Καλημέρα!

Στο λήμμα της Wikipedia για την ακολουθία Fibonacci καταγράφεται η παρακάτω ισότητα:

$\sum_{k=0}^{\infty }\dfrac{1}{F_{2k+1}+1}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

Μπορείτε να υπολογίσετε τη δίδυμη σειρά:

$\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{F_{2k+1}-1}$ ;

Θεωρούμε τους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b}$. Αν ο $\displaystyle{a}$ ελαττωθεί κατά $\displaystyle{7}$ και ο $\displaystyle{b}$ αυξηθεί κατά $\displaystyle{8}$, τότε προκύπτουν
δύο νέοι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το...

Ομοιότητα τριγώνων – Μήκος τόξου .png

Παραπάνω φαίνεται το σχέδιο ενός σταδίου. Τα δύο κυκλικά του τμήματα

αποτελούνται από ημικύκλια με κέντρο Α και ακτίνες R και ρ ($R>\rho $).

Επίσης ο λόγος των μηκών των ημικυκλίων είναι...

Ημίτονο κατά την ελαχιστοποίηση.png Η πλευρά $AD$ του ορθογωνίου $ABCD$ είναι σταθερή με μέσο το $M$ , ενώ η $AB$ μεταβάλλεται .

Ονομάζω $B' , D'$ τις προβολές των $B , D$ στο τμήμα $CM$ και $N$ το μέσο του τμήματος $B'D'$ .

Βρείτε το :...

$\displaystyle{\bigstar}$ Σε μια εκδρομή ήταν άνδρες, γυναίκες και παιδιά.
Οι άνδρες ήταν το $\displaystyle{20\%}$ του συνόλου , οι γυναίκες $\displaystyle{12}$ περισσότερες από τα παιδιά και τα παιδιά 10 περισσότερα από τους άνδρες.
Πόσοι ήταν οι...

Να βρεθούν οι ηλικίες δύο ατόμων, αν γνωρίζουμε ότι πριν 4 χρόνια η ηλικία του

πρώτου ήταν διπλάσια από την ηλικία του δεύτερου, ενώ μετά από 6 χρόνια η ηλικία

του δεύτερου θα ισούται με τα $\,\,\,\displaystyle\frac{2}{3}\,\,\,$ της ηλικίας του...

Γεωμετρικοί Τόποι.png

Δίνεται τρίγωνο $\,\,ABC\,\,$ του οποίου η βάση $\,\,BC\,\,$ είναι σταθερή σε θέση και μέγεθος. Η κορυφή $\,\,A\,\,$ κινείται στον περιγεγραμμένο

και σταθερό κύκλο $\,\,(W)\,\,$ του τριγώνου $\,\,ABC\,\,$ έτσι, ώστε η γωνία...

Απο τις εκδόσεις 24 γράμματα εκδόθηκαν 5 βιβλία μου
1.Μια ποιητική συλλογή Αλκυονίδες λέξεις που είναι η 3η κατά σειρά που έχω γράψει

2.Τα μαθηματικά παραμύθια που τα έχετε δει στο :santalogo:. Είχα προσθέσει 4-5 καινούργια.Πρόκειται για προβλήματα...

Το βιβλίο του Δ. Κουκουλοπούλου The Distribution of Prime Numbers (μαζί και μια βιβλιοκριτική). :idea:

Για τον συγγραφέα εδώ --->

Έστω $n \in \mathbb{N}$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\psi^{(1)} \left ( n + \frac{1}{2} \right ) = \frac{\pi^2}{2} - 4 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left ( 2k-1 \right )^2}}$

όπου $\psi^{(1)}$ η τριγάμμα .

Για $n\in \mathbb{N}$ και $E \subset \{0,1,...,n-1\}$ ορίζουμε το modulo set:

$\displaystyle{ A_{n,E} := \{ k \in \mathbb{N} : k \ (mod \ n) \in E \} .}$

Έστω $\mathcal{A}$ η άλγεβρα που ορίζεται από τη συλλογή όλων αυτών των modulo sets για κάθε...

Η τρίτη κορυφή.png Οι διάμεσοι $AM$ και $BN$ του τριγώνου $ABC$ είναι κάθετες . Δείξτε ότι : $30a<199$ . Μέχρι $23/01/23$ .

