Δίνεται ένα τρίγωνο $ABC$ και μια ευθεία $\ell$ παράλληλη της $BC$, και έστω $E$, $F$
τα σημεία τομής της με τις $AB$, $AC$ αντίστοιχα. Θεωρούμε τους κύκλους $(B, BE)$
και $(C, CF)$ οι οποίοι τέμνονται στα σημεία $X$ και $Y$. Να αποδείξετε ότι οι...

Το τρίτο τμήμα.png $\bigstar$ Στην μεσοκάθετη ακτίνα $ON$ , της διαμέτρου $AOB=6$ ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο $P$ ,

τέτοιο ώστε : $NP=2$ . Η $AP$ τέμνει το τόξο στο σημείο $S$ . Η εφαπτομένη του τόξου στο $S$ τέμνει

την προέκταση της $ON$...

Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}
\dfrac {x-1}{x^2+1} = \dfrac {y}{y^2+6}\\ \\ \dfrac {x}{x^2+6} = \dfrac {y-1}{y^2+1}
\end{matrix}\right. }$

(Την είδα χωρίς λύση σε μία εθνική Ολυμπιάδα. Η λύση μου έχει μία ωραία πονηριά,...

Τετριμμένο ελάχιστο 2.png Η ημιευθεία $Bx$ είναι παράλληλη και ομόρροπη προς την ακτίνα $OA$ του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ .

Σε σημείο $S$ το οποίο κινείται στο τόξο , φέρω την εφαπτομένη , η οποία τέμνει την $Bx$ στο $T$

και την...

Δίνεται ένα τρίγωνο $ABC$ με ύψη $BE$, $CF$ και ένα σημείο $X$ στο εσωτερικό του τετραπλεύρου $BCEF$.
Τα σημεία $K$, $L$ επιλέγονται εκτός του τριγώνου $ABC$ έτσι, ώστε τα τρίγωνα $EFX$, $BFK$, $ECL$
να είναι όμοια (η σειρά των κορυφών συμπίπτει...

Τρεις διχοτόμοι.png Στο τρίγωνο $ABC$ φέραμε τις διχοτόμους $AD $ και $BE$ . Βρείτε μια ιδιότητα την οποία

πρέπει να έχει το τρίγωνο , ώστε η διχοτόμος της $\widehat{ADC}$ , να διέρχεται από το σημείο $E$ .

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με ύψη $AD,BE,CF$ και $(O)$ ο κύκλος διαμέτρου $BC.$ Φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $AE$ και $AF$ του κύκλου $(O),$ με το $E$ προς το ίδιο ημιεπίπεδο με το $B$ ως προς $AD,$ που οι προεκτάσεις τους τέμνουν την...

Έστω $ABCD$ κυρτό εγγράψιμο τετράπλευρο και $E$ το σημείο τομής των $AC,BD$. Έστω $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}, J_{1},J_{2},J_{3},J_{4}$ τα έγκεντρα των $ABC,BCD,CDA,DAB, EAB, EBC, ECD, EDA$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα 8 σημεία $I,J$ βρίσκονται...

Ελάχιστο άθροισμα..png
Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $BC=a.$ Θεωρώ ημιευθεία $Ax$ παράλληλη και ομόρροπη της $BC$ και επί αυτής τυχόν

σημείο $S.$ Αν $M$ είναι το σημείο τομής των $BS, AC$ και $h$ η απόσταση των δύο παραλλήλων, να βρείτε το ελάχιστο...

Να βρεθεί το εμβαδόν του φραγμένου χωρίου που ορίζεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
$f(x)=|x^2+3x-4|$ και $g(x)=|3x|+|x^2-4|$

Ώρα εφαπτομένης 131.png Στο ορθογώνιο $ABCD$ του σχήματος , έγιναν κάποιες προσθήκες . Υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Σε τρίγωνο $ABC$ φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας $BAC$ που τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο
$\Omega$ του τριγώνου στο σημείο $D$. Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Στις πλευρές $AB$ και $AC$
θεωρούμε τα σημεία $B_{1}$ και $C_{1}$ αντίστοιχα, έτσι...

Διπλό μέγιστο.png Το σημείο $S$ κινείται στην κάθετη προς την διάμετρο $AB$ του ημικυκλίου ημιευθεία .

Υπολογίστε το : $(SP \cdot PT)_{max}$ , καθώς και το : $(ATSC)_{max}$ .

Εσωτερικό τμήμα.png Στις πλευρές $AB , AC$ , του τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε σημεία $P , T$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε :

$PT \parallel BC$ και : $CT=2AP$ . Υπολογίστε το τμήμα $PT$ . Πώς κατασκευάζεται το τμήμα αυτό ;

Καλημέρα σε όλους. Σε αυτήν την ανάρτηση ας τεθούν για συζήτηση μερικά από τα νέα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων Άλγεβρας Α' Λυκείου, που αναρτήθηκαν τον Σεπτέμβριο 2025, ΕΔΩ .

Τα θέματα αναπτύχθηκαν στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών...

Λύστε με δύο τρόπους την εξίσωση : $x^4-9x^3+27x^2-36x+18=0$

Αν έχετε βρει έναν τρόπο , δημοσιεύστε τον :P

Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με τις διχοτόμους των $\angle A, \angle B$ να επανατέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\gamma$ στα σημεία $D,E$ αντίστοιχα και τα σημεία $G\equiv DE \cap BC,F \equiv DE \cap AC.$ Η εκ του $G$ παράλληλη στην $BE$...

Μια συνάρτηση $f$ είναι ορισμένη στο διάστημα $ $.
Γνωρίζουμε ότι:

1) ισχύει το Θεώρημα Rolle στο $ $,
2) δεν ισχύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο $ $.

Τότε είναι βέβαιο ότι:

α) Η $f$ δεν είναι συνεχής στο $ $
β) Η $f$ είναι συνεχής στο $ $
γ)...

Έστω τετράγωνο κτίριο πλευράς $20$ μέτρων. Ο Κώστας ξεκίνησε από μια γωνία του κτιρίου ,έξω από το κτίριο ,και αφού κινήθηκε (εξωτερικά μόνο) σε τεθλασμένη γραμμή δέκα ίσων ευθυγράμμων τμημάτων ,κατέληξε στο ίδιο σημείο ,'περικυκλώνοντας' το...

Να λυθεί η εξίσωση : $x^2+(x+4)^2=17\sqrt{x^2+4x+23}$

Εμβαδόν από πλευρές.png Υπολογίστε το εμβαδόν του τραπεζίου $ABCD$ , με πλευρές : $a , b , c , d$ ( βάσεις οι $b, d$ ) .

Εφαρμογή , από την οποία μάλιστα μπορείτε να αρχίσετε : $a=5 , b= 3 , c=6 , d=9$ .