Η αναζήτηση βρήκε 545 εγγραφές

από harrisp
Κυρ Νοέμ 11, 2018 11:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατοπτρικό του Γ2 θέματος του 79ου Θαλή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 452

Re: Κατοπτρικό του Γ2 θέματος του 79ου Θαλή

Με την ίδια λογική με το θέμα του Θαλή τα ψηφία του αριθμού είναι 10-a_0, 9+a_0-a_1,...,9+a_3-a_4, a_4-1 με άθροισμα 45. Ένας Ν-ψήφιος αντίστοιχα έχει άθροισμα ψηφίων 9N νομίζω.
από harrisp
Σάβ Οκτ 06, 2018 12:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'
Θέμα: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 581

Re: Παραλληλόγραμμο σε παραβολή

Εστω $A,B,C,D$ οι κορυφές του παραλληλογράμου $ABCD$. Ειναι $A=(a,a^2)$, $B=(b,b^2)$, $C=(c,c^2)$, $D=(d,d^2)$. Πρέπει $AB//CD$ και $AD//BC$. Η κλίση της $XY$ με $X,Y $ να ανήκουν στην παραβολή είναι $\dfrac {y^2-x^2}{y-x}=x+y$. Αρα πρέπει $a+b=c+d$ και $a+d=b+c$. Προσθέτουμε κατά μέλη και παίρνουμε...
από harrisp
Παρ Σεπ 21, 2018 9:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Πιθανώς αποδεδειγμένη η υπόθεση Riemann
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1980

Re: Πιθανώς αποδεδειγμένη η υπόθεση Riemann

gbaloglou έγραψε:
Παρ Σεπ 21, 2018 6:08 pm
Πολύ χλωμό το βλέπω... [Παρεμπιπτόντως ... μέσα στις αναφορές βλέπω ότι η θηριώδης απόδειξη της Εικασίας ABC καταρρίφθηκε -- ή τουλάχιστον αμφισβητήθηκε εντονότατα -- πολύ πρόσφατα!]
Και μάλιστα από τους Jakob Stix και Peter Scholze (που πριν λίγους μήνες παρέλαβε το Fields Medal).

ABC
από harrisp
Τετ Αύγ 22, 2018 1:11 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Εξαγωνική σπαζοκεφαλιά
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1032

Re: Εξαγωνική σπαζοκεφαλιά

gbaloglou έγραψε:
Τρί Αύγ 21, 2018 9:50 am
Όπως μου υπέδειξε ο ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ, υπάρχει εδώ και δέκα χρόνια ... μία ανθρώπινη λύση από τον Κινέζο μαθητή (τότε) Albert Fanxing Meng, δείτε εδώ.
Σε περίπτωση που δεν δουλεύει το λινκ.
από harrisp
Τρί Ιούλ 17, 2018 7:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 47
Προβολές: 7527

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 3 Ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών έτσι ώστε εκτός από τους αριθμούς της τελευταίας σειράς, κάθε αριθμός είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο αριθμών που βρίσκονται αμέσως από κάτω του. Π.χ. το πιο κάτω είναι ένα τρίγωνο αντι-Πασκάλ με τέσσερις σειρές που πε...
από harrisp
Δευ Ιούλ 16, 2018 2:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: S-450 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 490

Re: S-450 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μάλλον αυτό εννοείς.
Αφού AS συμμετροδιάμεσος και P μέσο BD οι BD και BC είναι αντιπαράλληλες άρα AB εφαπτομένη του (BDC) από όπου έπεται \angle B =90^\circ.
από harrisp
Πέμ Μαρ 29, 2018 10:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Γινόμενο Παραγοντικών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 811

Re: Γινόμενο Παραγοντικών

Να λυθεί η εξίσωση $x!y!=z!$ στους φυσικούς $x,y,z\geq 6$ Χάρη, είσαι σίγουρος ότι έχεις λύση στο πρόβλημα; Το λέω γιατί πρώτα απ' όλα έχουμε την απειρία λύσεων $ (N!-1)! N!=(N!)!$ (δηλαδή $x=N!-1, \, y=N, \, z= N!$). Δεύτερον, υπάρχει η λύση $6!7!=10!$ που δεν εμπίπτει στην παραπάνω κατηγορία. Και...
από harrisp
Πέμ Μαρ 29, 2018 5:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Γινόμενο Παραγοντικών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 811

Γινόμενο Παραγοντικών

Να εξεταστεί εάν η εξίσωση x!y!=z! έχει λύση στους φυσικούς x,y,z\geq 6.

Edit: Ευχαριστώ τον κ. Λάμπρου για την διόρθωση.
από harrisp
Κυρ Μαρ 25, 2018 12:57 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Άσκηση με πρώτους αριθμούς
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 984

Re: Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Διαφορετικά μπορούμε να πάρουμε τα πιθανά υπόλοιπα του $p$ με το $3$. Δεν ξέρω Χάρη αν εννοείς το παρακάτω. Προφανώς $p> q$ Αν $p\equiv 1mod3,q\equiv 1mod3$ τότε το πρώτο μέλος διαιρείται με το $3$ ενώ το δεύτερο όχι. 'Ομοια αν $p\equiv 2mod3,q\equiv 2mod3$. Αν $p\equiv 2mod3,q\equiv 1mod3$ η $p\eq...
από harrisp
Σάβ Μαρ 24, 2018 12:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Άσκηση με πρώτους αριθμούς
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 984

Re: Άσκηση με πρώτους αριθμούς

Διαφορετικά μπορούμε να πάρουμε τα πιθανά υπόλοιπα του p με το 3.
από harrisp
Παρ Μαρ 02, 2018 12:07 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Τα 11 σκαλοπάτια
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1144

Re: Τα 11 σκαλοπάτια

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Πέμ Μαρ 01, 2018 9:44 pm
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να ανέβουμε 11 σκαλοπάτια;

Θεωρείστε ότι έχουμε τη δυνατότητα να φτάσουμε στο 11ο σκαλοπάτι με τη μία όπως και σε όλα τα προηγούμενα.
Ας το δυσκολέψουμε λίγο. Κάντε το ίδιο αν μπορούμε να ανέβουμε 1 ή 2 σκαλιά την φορά.
από harrisp
Τρί Φεβ 27, 2018 12:18 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα στο Μέσο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 567

Re: Καθετότητα στο Μέσο

Καθετότητα στο Μέσο.png Καταρχάς είναι προφανές πως το $M$ βρίσκεται στο διαφορετικό ημιεπίπεδο από το $D$ ως προς την $AC$. Έστω $E'$ και $F'$ τα συμμετρικά του $E$ και του $F$ προς τα $A$ και $C$ αντίστοιχα. Έστω $M'$ το μέσο του $E'F'$. Παρατηρούμε πως στο τετράπλευρο $EE'F'F$ τα $A, M', C, M$ ε...
από harrisp
Δευ Φεβ 26, 2018 3:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα στο Μέσο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 567

Καθετότητα στο Μέσο

Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD. Προεκτείνουμε τις DA,DC κατά τμήματα AE=BC,CF=BA αντίστοιχα. Να αποδειξετε ότι MA\perp MC, όπου M το μέσο της EF.

Μέχρι τον νέο μήνα για μαθητές.
από harrisp
Παρ Φεβ 16, 2018 10:42 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Αρμονική Ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 722

Re: Αρμονική Ανισότητα!

Ας είναι $\displaystyle{\mathcal{H}_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n},~~n=1,2,...}$ Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\mathcal{H}_k ^2}<2.}$ Έστω $\mathcal {S}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\mathcal{H}_k ^2}.}$ Είναι $\mathcal{H}_i>\mathcal{H}_{i-1}\Left...
από harrisp
Κυρ Φεβ 04, 2018 10:39 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1026

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2017/18. Θέματα της 3η φάσης για την 11η τάξη. 6. Ο Πέτρος διάλεξε ένα φυσικό αριθμό $n$ και έγραψε στον πίνακα τα ακόλουθα κλάσματα $\dfrac{0}{n}, \dfrac{1}{n-1}, \dfrac{2}{n-2}, \dfrac{3}{n-3}, \cdots , \dfrac{n-1}{n-(n-1)}$ . Έστω ότι ο αριθμός $n$ διαιρείτε με το...
από harrisp
Πέμ Φεβ 01, 2018 6:08 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Putnam 1985/A1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 950

Re: Putnam 1985/A1

Να βρεθεί το πλήθος των διατεταγμένων τριάδων $(A_1,A_2,A_3)$ όπου τα $A_1,A_2,A_3$ είναι σύνολα τα οποία ικανοποιούν τις συνθήκες (α) $A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \{1,2,\ldots,10\}$ (β) $A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \emptyset$ Έστω $x$ ένα στοιχείο της τριάδας. Τότε έχει $6$ επιλογές: Να ανήκει σε ένα μόνο...
από harrisp
Τετ Ιαν 24, 2018 6:08 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 11
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1301

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 11

Πρόβλημα 2 Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $1 \leq n \leq 2008$ για τους οποίους υπάρχει πρώτος αριθμός $p \geq n$ τέτοιος ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{2008^p + (n - 1)!}{n}}$ να είναι ακέραιος. Καλησπέρα! Μια λύση (ελπίζω σωστή), αν και νομίζω ότι το κούρασα πολύ. Έστω $A=\displayst...
από harrisp
Παρ Ιαν 19, 2018 8:01 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 103
Προβολές: 10541

Re: 15η άσκηση στα μονά-ζυγά

Το παρακάτω σχήμα αποτελείται από 9 κόκκινα και 9 μαύρα τετράγωνα. Μπορούμε να τοποθετήσουμε τους αριθμούς από το 1 έως και το 18, έναν σε κάθε τετράγωνο με τέτοιον τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών στα κόκκινα τετράγωνα να είναι ίσο με το άθροισμα των αριθμών στα μαύρα τετράγωνα; Παράκλιση, οι γν...
από harrisp
Τρί Ιαν 16, 2018 12:15 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Η καθετότητα του μήνα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 441

Re: Η καθετότητα του μήνα

Η καθετότητα του μήνα.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με $AB<AC , \hat{A}=60^0$ , το $O$ είναι το περίκεντρο , το $H$ το ορθόκεντρο και η $ AD $ μία διχοτόμος του . Η ημιευθεία $OH$ τέμνει την προέκταση της $CB$ στο $S$ . Δείξτε ότι : $DH\perp AS$ . Ωραίο! Είναι $\angle OAC=90^o-\dfrac {\angle A...
από harrisp
Παρ Ιαν 12, 2018 10:48 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 103
Προβολές: 10541

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Για τους Ορέστη και Διονύση έληξε η ισχύς του "απαγορευτικού" για την άσκηση Νο 8. (Υπάρχει μια οικειότητα με τα παιδιά αυτά λόγω του πενθήμερου της περσινής Βαλκανιάδας στη Βάρνα). Δίνω μια νέα άσκηση την οποία δεν πρέπει να "αγγίζουν" αυτοί οι δύο, ούτε και ο sakpanvas, ο οποίος βλέπω ότι είναι δ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση