mathematica.gr

Να προσδιορίσετε όλες τις τετράδες $\displaystyle{(p,q,r,n),}$ με $\displaystyle{p,q,r}$ πρώτους και $\displaystyle{n}$ θετικό ακέραιο, που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{p^n+q^n+r^n=2026(p+q)(q+r)(r+p).}$

(Ας την αφήσουμε...

Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες $\displaystyle{(a,b,c)}$ θετικών ακεραίων $\displaystyle{a,b,c,}$ που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{a! + b! = 2^{c!}.}$

Edit 10:59μμ. Αβλεψία που έγραφα γρήγορα. Ευχαριστώ τον κύριο Μιχάλη.

Σημαντικότερο το σχόλιο.png Το τρίγωνο $ABC$ έχει σταθερές τις πλευρές $b$ και $c$ , αλλά μεταβλητή την $a$ .

Βρείτε την τιμή του $a$ , για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία $\hat{C}$ . Γενικεύστε !

Αχαρτογράφητα νερά.png Το σταθερό τμήμα $OS$ του $Oy'$ και το κινητό τμήμα $QP$ , της ευθείας $y=-1$ έχουν μήκη $5$ .

Οι $QO , SP$ τέμνονται στο σημείο $T$ . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του $T$ . Λογισμικό ; :no:

Το $ABC$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο, το $D$ είναι το ίχνος του ύψους $AD$, τα $M$ και $N$ είναι τα μέσα των πλευρών $AB$ και $AC$ αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί πως οι κύκλοι $(M, B, D)$, $(N, C, D)$ εφάπτονται μεταξύ τους. Να αποδειχθεί επίσης και το...

]Παναγιώτης ΒΙΚΑΤΟΣ Μαθηματικός -Φροντιστής (1933-2015)
Το ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΑΡΧΕΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ παρουσιάζει τον μαθηματικό-φροντιστή Παναγιώτη ΒΙΚΑΤΟ μέσα από συζήτηση με τον Θεοχάρη Βικάτο, γιό του Φροντιστή, ηλεκτρολόγο-μηχανολόγο.
Ο Παναγιώτης ΒΙΚΑΤΟΣ...

Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b$ με $a+b=2$, ισχύει:

$\displaystyle
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \ge a^{2} + b^{2}.
$

Θεώρημα;.png
To τετράπλευρο $ABCD$ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $O.$ Οι κάθετες από το $A$ στις $AD, AB$

τέμνουν τις $DO, BO$ στα $M, N$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $\displaystyle AC \bot MN.$

Δίνεται κανονικό επτάγωνο $A1A2...A7$. Έστω $K$, $M$, $N$ τα σημεία τομής των $A1A7$, $A2A4$ και $A3A6$ θεωρουμένων ανά δύο. Να δείξετε πως $KMNA5$ εγγράψιμο.

Παραλληλία σε τρίκυκλο.png Τμήμα $OL$ χωρίζεται με σημεία $A , K$ σε τμήματα : $OA=10 , AK=6 , KL=9$ . Γράφω

τους κύκλους : $(O,OA) , (K,KA) , (L,LA)$ . Σημείο $S$ κινείται στον $(L)$ . Οι $SO , SK$

τέμνουν τους $(O) , (K)$ στα σημεία $P ,T$...

Μεσοκαθετότητα.png Στο τρίγωνο $ABC$ , το σημείο $N$ είναι το μέσο της διαμέσου $BM$ . Αν : $BM=5 $ ,

$ AC=6$ και : $AN \perp BC$ , υπολογίστε τo εμβαδόν του τριγώνου .

Αν : $xy=\dfrac{3}{2}$ και : $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{5}{3}$ , βρείτε τις πιθανές τιμές του κλάσματος : $\dfrac{x+y}{x-y}$ .

