Με αφορμή παλιές και καινούργιες συζητήσεις εδώ και εδώ ... προτείνω την εξής 'ανοικτή παραλλαγή':

Να βρεθούν η ακτίνα και το κέντρο του 'δισεφαπτόμενου' κόκκινου κύκλου, θεωρώντας γνωστά τα κέντρα και τις ακτίνες των μαύρων κύκλων και τα σημεία...

Να αποδειχθει οτι γσε καθε ορθογωνιο τριγωνο ισχυει (γ/υ)^2 < (εφθ)^2 + (σφθ)^2 οπου θ μια μη ορθη γωνια του τριγωνου και υ το υψος του τριγωνου το οποιο δε ταυτιζεται με μια απτις πλευρες του.

Να βρεθεί το πλήθος των ψηφίων και στη συνέχεια το άθροισμα των ψηφίων αυτών του αριθμού:

$\displaystyle{A=(111)(\underset{100}{\underbrace{11...1}}) }$

Αφορμή η άσκηση:

Μια μη παράλληλη μια βάση και μια διαγώνιος.png Οι πλευρές του τριγώνου $ABC$ είναι γνωστές . Συμπληρώστε το τραπέζιο $ABCD$

με κατάλληλη βάση $AD=x$ , έτσι ώστε ο λόγος $\dfrac{DB}{DC}$ , να ισούται με : $\dfrac{3}{2}$ .

Χαιρετώ όλους!

Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$ και $M$ το μέσον της $BC$. Το $E \in AC$ ώστε $\hat{EMC}=60^o $ και $N$ το μέσον του $EM$.

Ι) Να κατασκευαστεί (με κανόνα-διαβήτη) τρίγωνο $ABC$ με τα ως άνω δεδομένα , τέτοιο ώστε να ισχύει $BN=2AN$...

Ένα δωρεάν μάθημα (MOOC) για τις εφαρμογές του Chatgpt στην εκπαίδευση απο τον Panagiotis Tsiotakis (Μελος ΕΔΙΠ Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου).
Απαιτείται λογαριασμός στην εν λόγω πλατφόρμα.

Link--->

Συμβολίζουμε με $\alpha$ την θετική ρίζα του δευτεροβάθμιου τριώνυμου $x^2+x-5$. Το πολυώνυμο $P(x)$ έχει ακέραιους μη αρνητικούς συντελεστές και $P(\alpha)=49$. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του αθροίσματος των συνελεστών του πολυώνυμου $P$....

Πάνω από 2.png Στο τρίγωνο $ABC$ με : $b=a+1 , c=a-1 , a>4$ , το σημεία $O , H$ είναι το περίκεντρο

και το ορθόκεντρο αντίστοιχα . Αποδείξτε η καταρρίψτε τον ισχυρισμό ότι : $\lim\limits_{a \to +\infty}(OH) =2$

Να λυθεί στους πραγματικούς

$\displaystyle 256^y = \frac{1}{y}$

Η συνάρτηση $f(x)$ είναι ορισμένη στους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς και λαμβάνει τιμές στους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς. Να βρείτε την τιμή $f(2024)$, αν είναι γνωστό ότι για κάθε μη μηδενικό φυσικό αριθμό $n$ ικανοποιούνται $f(n+1) > f(n)$...

Ο Geoffrey Hinton εφηύρε τον αλγόριθμο της οπισθοδιάδοσης; Όχι ακριβώς. Παρόλο που ο Hinton έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην προώθηση της χρήσης του στις νευρωνικές δικτυώσεις τη δεκαετία του 1980, ο ίδιος ο αλγόριθμος προϋπήρχε κατά δεκαετίες—και το...

Καρτεσιανή κατασκευή.png $\bigstar$ Σχεδιάστε την - μη κατακόρυφη - χορδή $AB$ του κύκλου : $x^2+y^2=25$ ,

η οποία διέρχεται από το σημείο $S(-3 , 2 )$ και έχει μήκος $(AB)=8$ .

