mathematica.gr

Θεώρημα;.png
To τετράπλευρο $ABCD$ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O.$ Οι κάθετες από το $A$ στις $AD, AB$

τέμνουν τις $DO, BO$ στα $M, N$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle AC \bot MN.$

Παραλληλία σε τρίκυκλο.png Τμήμα $OL$ χωρίζεται με σημεία $A , K$ σε τμήματα : $OA=10 , AK=6 , KL=9$ . Γράφω

τους κύκλους : $(O,OA) , (K,KA) , (L,LA)$ . Σημείο $S$ κινείται στον $(L)$ . Οι $SO , SK$

τέμνουν τους $(O) , (K)$ στα σημεία $P ,T$...

Μεσοκαθετότητα.png Στο τρίγωνο $ABC$ , το σημείο $N$ είναι το μέσο της διαμέσου $BM$ . Αν : $BM=5 $ ,

$ AC=6$ και : $AN \perp BC$ , υπολογίστε τo εμβαδόν του τριγώνου .

Αν : $xy=\dfrac{3}{2}$ και : $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{5}{3}$ , βρείτε τις πιθανές τιμές του κλάσματος : $\dfrac{x+y}{x-y}$ .

]Παναγιώτης ΒΙΚΑΤΟΣ Μαθηματικός -Φροντιστής (1933-2015)
Το ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΑΡΧΕΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ παρουσιάζει τον μαθηματικό-φροντιστή Παναγιώτη ΒΙΚΑΤΟ μέσα από συζήτηση με τον Θεοχάρη Βικάτο, γιό του Φροντιστή, ηλεκτρολόγο-μηχανολόγο.
Ο Παναγιώτης ΒΙΚΑΤΟΣ...

Σημείο για μεγιστοποίηση.png Από σημείο $S$ της προέκτασης της διαμέτρου $AB=d$ , ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα $ST$ και χορδή $PT \parallel AB$ . Υπολογίστε το τμήμα $SP$ , όταν μεγιστοποιείται το $(SPT)$ .

Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη $\displaystyle{(p,q,r,n),}$ με $\displaystyle{p,q,r}$ πρώτους και $\displaystyle{n}$ θετικό ακέραιο, που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{p^n+q^n+r^n=2026(p+q)(q+r)(r+p).}$

(Ας την αφήσουμε $\displaystyle{24}$...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int_{0}^{1} \left( 2\sqrt{x}\,\ln^{2}(2) + \ln^{2}(1+x) \right)\,dx$

Καλησπέρα σε όλους. Θα ήθελα να σας ενημερώσω για το Maths Beyond Limits (MBL) (

Είναι ένα αρκετά απαιτητικό και επιλεκτικό πρόγραμμα που ιδρύθηκε από παλιούς Ολυμπιονίκες και άτομα που θέλουν να ενισχύσουν την παιδεία και να ενθαρρύνουν και να...

Έχετε χρόνο και άλλα εφόδια ;.png Σημείο $S$ κινείται στην μία από τις κάθετες πλευρές- την $OA$ - του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $OAB$ .

Η κάθετη $OT$ από το $O$ προς την $CS$ , τέμνει την υποτείνουσα $BC$ στο $P$ . Βρείτε το μέγιστο του...

30%.png $\bigstar$ Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο $ABCD$ , μεταβλητή ευθεία παράλληλη προς την $AB$ , τέμνει τις $AD , AC , BC$

στα σημεία $P,S,T$ αντίστοιχα . Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία αποδίδει το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης...

Χαιρετώ!
8e941d69-0b65-4c2e-ba08-8cd2f9a76fa8~1.jpg

Το τρίγωνο $AMO$ έχει γωνίες $\angle A =96^o $ και $\angle O =48^o$. Στην προέκταση της $OA$ θεωρούμε το σημείο $N$ ώστε $ON=AM$

και στην πλευρά $OA$ το σημείο $I$ ώστε $\dfrac{OM}{IN}=\Phi...

Καλημέρα και καλή Ανάσταση!
Το τρίγωνο $ABC$ έχει γωνία $ \angle A=80^o $, ενώ$AB=AC$

Το σημείο $H \in BC$ ώστε το $AB$ να είναι μέσος ανάλογος των $BH,BC$.

Το σημείο $E \in AC$ ώστε ο κυκλικός ημιδίσκος διαμέτρου $BC$να έχει τριπλάσιο εμβαδόν...

Σχεδόν δίκαιο.png Στο ευθύγραμμο τμήμα $AB$ κινείται σημείο $S$ . Προς το ίδιο ημιεπίπεδο σχεδιάζουμε τα ισόπλευρα

τρίγωνα $AST , SBP$ . Για ποια θέση του σημείου $S$ , είναι : $(TAP)=(PAB)$ ;

Μελετώντας ασκήσεις εύρεσης τύπου συνάρτησης, έπεσα πάνω στο εξής θέμα:

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις
$\displaystyle
f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)
$
\textbf{ώστε να ισχύει}
$\displaystyle
(f(x)+y)\,f\bigl(x+f(y)\bigr)=(x+f(y))^{2},
\qquad \forall...

Πρόβλημα 1:
Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων $x,y$ που επαληθεύουν την εξίσωση:
$(x-y)(xy+3)=21-(xy)^2$
Πρόβλημα 2:
Έστω $ABC$ τρίγωνο με $AB=AC Επίσης...

Έστω $x,y$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $x+y=1$.

Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle
\frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} \ge 1.
$

Για ποιες τιμές των $x$ και $y$ ισχύει η ισότητα;

Edit 9:29μμ. Μήπως ο φάκελος δεν είναι σωστός;

Πως εξελίσσεται η ακολουθία $a_{n}=((n!)!)!$ το τριπλό παραγοντικό δηλαδη... :!:

Σχέση πλευρών από σχέση γωνιών.png Στο τρίγωνο $ABC$ του παρατιθέμενου σχήματος , δείξτε ότι : $AB+AS=BC$ .

Κατασκευή ισοσκελούς.png Να κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο $ABC , (AB=AC)$ , στο οποίο αν φέρουμε

το ύψος $BD$ , την διχοτόμο $BE$ και την διάμεσο $BM$ , να είναι : $DE=EM$ .

Κάντε την εξίσωση να ισχύει μετακινώντας μόνο ένα σπίρτο. :idea:

Λόγος λόγων.png Σε σημείο $T$ της διαμέτρου $AB=d$ ενός ημικυκλίου , πλησιέστερο του $B$ , υψώνουμε

κάθετο τμήμα $TS=TB$ . Από το $S$ διέρχεται χορδή $CD$ παράλληλη προς την $AB$ .

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\lambda=\dfrac{CS}{SD}$ , είναι πάντα...

Βρείτε τις ακέραιες λύσεις του συστήματος : $\left\{\begin{matrix}
x+y+x^2y^2 &=41 \\
& \\
x^2+y^2+xy&=31 \\
\end{matrix}\right.$

Βρείτε τις ακέραιες τιμές του $a$ , για τις οποίες η εξίσωση : $x=\sqrt{\dfrac{a}{2}+\sqrt{\dfrac{a}{2}-x}}}$ ,

έχει - ως προς $x$ - μοναδική λύση , η οποία είναι επίσης ακέραια .