Η αναζήτηση βρήκε 1364 εγγραφές

από emouroukos
Δευ Ιούλ 10, 2017 8:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Τα Μαθηματικά στο Νέο Λύκειο
Απαντήσεις: 103
Προβολές: 14410

Re: Τα Μαθηματικά στο Νέο Λύκειο

Συμφωνώ και συνυπογράφω.

Βαγγέλης Μουρούκος
Μαθηματικός Δ.Ε.
Μουσικό Σχολείο Αγρινίου
από emouroukos
Δευ Ιουν 26, 2017 4:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2017
Απαντήσεις: 37
Προβολές: 5012

Re: JBMO 2017

Πρόβλημα 3 : Έστω ότι $\displaystyle{\angle CBA = \beta }$ και $\displaystyle{\angle BCA = \gamma .}$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\angle BAD = {90^ \circ } - \beta = {90^ \circ } - \angle CEA = \angle CAE,}$ οπότε τα τόξα $\displaystyle{BD}$ και $\displaystyle{CE}$ είναι ίσα και άρα το τετράπλευ...
από emouroukos
Τρί Ιουν 20, 2017 10:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική με την συνάρτηση φ του Euler
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1282

Re: Διοφαντική με την συνάρτηση φ του Euler

Πρώτα απ' όλα, παρατηρούμε ότι πρέπει $n \ge2$. Έστω $\displaystyle{{p_1} < {p_2} < \cdots < {p_k}}$ οι πρώτοι διαιρέτες του αριθμού $n$. Αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{{p_1} \le n - \varphi \left( n \right) - 1,}$ τότε $\displaystyle{{p_1}|\left( {n - \varphi \left( n \right) - 1} \right)!}$ και ...
από emouroukos
Κυρ Ιουν 18, 2017 10:27 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνδυαστική ή άλγεβρα;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 1223

Re: Συνδυαστική ή άλγεβρα;

Μια αλγεβρική προσέγγιση: Η βασική παρατήρηση είναι ότι για κάθε $x \in \mathbb{Z}$ $\displaystyle{x - 2\left\lfloor {\frac{x}{2}} \right\rfloor = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,}&{x \equiv 0\left( {\bmod 2} \right)}\\ {1,}&{x \equiv 1\left( {\bmod 2} \right)} \end{array}} \right.}$. Θεωρούμε τ...
από emouroukos
Παρ Ιουν 16, 2017 5:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 1035

Re: Ανισότητα

Η παρακάτω απόδειξη ισχύει για $\displaystyle{x,y,z > 0}$ (που νομίζω ότι χρειάζεται να δοθεί στην υπόθεση). Η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα: $\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{{x\left( {2x - y} \right)}}{{y\left( {2z + x} \right)}}} \ge 1 \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\left[ {\f...
από emouroukos
Τετ Ιουν 07, 2017 10:23 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση - Ελβετία TST 2016
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 1019

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Ελβετία TST 2016

Έστω $\displaystyle{P\left( {x,y} \right):\left( {f\left( x \right) + y} \right)\left( {f\left( {x - y} \right) + 1} \right) = f\left( {f\left( {xf\left( {x + 1} \right)} \right) - yf\left( {y - 1} \right)} \right)}$ η δοσμένη συναρτησιακή σχέση. Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ έχουμε ότι: $\displaystyl...
από emouroukos
Δευ Ιουν 05, 2017 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα στις τέσσερις γωνίες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1166

Re: Άθροισμα στις τέσσερις γωνίες

Έστω ότι οι αριθμοί τοποθετούνται σε έναν πίνακα με $\displaystyle{m}$ γραμμές και $\displaystyle{n}$ στήλες και $\displaystyle{{a_{ij}}}$ είναι ο αριθμός που τοποθετείται στην $\displaystyle{i}$-στή γραμμή και στην $\displaystyle{j}$-στή στήλη του πίνακα. Από την υπόθεση έχουμε ότι $\displaystyle{m...
από emouroukos
Δευ Απρ 24, 2017 12:17 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα για JBMO!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 842

Re: Ανισότητα για JBMO!

Η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα: $\displaystyle{\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \le \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{2}{{2 + {a^2} + {b^2}}}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{2 + {a^2} + {b^2}...
από emouroukos
Τρί Απρ 18, 2017 7:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1141

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Πρόβλημα 6. Σε τρίγωνο $ABC$ με την γωνία $A$ ίση με $45^0$, φέρουμε την διάμεσο $AM$. Η ευθεία $b$ είναι η συμμετρική της $AM$ ως προς το ύψος $BB_{1}$ και η ευθεία $c$ η συμμετρική της $AM$ ως προς το ύψος $CC_{1}$. Οι ευθείες $b$ και $c$ τέμνονται στο σημείο $X$. Να αποδείξετε, ότι $AX = BC$. Mo...
από emouroukos
Τρί Απρ 18, 2017 9:30 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Σημεία και ευθείες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1173

Re: Σημεία και ευθείες

Θα αποδείξουμε ότι το μέγιστο πλήθος καλών σημείων είναι ίσο με $6$. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα παράδειγμα με $6$ καλά σημεία: Έστω $\displaystyle{\mathcal{L} = \left\{ {{\ell _1},{\ell _2},{\ell _3},{\ell _4},{\ell _5},{\ell _6},{\ell _7}} \right\}}$ οι δοσμένες $7$ ευθείες, $\mathcal{P}$ το σύν...
από emouroukos
Τρί Απρ 18, 2017 8:36 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Για δυνατά χαρτιά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1240

Re: Για δυνατά χαρτιά

Θα δώσω μία λύση για την ειδική περίπτωση που $x_{1}\geq 1$ Να σημειώσω ότι μόνο το $x_{1}$ μπορεί να είναι $< 1$. Η ανισότητα γράφεται $\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}}+\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}\geq n\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}$ Αλλά $\sqrt{x_{i}}+\frac{1}{\sqrt{x_{i}}}=\frac{1+x_{i}}{\sqrt{x_{i}}...
από emouroukos
Δευ Απρ 17, 2017 10:31 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Απ΄το σχολικό
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 807

Re: Απ΄το σχολικό

Αν $\displaystyle{x = - 1}$ ή $\displaystyle{x = 1,}$ τότε το ζητούμενο ισχύει. Έστω $\displaystyle{x \in \left( { - 1,1} \right).}$ Με εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{\left[ { - 1,x} \right]}$ και $\displaystyle{\left[ {x,1} \right]}$ έχουμε ότι υπάρχο...
από emouroukos
Παρ Απρ 14, 2017 7:37 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Για δυνατά χαρτιά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1240

Re: Για δυνατά χαρτιά

Θέτουμε $\displaystyle{{y_i} = \frac{1}{{1 + {x_i}}} \in \left( {0,1} \right),}$ για $\displaystyle{i = 1,2, \ldots ,n.}$ Τότε είναι $\displaystyle{\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} = 1,}$ οπότε για κάθε $\displaystyle{i \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}}$ ισχύει: $\displaystyle{{x_i} = \frac{1}{{{y...
από emouroukos
Παρ Απρ 14, 2017 11:24 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τετράγωνο...
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1163

Re: Τετράγωνο...

Έστω $\displaystyle{m,n}$ θετικοί ακέραιοι τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{{2^n} + {n^2} = {m^2}.}$ Τότε, είναι $\displaystyle{{2^n} = {m^2} - {n^2} = \left( {m - n} \right)\left( {m + n} \right),}$ οπότε υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{k \ge 0}$ τέτοιος, ώστε $\displaystyle{m - n = {2^k}}$ και $\displ...
από emouroukos
Τετ Απρ 12, 2017 1:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (11η τάξη)
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1299

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (11η τάξη)

Πρόβλημα 2. Ο Τοτός είναι γνώστης μόνο του λογαρίθμου με βάση το δέκα και θεωρεί, ότι ο λογάριθμος του αθροίσματος δυο αριθμών ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων τους και ο λογάριθμος της διαφοράς δυο αριθμών με το πηλίκο των λογαρίθμων τους. Μπορεί ο Τοτός να βρει έστω και ένα ζεύγος αριθμών γι...
από emouroukos
Κυρ Απρ 09, 2017 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1141

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Πρόβλημα 1. Να βρείτε τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό, όλα τα ψηφία του οποίου είναι διαφορετικά και ο οποίος μειώνεται κατά 5 φορές, αν διαγράψουμε το πρώτο ψηφίο. Έστω $\displaystyle{x = \overline {{a_n}{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \cdots {a_1}{a_0}} }$ ένας αριθμός με τη δοσμένη ιδιότητα. Τότε, είναι: $\...
από emouroukos
Κυρ Απρ 09, 2017 3:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 1141

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2017 (9η τάξη)

Πρόβλημα 4. Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών $a$ και $k$, για τα οποία για κάθε φυσικό $n$, σχετικά πρώτο με τον $a$, ο αριθμός $a^{k^n+1}-1$ διαιρείται με το $n$. Αν $\displaystyle{a = 1,}$ τότε για κάθε φυσικό αριθμό $k$ ο αριθμός $\displaystyle{{a^{{k^n} + 1}} - 1 = 1 - 1 = 0}$ διαιρείται ...
από emouroukos
Τετ Απρ 05, 2017 12:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: ΕΧΕΙ ΞΑΝΑΤΕΘΕΙ ΑΛΛΙΩΣ...
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 738

Re: ΕΧΕΙ ΞΑΝΑΤΕΘΕΙ ΑΛΛΙΩΣ...

Είναι: $\displaystyle{{\cos ^2}\frac{A}{2} + {\cos ^2}\frac{B}{2} + {\cos ^2}\frac{C}{2} = \frac{1}{2}\left( {\cos A + \cos B + \cos C + 3} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{R + r}}{R} + 3} \right) = \frac{{4R + r}}{{2R}}.}$ Το ζητούμενο προκύπτει άμεσα από την ανισότητα Finsler-Hadwiger $\display...
από emouroukos
Σάβ Απρ 01, 2017 10:06 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Εκτίμηση ολοκληρώματος!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 755

Re: Εκτίμηση ολοκληρώματος!

Καλησπέρα Θάνο! Με την αντικατάσταση $\displaystyle{u = {x^2}}$ και χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες βρίσκουμε ότι: $\displaystyle{\left| {\int_a^b {\sin \left( {{x^2}} \right)} dx} \right| = \left| {\int_{{a^2}}^{{b^2}} {\frac{{\sin u}}{{2\sqrt u }}} du} \right| = \left| { - \frac{1}{2}\i...
από emouroukos
Κυρ Μαρ 05, 2017 5:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 904

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

3) γ)Αν $BO \cap (O,R) = N , CN \cap AD=T$ $\angle{ANC}=\angle{ADC}=\angle{ABC}=90-\angle{KCB}$ $=90-\angle{DNB}=\angle{NBD}=\angle{NAD}$ Τότε το τρίγωνο ΝΑΤ είναι ισόσκελες. Δηλαδή $NT=AT$ $\angle{CAD}=\angle{CND}$ $\angle{NTD}=\angle{ATC}$ Τότε $\triangle{TND}=\triangle{ATC} \Rightarrow TD=TC \Ri...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση