Περίμετρος από εμβαδόν.png $\bigstar$ Το ορθογώνιο τραπέζιο του σχήματος έχει εμβαδόν $45$ και ύψος $6$ .

Επίσης είναι : $BD=2AC$ . Υπολογίστε την περίμετρό του .

Αμερικάνικο ισοσκελές.png
Το $ABCD$ είναι τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O.$ Τα $E, F$ είναι σημεία των πλευρών $AB, CD$

αντίστοιχα και οι κύκλοι $(ADE), (BCF)$ επανατέμνουν την $EF$ στα $Q, P.$ Να δείξετε ότι $OP=OQ.$

Γεια σας. Μήπως γνωρίζει κανείς την ημερομηνία στην οποία θα διεξαχθεί φέτος ο Θαλής; Ευχαριστώ προκαταβολικά.

Αν $\dfrac {x}{x^2+x+1}=a$, να βρεθεί συναρτήσει του $a$ η τιμή της παράστασης $\dfrac {x^2}{x^4+x^2+1}$.

Σχόλιο: Θα μπορούσαμε να λύναμε ως προς $x$ την δοθείσα και μετά να αντικαταστήσουμε στην δεύτερη την παράσταση που βρήκαμε. Ο τρόπος αυτός,...

Εντυπωσιακή διχοτόμος.png Στο τετράγωνο $ABCD$ , το τεταρτοκύκλιο $(D , \overset{\frown}{AC})$ τέμνει τη διαγώνιο $BD$ στο σημείο $T$ . Η παράλληλη

από το $T$ προς την $AB$ , τέμνει το τεταρτοκύκλιο $(A , \overset{\frown}{BD})$ στο σημείο $S$ . Από...

Διαμερίζουμε τα διαστήματα $ $ των αξόνων x'x και y'y σε $n$ το πλήθος ισομήκη διαστήματα.

Ονομάζουμε τώρα τα άκρα των διαστημάτων με τα γράμματα $A_i\left ( \frac{i}{n},0 \right ),B_i\left ( 0,\frac{i}{n} \right ),i=0,1,...,n$

και...

Όταν η Άννα ήταν $2$ χρονών, η Βάσω ήταν $5$. 'Οταν η Άννα ήταν $6$ χρονών, ο Γιάννης ήταν $12$. Πόσο χρονών ήταν η Βάσω όταν ο Γιάννης ήταν $14$ χρονών;

(Απευθύνομαο σε μαθητές των μικρών τάξεων του Δημοτικού, για να τους κινήσω το ενδιαφέρον για...

Συνάντηση .png

Έστω $ABC$ ένα τρίγωνον $(AB\ne AC,\,\,\,B\widehat{A}C\ne 90{}^\circ )$. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν $X,\,\,Y$ πάνω

στις $AB,\,\,AC$ τέτοια ώστε $BY=CX$. Έστω $BY\cap CX=\left\{ Q \right\}$. Η διχοτόμος της $B\widehat{Q}\,C$...

Να λυθεί η εξίσωση : $\cos x+\cot x=\cos x \cdot \cot x$

Είμαι σίγουρος ότι τη παρακάτω άσκηση την έχω ξανά θέσει και έχει απαντήσει ο Σταύρος. Δυστυχώς, δε μπορώ να τη βρω ... οπότε τη ξανά θέτω!!

Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται το γράφημα μια συνάρτησης $f$.

$\displaystyle{\begin{tikzpicture}...

Η συνάρτηση $f : \rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής στο $ $, παραγωγίσιμη στο $(1, 2)$ και ισχύουν $f (1) = 1$, $f (2) =2$. Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2 \in (1, 2)$ με $\xi_1 \neq \xi_2$ τέτοια ώστε $\xi_1^2 \xi_2^2 f'(\xi_1) f'(\xi_2)...

Με αφορμή αυτήν .

Αν $I, G$ είναι το έγκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα, τριγώνου $ABC$ με περίμετρο $2s$ και ακτίνες

$r, R$ εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου, να δείξετε ότι $\displaystyle I{G^2} = \frac{1}{9}\left( {{s ^2} + 5{r^2} -...

