Η αναζήτηση βρήκε 1387 εγγραφές

από dement
Δευ Φεβ 19, 2018 6:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ο αριθμός π...
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 498

Re: Ο αριθμός π...

Ισχύει $\displaystyle \frac{2}{1+4n} + \frac{1}{3+4n} + \frac{1}{1+2n} = \int_0^1 \left( 2x^{4n} + x^{4n+2} + x^{2n} \right) \mathrm{d}x$ Έτσι, λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης όλων των ακολουθιών στο $[0,1]$, μπορούμε να γράψουμε το ζητούμενο (αφού αθροίσουμε τις άπειρες γεωμετρικές προόδους) ως: $\displ...
από dement
Τετ Φεβ 14, 2018 1:13 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 1988/A4
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 810

Re: Putnam 1988/A4

α. Ναι. Έστω δύο ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς $1$ με κοινή πλευρά. Οι δύο μη κοινές κορυφές θα έχουν ίδιο χρώμα (διαφορετικό από τα δύο διαφορετικά των κοινών κορυφών). Έτσι, όλα τα σημεία κύκλου ακτίνας $\sqrt{3}$ θα είναι ομόχρωμα με το κέντρο του. Μεταξύ αυτών θα υπάρχουν δύο με απόσταση $1$. β. Όχι...
από dement
Τρί Φεβ 13, 2018 2:19 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Ὅριο ἐμμέσως ὁριζομένης ἀκολουθίας
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 565

Re: Ὅριο ἐμμέσως ὁριζομένης ἀκολουθίας

Η ακολουθία μπορεί να γραφεί ως $\displaystyle x_n = \frac{\ln \left( \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \right) - n \ln (1 + 1/n)}{\ln (1 + 1/n)}$. Από το θεώρημα Taylor έχουμε $\displaystyle \mathrm{e} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \mathcal{O} \left( \frac{1}{(n+1)!} \right) \implies \ln \left( \sum_{k=0}^...
από dement
Κυρ Φεβ 04, 2018 3:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Εύρεση Πεδίου Τιμών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 881

Re: Εύρεση Πεδίου Τιμών

Καλημέρα Γιώργο. Θα μπορούσε ίσως κανείς να το δει και σαν μια ωραία ευκαιρία να ξεκαθαρίσει τη διαφορά μεταξύ απλής συνεπαγωγής και ισοδυναμίας. Ψάχνοντας το πεδίο τιμών, ψάχνουμε στην ουσία το μοναδικό σύνολο $R$ για το οποίο ισχύει $x \in D \Leftrightarrow f(x) \in R$. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα...
από dement
Σάβ Φεβ 03, 2018 1:22 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Mathematics Today (1)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 985

Re: Mathematics Today (1)

Ισχύει $\displaystyle \sum_{i<j\leqslant k} \left( \frac{a_i}{a_j} + \frac{a_j}{a_i} \right) \geqslant k(k-1)$ (από ΑΜ-ΓΜ) με ισότητα αν και μόνο αν $a_1 = a_2 = ... = a_k$. Θέτουμε $\displaystyle r \equiv \sum_{i=k+1}^n a_i, \ t \equiv \sum_{i=k+1}^n \frac{1}{a_i}$. Τότε ισχύει $\displaystyle \sum_...
από dement
Παρ Φεβ 02, 2018 12:06 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Putnam 1987/B2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 754

Re: Putnam 1987/B2

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $\displaystyle \binom{n+1}{k+l+1} = \sum_r \binom{r}{k} \binom{n-r}{l}$ η οποία διαχωρίζει τους τρόπους επιλογής $k+l+1$ από $n+1$ στοιχεία στις διάφορες δυνατές θέσεις του $(k+1)$-οστού στοιχείου. Έτσι έχουμε $\displaystyle \sum_k \frac{\binom{s}{k}}{\binom{t}{r+k}} = \...
από dement
Τρί Ιαν 30, 2018 6:14 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Τιτανικός
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 499

Re: Τιτανικός

Το πρόβλημα βρίσκεται στο γεγονός ότι άλλο το μεσημέρι στο Σαουθάμπτον και άλλο στη Νέα Υόρκη;
από dement
Πέμ Ιαν 25, 2018 7:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1047