Σημείο για μεγιστοποίηση.png Από σημείο $S$ της προέκτασης της διαμέτρου $AB=d$ , ενός ημικυκλίου , φέρουμε το εφαπτόμενο

τμήμα $ST$ και χορδή $PT \parallel AB$ . Υπολογίστε το τμήμα $SP$ , όταν μεγιστοποιείται το $(SPT)$ .

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int_{0}^{1} \left( 2\sqrt{x}\,\ln^{2}(2) + \ln^{2}(1+x) \right)\,dx$

Καλησπέρα σε όλους. Θα ήθελα να σας ενημερώσω για το Maths Beyond Limits (MBL) (

Είναι ένα αρκετά απαιτητικό και επιλεκτικό πρόγραμμα που ιδρύθηκε από παλιούς Ολυμπιονίκες και άτομα που θέλουν να ενισχύσουν την παιδεία και να ενθαρρύνουν και να...

Έχετε χρόνο και άλλα εφόδια ;.png Σημείο $S$ κινείται στην μία από τις κάθετες πλευρές- την $OA$ - του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $OAB$ .

Η κάθετη $OT$ από το $O$ προς την $CS$ , τέμνει την υποτείνουσα $BC$ στο $P$ . Βρείτε το μέγιστο του...

30%.png $\bigstar$ Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο $ABCD$ , μεταβλητή ευθεία παράλληλη προς την $AB$ , τέμνει τις $AD , AC , BC$

στα σημεία $P,S,T$ αντίστοιχα . Δημιουργήστε συνάρτηση , η οποία αποδίδει το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης...

Χαιρετώ!
8e941d69-0b65-4c2e-ba08-8cd2f9a76fa8~1.jpg

Το τρίγωνο $AMO$ έχει γωνίες $\angle A =96^o $ και $\angle O =48^o$. Στην προέκταση της $OA$ θεωρούμε το σημείο $N$ ώστε $ON=AM$

και στην πλευρά $OA$ το σημείο $I$ ώστε $\dfrac{OM}{IN}=\Phi...

Καλημέρα και καλή Ανάσταση!
Το τρίγωνο $ABC$ έχει γωνία $ \angle A=80^o $, ενώ$AB=AC$

Το σημείο $H \in BC$ ώστε το $AB$ να είναι μέσος ανάλογος των $BH,BC$.

Το σημείο $E \in AC$ ώστε ο κυκλικός ημιδίσκος διαμέτρου $BC$να έχει τριπλάσιο εμβαδόν...

Σχεδόν δίκαιο.png Στο ευθύγραμμο τμήμα $AB$ κινείται σημείο $S$ . Προς το ίδιο ημιεπίπεδο σχεδιάζουμε τα ισόπλευρα

τρίγωνα $AST , SBP$ . Για ποια θέση του σημείου $S$ , είναι : $(TAP)=(PAB)$ ;

Μελετώντας ασκήσεις εύρεσης τύπου συνάρτησης, έπεσα πάνω στο εξής θέμα:

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις
$\displaystyle
f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)
$
\textbf{ώστε να ισχύει}
$\displaystyle
(f(x)+y)\,f\bigl(x+f(y)\bigr)=(x+f(y))^{2},
\qquad \forall...

Πρόβλημα 1:
Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων $x,y$ που επαληθεύουν την εξίσωση:
$(x-y)(xy+3)=21-(xy)^2$
Πρόβλημα 2:
Έστω $ABC$ τρίγωνο με $AB=AC Επίσης...

Έστω $x,y$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $x+y=1$.

Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle
\frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} \ge 1.
$

Για ποιες τιμές των $x$ και $y$ ισχύει η ισότητα;

Edit 9:29μμ. Μήπως ο φάκελος δεν είναι σωστός;

Πως εξελίσσεται η ακολουθία $a_{n}=((n!)!)!$ το τριπλό παραγοντικό δηλαδη... :!:

Σχέση πλευρών από σχέση γωνιών.png Στο τρίγωνο $ABC$ του παρατιθέμενου σχήματος , δείξτε ότι : $AB+AS=BC$ .