Αγαπητοί φίλοι,
ζητώ τη γνώμη σας για μία άσκηση.
Βρίσκεται (λυμένη) σε ένα βιβλίο. Δεν αναφέρω τώρα το συγγραφέα του για να μην σας επηρεάσω!

Παρακαλώ, επίσης, όποιον δώσει λύση, ας μην αναφέρει ακόμα την πηγή.

Επισκέπτεται κάποιος το σπίτι...

Δίνεται ένα τετράεδρο $ABCD$. Είναι γνωστό, ότι $AD=BC=10$, $AC=BD=11$, $AB=9$ και $CD=13$. Ο Γιώργος διάλεξε ένα σημείο $X$ στο εσωτερικό του τετράεδρου και υπολογίζει το άθροισμα $AX+BX+CX+DX$. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή που μπορεί να του...

Το πιο μικρό τμήμα.png Στο τρίγωνο $ABC$ , τα σημεία $N ,L$ , είναι τα μέσα της πλευράς $AB$ και της διαμέσου $AM$ αντίστοιχα .

Το ύψος $AD$ ισούται με $9$ . Η $BL$ τέμνει το $AD$ στο $S$ και η $CN$ το $BL$ , στο $T$ . Υπολογίστε το $ST$ .

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ (ΕΜΕ)

Ο αστερίσκος (*) : Σημαίνει ότι υπάρχουν εκκρεμότητες σε προβλήματα που δεν έχουν λυθεί.

Σημείωση: Φυσικά οι λύσεις που έχουν προταθεί δεν είναι και οι μοναδικές! Εαν...

Αναλογία και εφαπτομένη.png Η $ST$ είναι εφαπτομένη και η $SPQ$ τέμνουσα του ημικυκλίου διαμέτρου $AOB$ .

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{QT}{TP}$ , καθώς και την απόσταση του $P$ από την διάμετρο .

Διπλασιασμός.png Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές : $OB=a$ και : $OA=b$ . Θεωρούμε σημείο $P$ της $AB$ ,

τέτοιο ώστε : $AP=\dfrac{AB}{4}$ . Ο κύκλος $(A , P , O )$ , τέμνει την προέκταση της $BO$ στο σημείο $S$ .

α) Υπολογίστε ( συναρτήσει...

Συνευθειακά και εφαπτομένη.png Στο τετράγωνο $ABCD$ προσαρτήσαμε το ισόπλευρο τρίγωνο $BCE$ και ονομάσαμε $M$

το μέσο της $CE$ . Ο κύκλος διαμέτρου $CE$ τέμνει την $AE$ στο σημείο $S$ .

α) Δείξτε ότι τα $B , S, M$ είναι συνευθειακά . β) Δείξτε...

Έστω $a,b$ θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a+b=1$. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 + \left( b + \frac{1}{b} \right)^2 \geq \frac{25}{2}}$

1998.PNG

Θεωρώντας ότι $\alpha,\beta\in\mathbb{R}^*$

$\displaystyle\min_{\alpha+\beta=1}\left\{{\color{black}\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)^2+\left(\beta+\frac{1}{\beta}\right)^2}\right\}=?$

Μια σειρά διαλέξεων πάνω στην Θεωρία Μέτρου ( στα Αγγλικά )...

===>

Η σειρά στηρίζεται στο βιβλίο Introduction to measure and integration by S. J. Taylor published by Cambridge University

Περισσότερα εδώ ===>

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2025
Θέματα της 1ης φάσης για την 9η τάξη, 16 Νοεμβρίου 2024

1. Στα τετράδια των Πέτρου, Βασίλη και Τόλη ήταν γραμμένος ο ίδιος δεκαψήφιος αριθμός. Ο καθένας τους στο τετράδιό του έσβησε μερικά ψηφία. Του...

Έστω $ABC$ ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $a$, $M$ κάποιο σημείο του επιπέδου του, που βρίσκεται σε απόσταση $d$ από το κέντρο του τριγώνου $ABC$. Να αποδείξετε, ότι το εμβαδόν του τρίγωνου, οι πλευρές του οποίου είναι ίσες με τα τμήματα $MA$, $MB$ και...

Χαιρετώ! Με αφορμή και το θέμα τούτο .
Κατασκευή με επίχρισμα.png
Στο σχήμα η $AM$ είναι μεσοκάθετος του $BC$ , το $E \in AC$ ώστε $E \hat M C=60^o$ και το $N$ μέσον του $EM$.

Aν ισχύει $ \displaystyle \frac{(MAC)}{(MEA)}= (\frac{BN}{AN}})^2$...

Αν οι : $a, b , c$ , είναι τρεις μη μηδενικοί πραγματικοί , με :

$a+b+c=0$ , δείξτε ότι : $\dfrac{a^7+b^7+c^7}{a^4+b^4+c^4}=\dfrac{7}{2}abc$

Ένα δωρεάν μάθημα (MOOC) για τις εφαρμογές του Chatgpt στην εκπαίδευση απο τον Panagiotis Tsiotakis (Μελος ΕΔΙΠ Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου).
Απαιτείται λογαριασμός στην εν λόγω πλατφόρμα.

Link--->

Σε τυχόν τρίγωνα $ABC$ να δειχθεί ότι ισχύει:

$\displaystyle{(a+b+c)\left(\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}\right) = 2 c \cot\frac{C}{2}}$

Να βρεθούν όλες οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης $sin(xy'(x)-y(x))=e^y'(x)$

Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού

$3 \cdot \underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}} ^3 +2 \cdot \underset{100}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +\underset{100}{\underbrace{55 \ldots 5}}^2 +\underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}}$.

Η άστατη μεσαία.png Τριγώνου $ABC$ , με : $c
γωνία θα μειωθεί ενώ η μικρότερη θα αυξηθεί . Μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για την μεσαία ;

Βρείτε την μεσαία πλευρά $b$ , αν :...

Τετράγωνο σε παραβολή.png Η παραβολή του σχήματος είναι της μορφής : $f(x)=ax^2+bx+c$

και διέρχεται από τις κορυφές $A,B,C$ του τετραγώνου $ABCD$ .

α) Βρείτε σημείο $S$ της παραβολής , τέτοιο ώστε : $SB\perp DB$ .

β) Ο άξονας συμμετρίας της...

13 μοίρες.png Μετά από προσπάθειες δεκαετιών , ο διάσημος Πέρσυς μαθηματικός Καρχάρι , κατάφερε

σήμερα , να κατασκευάσει την γωνία των $13^0$ . Δείτε το σχήμα . Η συνέχεια είναι απλή .