Η αναζήτηση βρήκε 544 εγγραφές

από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 9:20 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 805

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' Λυκείου Πρόβλημα 3 Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση: $(x^2-x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)=6x^3$. Ωραίο! Εύκολες πραξούλες (εννοείται δεν τις κάνουμε όλες αλλά εφαρμόζουμε ταυτότητες και έξυπνα την επιμεριστική ;) ) $x^6+2x^4-6x^3+2x^2+1=0$ Βλέπουμε μία ρίζα η $x=1$ κά...
από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 8:56 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 805

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Ευκλείδης Α' Λυκείου Πρόβλημα 4 Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $n$ για τους οποίους ισχύει ότι ο αριθμός: $A=n^4+2n^3-n^2+2n+1$ είναι πρώτος. $A=(n^2 - n + 1) (n^2 + 3 n + 1)$ ¹ άρα $n^2-n+1=1$ (το δεύτερο έχει square-free διακρίνουσα) οπότε $n=1$ δεκτή αφού $A=5$ ______...
από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 8:10 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 805

Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 15

Πρόβλημα 1 α) Να διατάξετε τους αριθμούς $A_1, A_2, ..., A_{10}$ σε αύξουσα σειρά εάν $\displaystyle{A_n=\frac{13na+12}{na+1}}$ όπου $a$ θετικός πραγματικός αριθμός. β) Υπάρχει άραγε θετικός ακέραιος $n$ και θετικός πραγματικός $a$ έτσι ώστε μεταξύ των $A_1$ και $A_n$ να υπάρχει ακέραιος αριθμός; Γ...
από harrisp
Πέμ Σεπ 28, 2017 3:40 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ίσες γωνίες (Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 461

Re: Ίσες γωνίες (Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Αρκεί να αποδείξουμε ότι το STCB είναι εγγράψιμο. Από την παραλληλία είναι \widehat {SAD}=\widehat {CST}, όμως από το εγγράψιμο ABCD είναι \widehat {SAD}=\widehat {CBT} άρα \widehat {CST}=\widehat {CBT}, οεδ.
από harrisp
Σάβ Σεπ 16, 2017 6:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2015 (9 τάξη)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 686

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2015 (9 τάξη)

Πρόβλημα 2. Σε κύκλο με κάποια σειρά είναι τοποθετημένοι όλοι οι φυσικοί αριθμοί από το 1 έως το 1000 με τέτοιο τρόπο, ώστε οποιοσδήποτε από τους αριθμούς να είναι διαιρέτης του αθροίσματος των δυο γειτονικών του. Είναι γνωστό, ότι δίπλα στον αριθμό $ k $ βρίσκονται δυο περιττοί αριθμοί. Τι μπορεί ...
από harrisp
Πέμ Αύγ 24, 2017 10:34 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Μία ορθή ακόμη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 411

Re: Μία ορθή ακόμη

Ευτυχώς απαντήθηκε νωρίς από τον Ορέστη... :lol:
από harrisp
Τρί Αύγ 22, 2017 9:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2014/B1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 952

Re: Putnam 2014/B1

Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση $10$ ενός θετικού ακεραίου $N$ είναι μια παράσταση του $N$ στην μορφή $\displaystyle{ N = d_k 10^k + d_{k-1}10^{k-1} + \cdots + d_0 10^0}$ με $d_i \in \{0,1,2,\ldots,10\}$ για κάθε $i$, και $d_k \neq 0$. Π.χ. ο $N=10$ έχει δύο υπερ-αναπτύγματα στην βάση 10. Το $10=10 \c...
από harrisp
Παρ Αύγ 18, 2017 6:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2013/A2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 989

Re: Putnam 2013/A2

Καλησπέρα! Θεωρούμε δύο γινόμενα (της μορφής που περιγράφει η εκφώνηση) με ισο τον τελευταίο όρο (που είναι ο ελάχιστος ώστε να ειναι το γινόμενο τέλειο τετράγωνο). Έστω $A,B$ τα δυο γινόμενα με $m>n$ τους πρώτους όρους τους. Τότε το $AB$ είναι τέλειο τετράγωνο. Στα δύο αυτά γινόμενα εκτός από τους ...
από harrisp
Τετ Αύγ 16, 2017 9:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αλλές 3 ασκήσεις για διαγωνισμούς.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1007

Re: Αλλές 3 ασκήσεις για διαγωνισμούς.

Όλες οι ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής 2)Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν τριψηφοί θετικοί ακέραιοι $\overline{abc}$ έτσι ώστε $\overline{abc}=ab+bc+ca$ με $abc \neq 0$ Καλησπέρα! Ελπίζω να είμαι σωστός... Αν $a>2$ τότε θα πρέπει $\overline {3bc}\geq 311$ να είναι μικρότερο ή ίσο με το $ab+bc+ca\leq...
από harrisp
Σάβ Αύγ 12, 2017 1:23 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 961

Re: 4 ασκήσεις για διαγωνισμούς!