Μια διάλεξη του Κων/νου Δασκαλάκη για τα Μαθηματικά που χρησιμοποιούνται στην ΤΝ. :idea:

Σεμινάριο Διδακτικής εξ αποστάσεως σήμερα Παρασκευή 13 Ιανουαρίου 2023, στις 15:00 - 16:00
(συγνώμη που δεν το ανάρτησα νωρίτερα, αλλά το είδα σήμερα, πριν από λίγο).

Οργανωτής το Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου...

Ένα άρθρο του Γιάννη Χριστιανίδη σχετικά με την γνώση της Άλγεβρας απο τους αρχαίους Έλληνες.

Εξαπαραμετρική σταθερότητα.png Δίνεται η παραβολή : $f(x)=\dfrac{1}{n}(ax^2+bx+c ), a\neq 0$ , την οποία οι ευθείες :

$x=m-k , x=m , x=m+k$ , τέμνουν στα σημεία $A , B , C$ αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$ εξαρτάται μόνο από...

Οι αριθμοί Pell ικανοποιούν $\mathcal{P}_0 =0 $ , $\mathcal{P}_1=1$ και $\mathcal{P}_n = 2 \mathcal{P}_{n-1} + \mathcal{P}_{n-2}$ για κάθε $n \geq 2$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{1}{\sqrt{2} \mathcal{P}_n}...

Καλησπέρα & Καλή Χρονιά!

Θα ήθελα να ρωτήσω εάν γνωρίζει κάποιος πού μπορώ να βρω το βιβλίο του Γ. Μπαραλού ΑΝΑΛΥΣΗ - ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ .
Το έχω αναζητήσει κατά καιρούς σε σχετικά βιβλιοπωλεία στο κέντρο της Αθήνας χωρίς θετικό αποτέλεσμα....

Έστω $\mathcal{F}_n$ ο $n$ - oστός όρος Fibonacci. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi^{-2(k-1) n}}{\mathcal{F}_{2n} \mathcal{F}_{2n+2} \cdots \mathcal{F}_{2n+2k}} = \frac{\varphi^{-2k}}{\mathcal{F}_2 \mathcal{F}_4...

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n+1}{e^{\pi(2n+1)}+1} = \frac{1}{24}}$

Να βρεθεί γενικός όρος της ακολουθίας:

$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...$

Καλή χρονιά!

Άκουγα πριν από λίγο στην τηλεόραση ότι πέρσι στην Κύπρο είχαμε μείωση των θανάτων από τροχαία. Πιο συγκεκριμένα τα τελευταία χρόνια είχαμε τους εξής θανάτους:

2018: 49
2019: 52
2020: 48
2021: 45
2022: 37

Να ελεγχθεί από τα πιο πάνω δεδομένα αν η...

Έχουμε το δοσμένο πρόβλημα

$\displaystyle{xu_x-yu_y=u,\ x>0, \ y>0 \ (1)}$
$\displaystyle{u(x,x)=x^2, \ x>0, \ (2)}$

Γνωρίζουμε ότι για να είναι ένα πρόβλημα καλά τοποθετημένο:

έχει μια λύση
η λύση είναι μοναδική
μια μικρή αλλαγή στην...

Χρόνια Πολλά σε όλους, με υγεία και χαρά! :santalogo:

Σε γιορτινό πνεύμα η παρακάτω άσκηση που έφτιαξα:

Έστω $S=\{ 1,2,\ldots,n \}$, με το $n \geq 3$ να είναι ένας θετικός ακέραιος. Καλούμε ένα υποσύνολο $A$ του $S$ γιο ρτι νό αν $|A| \geq 3$...

Καλημέρα και Καλά Χριστούγεννα...

Επειδή αυτές τις ημέρες δουλεύω με σφαίρες και σχετικά θέματα
σκέφτηκα να παίξω στο πνεύμα των ημερών.

Να λοιπόν ένα προσχέδιο με ευθείες ασύμβατες ή μη.. .

Χριστούγεννα 2022.png

Επειδή ήταν φτωχό το γέμισα...