέρχεται από ένα κοινό του σημείο.

Να βρεθεί το μέγιστο του αθροίσματος των δύο χορδών που ορίζονται από την τέμνουσα αυτή.

Πόσοι θετικοί ακέραιοι μικρότεροι του $\large 1000$ διαιρούνται με το $\large 2$ και το $\large 3$ αλλά όχι με το $\large5$ ;

O γιος ενός Τούρκου μαθητή του Καραθεοδωρή, μαθηματικός και ο ίδιος και πρώην πρόεδρος του Πανεπιστημίου Sabanci της Πόλης, γράφει για τον μεγάλο μαθηματικό εδώ . [Ανακάλυψη του Ανδρέα Χατζηπολάκη, δείτε και εδώ .]

Με αφορμή αυτή την άσκηση πάνω στους αριθμούς Fibonacci θέτω το παρακάτω γινόμενο.

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{F}_{2n} \mathcal{F}_{2n+2} + \mathcal{F}_{2n-1} \mathcal{F}_{2n+2}}{\mathcal{F}_{2n}...

Έστω $\mathcal{F}_n$ ο $n$ - οστός όρος της ακολουθίας Fibonacci. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 + \frac{(-1)^n}{\mathcal{F}_n^2} \right ) = \varphi}$

όπου $\varphi$ ο χρυσός λόγος.