Ο καινούργιος σκακιστικός πεσσός γύπας μπορεί να κινείται είτε κατά ένα κελί αριστερά, είτε κατά δυο κελιά δεξιά και ένα προς τα πάνω, είτε κατά δυο κελιά προς τα πάνω και ένα δεξιά. Όλες οι δυνατές κινήσεις ενός γύπα, που βρίσκεται στο κελί...

Επικίνδυνη επαφή.png Σε κύκλο $(O,r)$ είναι προ - σχεδιασμένες οι διαδοχικές χορδές : $AB=3,2$ και : $BC=4$ .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο $B$ τέμνει την παράλληλη από το $C$ προς την $AB$ στο σημείο $S$ .

α) Υπολογίστε το τμήμα $CS$ ... β) Αν...

Δίνεται επίπεδο στο οποίο έχει οριστεί ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ και δυο μη μηδενικά διανύσματα αυτού $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$. Συμβολίζουμε επίσης με $\theta$ τη γωνία που...

Μετρική για προπόνηση.png
$AD, BE$ είναι τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου $ABC.$ Ο κύκλος διαμέτρου $DE$ επανατέμνει τις $BC, AC$

στα σημεία $K, L.$ Αν $AB=25, AD=20, AE=7,$ να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος $KL.$

48 ώρες μόνο για μαθητές.

Υψόκεντρο.png Ο κύκλος $(O)$ διέρχεται από τα ίχνη των υψών $AM , BD , CE$ του ισοσκελούς τριγώνου $ABC$ .

Ποια ιδιότητα του τριγώνου , μας εξασφαλίζει ότι τα σημεία $E , O , D$ είναι συνευθειακά ;

Μια σειρά διαλέξεων πάνω στην Θεωρία Μέτρου ( στα Αγγλικά )...

===>

Η σειρά στηρίζεται στο βιβλίο Introduction to measure and integration by S. J. Taylor published by Cambridge University

Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,x$ με $a>b$

Να αποδειχθεί χωρίς χρήση παραγώγων η ανισότητα:

$b x^a - a x^b \ge b-a$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Εμπνευσμένο από εδώ:

Να βρεθούν όλες οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης $sin(xy'(x)-y(x))=e^y'(x)$

Να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού

$3 \cdot \underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}} ^3 +2 \cdot \underset{100}{\underbrace{11 \ldots 1}}^2 +\underset{100}{\underbrace{55 \ldots 5}}^2 +\underset{100}{\underbrace{33 \ldots 3}}$.

Ενάμισυ.png Στο ισοσκελές τρίγωνο $ABC , (AB=AC) $ , φέραμε τα ύψη $AD$

και $CE$ . Αν : $\dfrac{(AEC)}{(ADC)}=\dfrac{3}{2}$ , υπολογίστε την $\tan\hat{B}$ .

Πολυλογία.png Στο ορθογώνιο $ABCD , (a>b)$ , επιλέξτε σημείο $S$ της $BC$ και σημείο $T$ της $CD$ , τέτοια ώστε

τα τρία γωνιακά ορθογώνια τρίγωνα να είναι ισεμβαδικά . Υπολογίστε τώρα τον λόγο : $\dfrac{(TAS)}{(ABCD)}$ .

Επιπλέον υπολογίστε τον...

Μεσοπαράλληλη β' τύπου.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ η κάθετη πλευρά $AB=c$ είναι σταθερή , αντίθετα με την $AC$ η οποία μεταβάλλεται .

Ο έγκυκλος του τριγώνου εφάπτεται των $AB , BC$ στα σημεία $S , P$ αντίστοιχα . Ονομάζουμε $N , M $ τα μέσα...

Το παρακάτω θέμα είναι εύκολο, το θέτω μόνο και μόνο για
να στρέψω την προσοχή στην αδικημένη Στερεομετρία...

Σε τετράεδρο $ABCD$ διαλέγουμε τα σημεία $A',B',C',D'$επί των ακμών $AB,BC,CD,DA$
αντιστοίχως, έτσι ώστε...