Παραγωγή παραλληλίας.png Κύκλος $(K)$ βρίσκεται στο εσωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου $AOB$ , εφαπτόμενος στην $AB$ .

Φέρουμε τα εφαπτόμενα προς τον κύκλο , τμήματα $AP$ και $BT$ . Το $PT$ προεκτεινόμενο ,

τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο $S$ ....

Βρείτε το συνημίτονο.png

Έστω ορθογώνιο, στο $A\,\,,$ τρίγωνο $ABC\,\,$ με $AB < AC$. Με πλευρά $AC$ κι έξω από το τρίγωνο $\vartriangle ABC$

κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο, $\vartriangle ACD.$ Οι ημιευθείες $DA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB$...

Ένας φυσικός αριθμός $N$ έχει την ιδιότητα να έχει (ακριβώς) τρεις διαρέτες και, επίσης, ο $N+{\color {red}{7}2$ έχει (ακριβώς) τρεις διαιρέτες. Ποιος είναι ο $N$;

Édit. Έκανα τυπογραφική διόρθωση. Αντί $N+2$, το σωστό είναι $N+72$. Συγγνώμη για...

Χορδικά.png Η χορδή $CD$ είναι παράλληλη προς τη διάμετρο $AB=2r$ του ημικυκλίου μας και έχει μέσο το σημείο $M$ .

Η $AM$ τέμνει το τόξο στο σημείο $S$ . Η εφαπτομένη στο $S$ τέμνει την προέκταση της $CD$ , στο σημείο $T$ .

Υπολογίστε το απόστημα...

Παραγωγή ισότητας.png $\bigstar$ Από την κορυφή $C$, του - $a \times b$ - ορθογωνίου $ABCD , (a>b) $ και εξωτερικά αυτού ,

διέρχεται ευθεία $\varepsilon$. Ονομάζουμε $S , T$ τις προβολές των κορυφών $B, D$ , αντίστοιχα στην $\varepsilon$ .

Πως...

Είναι εγγράψιμο.png
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και εσωτερικό σημείο $O$ της πλευράς $BC$.

Γράφουμε τον κύκλο $\left( O \right)$ κέντρου $O$ κι ακτίνας $OA$. Οι ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ τέμνουν (ακόμα ) τον $\left(...

Ο κύβος με κορυφές $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(1,1,0)$, $(0,0,1)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, $(1,1,1)$ περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $(0,0,0)$ και $(1,1,1)$. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

Βρειτε τον μικρότερο και μεγαλύτερο ακέραιο (αντίστοιχα) που είναι ταυτόχρονα και πρώτος και παλινδρομικός κάτω απο 1000 .

(Με μια μικρή δικαιολόγηση για το αποτέλεσμα)

ΥΓ...
Εδώ μια επεξήγηση για το τι είναι ο παλινδρομικός αριθμός --->

Πλούσιο τραπέζιο.png Βρείτε συνθήκη στο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , ικανή να του προσδώσει την εξής ιδιότητα : Για το μέσο

$M$ της κάθετης από τις μη παράλληλες πλευρές $CD$ , να έχουμε $AM \perp BM$ . Αν $O$ το σημείο τομής

των διαγωνίων του και...

Πόσοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί μικρότεροι του $1000 $ μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή

$5^x+5^y+5^z $

όπου $x

Έστω ορθογώνιο κι ισοσκελές τρίγωνο , $ABC\,\,\left( {AB = AC} \right)$. Ας είναι $M$ το μέσο της $AB$ και $D$ της $AC$ με , $CD = 2DA\,.$

Αν οι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$ τέμνονται στο $S$ να δείξετε ότι : $AS \bot SC$ και η $SD$ διχοτόμος...

Ο τμηματάρχης.png Στο τρίγωνο $ABC$ , τα σημεία $P , T$ είναι οι προβολές της κορυφής $A$ πάνω στις διχοτόμους

των γωνιών $\hat{C}$ και $\hat{B}$ αντίστοιχα . Εξετάστε αν το τμήμα $PT$ είναι παράλληλο προς την $BC$

και υπολογίστε το , συναρτήσει...

Ένα δωρεάν μάθημα (MOOC) για τις εφαρμογές του Chatgpt στην εκπαίδευση απο τον Panagiotis Tsiotakis (Μελος ΕΔΙΠ Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου).
Απαιτείται λογαριασμός στην εν λόγω πλατφόρμα.

Link--->

Ο τρίτος κλάδος .png Στο τρίγωνο $ABC$ , είναι : $AB=AC=b , BC=a , (a
και την $AB$ στο $T$ . i) Αν : $CS=AT$ , βρείτε τον λόγο : $\dfrac{b}{a}$ ... ii) Αν : $CS=2AT$ , υπολογίστε το : $\cos A$ .

Καλημέρα σε όλους μετά από πολύ καιρό. Θα ήθελα μία βοήθεια από τους αγγλομαθείς αλγεβριστές της ομάδας. Πρόσφατα, στο μάθημα της Αλγεβρικής Γεωμετρίας που παρακολουθώ, ήρθα σε επαφή με την έννοια του anello reale ( πραγματικός δακτύλιος ) ως ενός...

Γράφουμε τον $2016$ ως άθροισμα διαφορετικών μη μηδενικών φυσικών αριθμών. Ποιο είναι το μεγαλύτερο δυνατόν πληθος προσθετέων που μπορούμε να έχουμε;

(Απαγορεύονται οι λύσεις με πρόγραμμα στον υπολογιστή. Κάποια αιτιολόγιση για να δούμε ότι...

Κατασκευάζεται .png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $AB < AC$ , φέραμε το ύψος $AD$

προς την υποτείνουσα $BC$ και την μεσοκάθετο της $BC$ , η οποία τέμνει

την $AC$ στο σημείο $S$ . Αν : $CS=CD$ , υπολογίστε το : $\cos C$ .

Το άθροισμα $5$ διαφορετικών μη μηδενικών φυσικών αριθμών είναι $2024$. Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει ο μικρότερος από τους $5$ αριθμούς;

(Κάνει και για Δημοτικό.)

Θέλουμε να χωρίσουμε τους αριθμούς $2,3,4,5,6,7,8,9,10$ σε (ξένες) ομάδες οι οποίες να έχουν το ίδιο άθροισμα. Ποιο είναι το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος από όμαδες που μπορούμε να φτιάξουμε;

(Κάνει και δια Δημοτικό).

Μεγιστοποίηση ορθογωνίου.png Οι κύκλοι $(O , R)$ και $(K,r)$ εφάπτονται μεταξύ τους , καθώς και στις πλευρές των γωνιών $\hat{A}$ και $\hat{C}$ αντίστοιχα ,

του ορθογωνίου $ABCD$. Η διάκεντρος $OK=R+r =d$ , είναι σταθερή κατά μήκος , αλλά...

Από ένα σφηνάκι.png Το $N$ είναι σημείο της κάθετης πλευράς $AC$ , του ορθογωνίου και ισοσκελούς

τριγώνου $ABC$ , τέτοιο ώστε : $AN=\dfrac{a}{3}$ . Η διάμεσος $CM$ προς την άλλη

κάθετη πλευρά , τέμνει την $BN$ στο σημείο $S$ . Δείξτε ότι : $ASB...