Όλες τις ασκήσεις είναι δική μου κατασκευής. 1. Να βρείτε όλες τις τριάδες των θετικών ακέραιων $(a,b,c)$ που ικανοποιούν την εξίσωση $a^3+b^3-3ab=2017^c+1$ Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. Είναι $a^3+b^3-3ab=2017^c+1 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow a^3+b^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow$ Καλ...
από harrisp
Πέμ Αύγ 10, 2017 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 955

Re: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

α. Έστω $\displaystyle m \equiv \lfloor \sqrt{n} \rfloor$. Για $0 \leqslant k \leqslant m$ ισχύουν $\displaystyle \sqrt{m^2 + 2k} \leqslant m + \frac{k}{m} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k + 1}$ $\displaystyle \sqrt{m^2 + 2k - 1} \leqslant m + \frac{k}{m+1} \leqslant \sqrt{m^2 + 2k}$ που μας δίνουν τα επιθ...
από harrisp
Τρί Αύγ 08, 2017 1:11 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 955

Κλάσμα ανάμεσα σε διαδοχικές τετραγωνικές ρίζες

(a) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $n$ υπάρχει κλάσμα $\dfrac {a}{b}$ όπου $a,b$ ακέραιοι ώστε: $0\leq b\leq \sqrt n +1$ και $\sqrt n \leq \dfrac {a}{b} \leq \sqrt {n+1}$ (b) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι $n$ ώστε να μην υπάρχει κλάσμα $\dfrac {a}{b}$ όπου $a,b$ ακέρ...
από harrisp
Κυρ Αύγ 06, 2017 12:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 712

Re: Διπλάσια γωνία

Λίγο διαφορετικά για το αρχικό ζητούμενο: διπλάσια γωνία.png Φέρνουμε την $I_aC$ και έστω πως η $AD$ την τέμνει στο σημείο $F$. Λόγω του ότι οι $AF, CK$ τέμνονται πάνω στη διάμεσο, έχουμε πως $KF//AC$. Όπως ανέφερε παραπάνω στην λύση του ο min## έχουμε πως $KF//AC//ID$. Ακόμη, λόγω του ότι το τρίγω...
από harrisp
Κυρ Αύγ 06, 2017 12:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 712

Re: Διπλάσια γωνία

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και το παράκεντρο $I_a$. Έστω $M$ το μέσο του $AC$ και έστω ότι η $I_aM$ τέμνει την $BC$ στο $D$. Αν $BA=BD$ να αποδείξετε ότι $\angle BAC=2\angle ACB$. Ισχύει το αντίστροφο; Έστω $K$ η τομή της διχοτόμου της $A$ με την $BC$ και $A'$ με τον κύκλο. Αρχικά αποδεικνύω ότι $ID//AC...
από harrisp
Σάβ Αύγ 05, 2017 5:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Διπλάσια γωνία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 712

Διπλάσια γωνία

Δίνεται τρίγωνο ABC και το παράκεντρο I_a. Έστω M το μέσο του AC και έστω ότι η I_aM τέμνει την BC στο D. Αν BA=BD να αποδείξετε ότι \angle BAC=2\angle ACB.

Ισχύει το αντίστροφο;
από harrisp
Τρί Αύγ 01, 2017 4:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ανακατωσούρα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 400

Re: Ανακατωσούρα

Γράφουμε τον κύκλο $(M,MA)$ που προφανώς περιέχει τα $D,C$. Όπως απέδειξε και ο κ. Νίκος ισχύει $3BD=BC$. Επομένως: $AB^2=BD\cdot BC$ από όπου εύκολα παίρνουμε ότι $\sin \angle {BAD}=\dfrac {\sqrt{3}}{3}$. Ομως από χορδής-εφαπτομένης (η $AB$ εφάπτεται στον κύκλο στο $A$ )είναι $\angle BAD=\angle BAC...
από harrisp
Σάβ Ιούλ 29, 2017 5:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 972

Re: Ανισότητα

Αν $a,b,c,d\in (0,+\infty)$ με $a\geq b$ και $c\geq d$ να αποδείξετε ότι $\sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\geq \sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}$ Μια προσπάθεια :) Και τα δυο μελη ειναι θετικά οπότε με ύψωση στο τετράγωνο λαμβάνουμε: $ac-bd\geq \sqrt {(a^2-b^2)(c^2-d^2)}$. Από την εκφώνηση έχουμε ότι το αριστερό...
από harrisp
Πέμ Ιούλ 27, 2017 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1403

Re: Άθροισμα αντιστρόφων πρώτων

Επαναφορά! Το μόνο που έχω βρει (και δεν ξέρω αν είναι σωστό και οδηγεί στην λύση) είναι ότι: $\displaystyle\sum_{p\in\mathcal{P}}\frac{1}{p}=\displaystyle \sum_{k=1}^{2^{100}} \dfrac {\pi(k)-\pi(k-1)}{k}$. Θα προσπαθήσω να ακολουθήσω τα βήματα της λύσης του κ. Δημήτρη (http://mathematica.gr/forum/v...
από harrisp
Τρί Ιούλ 25, 2017 12:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Σχεδόν όλες μιγαδικές
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1247

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

gbaloglou έγραψε:Να δειχθεί ότι, για περιττό n, το πολυώνυμο (x-1)^n(x^n+1)+(x+1)^n δεν έχει πραγματικές ρίζες πέραν των x=0 και x=-1.
Επαναφορά!
από harrisp
Κυρ Ιούλ 23, 2017 12:31 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τρίγωνο από 3 σημεία
Απαντήσεις: 102
Προβολές: 4509

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Άσκηση 24 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία τα ύψη του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο. Φέρνουμε τον κύκλο που περνά απο τα σημεία αυτά που προφανώς θα είναι και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Τα μέσα των τόξων που ορίζουν τα δοθέντα σημεία είναι οι κορυφές του τριγώνου....

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση