Παραγωγή παραλληλίας.png Κύκλος $(K)$ βρίσκεται στο εσωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου $AOB$ , εφαπτόμενος στην $AB$ .

Φέρουμε τα εφαπτόμενα προς τον κύκλο , τμήματα $AP$ και $BT$ . Το $PT$ προεκτεινόμενο ,

τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο $S$ ....

Παραγωγή ισότητας.png $\bigstar$ Από την κορυφή $C$, του - $a \times b$ - ορθογωνίου $ABCD , (a>b) $ και εξωτερικά αυτού ,

διέρχεται ευθεία $\varepsilon$. Ονομάζουμε $S , T$ τις προβολές των κορυφών $B, D$ , αντίστοιχα στην $\varepsilon$ .

Πως...

Το άθροισμα $5$ διαφορετικών μη μηδενικών φυσικών αριθμών είναι $2024$. Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει ο μικρότερος από τους $5$ αριθμούς;

(Κάνει και για Δημοτικό.)

Αλυτες KARKAROεμπνεύσεις.png
Έστω χορδή $DE$ κύκλου $\left( O \right)$ (κέντρου $O$ ) που τέμνει τη διάμετρό του $AB$ στο σημείο $C$ μεταξύ των $O,B$ και ας είναι $F$ το αντιδιαμετρικό του $E$ και $I$ το έγκεντρο του ορθογωνίου τριγώνου...

Γράφουμε σε αύξουσα σειρά όλους τους φυσικούς αριθμούς οι οποίοι έχουν άθροισμα ψηφίων πολλαπλάσιο του $5$. Η αρχή της σειράς αυτής είναι βέβαια $5, \, 14, \, 19, \, 23, \, 28, \, ... $, και λοιπά.

Ποια είναι η μικρότερη δυνατή διαφορά που μπορεί...

To Project Euler είναι μια συλλογή προβλημάτων που απαιτούν μαθηματικές και προγραμματιστικές δεξιότητες για την επίλυση τους.

Έχει περίπου 900 προβλήματα εδώ--->

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 8ης τάξης για την 2η φάση, 11 Φεβρουαρίου 2024.

1. Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον ένας από τους ακόλουθους τέσσερεις αριθμούς

икс, микс, пятиклассник, пляскитиматинататами

είναι σύνθετος...

Μια κοινωνία που χτυπάει τους δάσκαλους της θα πάει πολύ μπροστά. Να πεις ότι είναι μεμονωμένο αλλά έχω την αίσθηση ότι τα μεμονωμένα έχουν γίνει main stream τελευταία. Ίσως στο σχολικό πρόγραμμα πρέπει να μπει και ένα μάθημα (εφαρμοσμένης)...

Γράφουμε τους φυσικούς αριθμούς στην σειρά τον έναν δίπλα στον άλλο, χωρίς κενά:

$123456789101112...$

Ποια θα είναι η πρώτη φορά που θα συναντήσουμε τρεις διαδοχικούς αριθμούς σε φθίνουσα σειρά;

(Κάνει και για μικρές τάξεις του Δημοτικού).

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 7ης τάξης για την 2η φάση, 11 Φεβρουαρίου 2024.

1. Σε ένα διαγώνισμα συμμετείχαν $200$ μαθητές. Τα γραπτά όλων ο δάσκαλος τα τοποθέτησε σε μερικές στοίβες, ύστερα μάζεψε όλους του μαθητές σε μια...

Καλό είναι να τα έχουμε...

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑΛ 2024.pdf

723.png

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Μεγιστολόγιο.png Από την κορυφή $C$ του τετραγώνου $OABC$ και έξω απ' αυτό διέρχεται ευθεία $\varepsilon$ . Με πλευρά

$KN$ επί της $\varepsilon$ , σχεδιάζουμε παραλληλόγραμμο $KLMN$, περιγεγραμμένο στο τετράγωνο .

Ζητείται το μέγιστο του λόγου :...

Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί $p>1$ και $q >0$. Άραγε πάντα θα βρεθούν διαφορετικοί μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί $a,b,c,d$ τέτοιοι, ώστε

$\left (\dfrac{p}{q} +a\right)\left (\dfrac{p}{q} +b\right)= \left (\dfrac{p}{q} +c\right)\left (\dfrac{p}{q}...

Μερικοί φυσικοί αριθμοί από το $1$ έως το $10^{10000000}$ χωρίστηκαν σε ζεύγη έτσι, ώστε ο μεγαλύτερος αριθμός σε κάθε ζεύγος να διαιρείται με τον μικρότερο. Να δείξετε, ότι τουλάχιστον το $5\%$ όλων των αριθμών έμεινε χωρίς ταίρι.

Το πολυώνυμο $f$ είναι τέτοιο, ώστε η εξίσωση $f(f(x) \cdot f(x)=\alpha$ να έχει ακριβώς τρεις ρίζες για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό $\alpha$ από τό $1$ έως το $40$. Να αποδείξετε ότι ο βαθμός του $f$ είναι τουλάχιστον $6$.

Για Γ' Λυκείου

Μια απλή περιήγηση στη μαγεία της γεωμετρίας μέσω της γωνίας β-γ. Για μαθητές Γ' Γυμνασίου και πάνω. :welcomeani:

If you want contact me: spyros.nectarios@gmail.com
Spyros Varsamis
Thank you very much!!!!

Από ξένο τόπο.png Στην ακτίνα $OB$ , ημικυκλίου διαμέτρου $AOB=2r$ , θεωρούμε σημείο $S$ , με $OS=d $ .

Σημείο $P$ κινείται στο τόξο . Η κάθετη του $SP$ στο άκρο $P$ , ξανατέμνει το ημικύκλιο στο $T$ .

Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του εγκέντρου $E$...

Σήμερα άνοιξαν τα σχολεία, καλή χρονιά.
Σήμερα λοιπόν ασχολήθηκα με ένα θέμα που έπεσε στον τρίτο γύρο της Βουλγαρικής Μαθηματικής
Ολυμπιάδας το 1969.

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με πλευρές $a,b,c.$
Aν το βαρύκεντρο του τριγώνου αυτού είναι το μέσο του...

Καλημέρα, γράφω αυτό το μήνυμα για να ζητήσω συμβουλές σχετικά με μερικές εργασίες που έχω κάνει για το παραγοντικό. Θα τις βρείτε εδώ:

Αποτελούν 2 από τα 5 μέρη που σχεδιάζω να έχει μια μεγάλη εργασία για τις επεκτάσεις του παραγοντικού. Θα...

Βλέποντας τον παρακάτω πίνακα αντιλαμβάνεται οι χώρες που κερδίζουν μετάλλια είναι πληθυσμιακά μεγάλες και οικονομικά αναπτυγμένες .

Στο πλαίσιο των σχολικών μαθηματικών μπορεί κανείς να αποδείξει την ιδιότητα του ελαχίστου άνω φράγματος των πραγματικών αριθμών.

$\bullet$ Λαμβάνοντας υπ' όψιν ενεργά αυτήν την ιδιότητα,
δηλαδή ότι αν το $A$ είναι ένα μη κενό άνω φραγμένο...

Ίσως ενδιαφέρει κάποιους
André Greiner-Petter Making Presentation Math Computable
A Context-Sensitive Approach for Translating LaTeX to Computer Algebra Systems Springer, 2023

Με αφορμή αυτό

Έστω $x_o\in\mathbb{R}$ και $f\colon[x_o,+\infty)\to\mathbb{R}$ κυρτή συνάρτηση με $f^\prime(x_o)=0$

Να αποδειχθούν τα ακόλουθα:

#1. Η $f$ είναι αντιστρέψιμη

#2. Η $f^{-1}$ έχει πεδίο ορισμού το διάστημα $[y_o,+\infty)$ όπου...

Δίνονται $x_o,\ell\in\mathbb{R}$ και συνάρτηση $f\colon \mathbb{R}-\{x_o\}\to\mathbb{R}$

Χρησιμοποιώντας αποκλειστικά και μόνο ύλη και ιδιότητες που είναι διαθέσιμες σε έναν υποψήφιο των πανελλαδικών εξετάσεων,

να αποδειχθεί η συνεπαγωγή :...