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 6ης τάξης για την 2η φάση, 19 Φεβρουαρίου 2023.

1. Μερικοί πειρατές μοίρασαν μεταξύ τους ένα θησαυρό: ο καθένας τους έλαβε πέντε πολύτιμους λίθους συνολικής αξίας $100000$ πιάστρων. Προέκυψε, ότι...

Καλησπέρα σε όλους. Το σχολικό βιβλίο δέχεται ότι οι πλευρικές παράγωγοι σε κάθε σημείο είναι ίσες ;

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 8ης τάξης για την 2η φάση, 19 Φεβρουαρίου 2023.

1. Στην βάση $AD$ τραπέζιου $ABCD$ βρέθηκε τέτοιο σημείο $E$, ώστε $AE=EC$ και $BE=ED$. Να αποδείξετε, ότι το σημείο τομή των διαγώνιων του...

Οριζόντια από κάθετες.png Θέμα της κατηγορίας : Όποιος δεν έχει βάσανα : Το $B$ είναι το μέσο του τμήματος $AC$ και το $O$ του $AB$ .

Στο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ κινούνται σημεία $S , T$ , ώστε : $OS \perp OT$ . Οι $CT , CS$ , ξανατέμνουν

το...

Έλαβα την παρακάτω ανακοίνωση για το πλούσιο φάσμα των Υποτροφιών Fullbright 2024-2025. H πλατφόρμα τους για ηλεκτρονικές αιτήσεις ανοίγει σήμερα. Επισηνάπτω και σχετικό συνημμένο.

Πρόγραμμα Υποτροφιών Fulbright για Έλληνες Πολίτες
Ακαδημαϊκού...

them_mathimatika_epan_230909-1.pdf

Σημείο στο εσωτερικό τριγώνου.png

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και σημείο $O$ στο εσωτερικό του. Έστω ${A}'\,\,{B}'\,\,{C}'$ τα σημεία

τομής των $AO,\,\,BO,\,\,CO$ με τις πλευρές $BC,\,\,CA,\,\,AB$ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι:

(α)...

Εγγεγραμμένο _ Περιγεγραμμένο.png

Έστω $ABCD$ ένα εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο τετράπλευρο. Έστω $P$ ένα τυχαίο σημείο της πλευράς $CD$ ($P$ διαφορετικό από

τα $C$ και $D$). Έστω $K,\,\,L$ τα έγκεντρα των τριγώνων $PDA$ και $PBC$ αντίστοιχα,...

Ένα άρθρο των Times του 2018 για την ζωή των εκπαιδευτικών στις ΗΠΑ και τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν. Βάζω το πρωτοσέλιδο που συνοψίζει το άρθρο σε μια φωτογραφία.
Φαντάζομαι και οι Έλληνες εκπαιδευτικοί θα έχουν ανάλογες δυσκολίες.

Άρθρο...

Έφυγε πριν λίγες ημέρες ο John Warnock ιδρυτής της εταιρείας ADOBE και δημιουργός του δημοφιλούς λογισμικού PDF η Portable Document Format. Το οποίο φαντάζομαι έχουν χρησιμοποιήσει οι περισσότεροι απο εμάς.
Πρώτο πτυχίο του τα Μαθηματικά

Σχετικά...

Να αποδείξετε, ότι ο κύκλος Euler του τριγώνου που σχηματίζεται από τις διαγώνιους ενός πλήρους τετράπλευρου διέρχεται από το σημείο Miquel αυτού.

Screenshot 2023-08-25 at 23.12.43.png

Να αποδείξετε, ότι αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y=f(x)$ έχει πάνω από ένα κέντρα συμμετρίας, τότε θα βρεθεί γραμμική συνάρτηση $l(x)$ και περιοδική συνάρτηση $p(x)$, ώστε $f(x)=l(x)+p(x)$.

Για Γ' Λυκείου

Στο χώρο δίνονται τέσσερα σημεία $A, B, C$ και $D$. Αν $\angle BAD=\angle BCD = \alpha $, $\angle ABC=\angle ADC= \beta$ και $AB \neq CD$, να βρείτε τον λόγο $\dfrac{AC}{BD}$.

Screenshot 2023-08-19 at 11.41.01.png