Re: Ανισότητα με λογάριθμο και ρίζες

(Υποθέτω είναι εκτός φακέλου οι υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις). Θέτοντας $x \equiv \sinh u$ η ανισότητα γίνεται $f(u) = 1 + u \sinh u - \cosh u \geqslant 0$. Η $f$ είναι άρτια και ισχύει $f(0) = 0$ καθώς και $f'(u) = u \cosh u$. Η παράγωγος είναι ομόσημη του $u$ οπότε το $0$ είναι ολικό ελ...
από dement
Πέμ Ιαν 25, 2018 5:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΓΡΗΓΟΡΗ
Απαντήσεις: 27
Προβολές: 2320

Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΓΡΗΓΟΡΗ

Χρόνια πολλά και καλά στον Γρηγόρη Κωστάκο και σε όλους τους εορτάζοντες.
από dement
Πέμ Ιαν 25, 2018 4:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Υπόλοιπο διαίρεσης!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1035

Re: Υπόλοιπο διαίρεσης!

Εναλλακτικά (για $p \geqslant 3$): Αποδεικνύουμε με επαγωγή ότι $\displaystyle \sum_{i=1}^{p-1} i^k \equiv 0 \mod p$ για $k = 1, ..., p-2$, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι για $k=0$ η παράσταση ισούται με $-1 \mod p$ και θεωρώντας τα τηλεσκοπικά αθροίσματα $\displaystyle \sum_{i=1}^{p-1} \left( (i+1)...
από dement
Παρ Ιαν 19, 2018 12:20 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 658

Re: Κάτω φράγμα διαστήματος μεταξύ ριζών

Έστω $x_0 \in [r_1,r_2]$ με $f(x_0)$ μέγιστο. Ισχύει $x_0 \notin \{ r_1, r_2 \}$ αφού $f'(r_1) > 0$. Από ΘΜΤ υπάρχει $\xi_1 \in (r_1, x_0)$ με $\displaystyle f'(\xi_1) = \frac{f(x_0)}{x_0 - r_1}$ και $\xi_2 \in (x_0, r_2)$ με $\displaystyle f'(\xi_2) = - \frac{f(x_0)}{r_2 - x_0}$. Έτσι, πάλι από ΘΜΤ...
από dement
Δευ Ιαν 15, 2018 1:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο αναδρομικής
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 408

Re: Όριο αναδρομικής

Ορίζουμε δύο ακολουθίες $(b_n), (c_n)$ με: 1. $\displaystyle b_1 \equiv \frac{1}{4}, b_2 \equiv \frac{3}{16}, b_{n+2} \equiv b_n^2 + \frac{1}{2} b_n$ 2. $\displaystyle c_n \equiv |a_{n+3}|$ Η $(b_n)$ είναι φθίνουσα με $b_{2n+1} = b_{2n}$ και φραγμένη κάτω (μη αρνητική), άρα συγκλίνουσα. Τα πιθανά όρ...
από dement
Τρί Ιαν 09, 2018 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Σειρές από μηδενική-φθίνουσα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 640

Re: Σειρές από μηδενική-φθίνουσα

Για το δεύτερο, έχουμε από ΘΜΤ

\displaystyle \frac{a_{n}^{1-c} - a_{n+1}^{1-c}}{a_n - a_{n+1}} > (1-c) a_n^{-c} \implies \frac{a_n - a_{n+1}}{a_n^c} < \frac{a_n^{1-c} - a_{n+1}^{1-c}}{1-c}

Το δεξί μέλος συγκλίνει, οπότε και η σειρά.
από dement
Δευ Ιαν 08, 2018 10:59 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2015/4
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 894

Re: SEEMOUS 2015/4

Δίνω και μία λύση για το (α) επειδή συνδέεται με τη λύση του (β). α. Από το θεώρημα Taylor έχουμε ότι για κάθε $x \in I$ με $x>0$ ισχύει $\displaystyle f(x) = x + \frac{f^{[2016]}(\xi)}{2016!} x^{2016}$, όπου $\xi \in (0,x)$. Λόγω συνέχειας της 2016ης παραγώγου, μπορούμε να επιλέξουμε $\delta_0 > 0$...
από dement
Σάβ Ιαν 06, 2018 12:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Φωτεινή-Φώτης-Φάνης
Απαντήσεις: 30
Προβολές: 2086

Re: Φωτεινή-Φώτης-Φάνης

Πολλές ευχές στη Φωτεινή Καλδή και σε όλους τους εορτάζοντες του :logo: .
από dement
Τρί Ιαν 02, 2018 4:47 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 648

Re: Κυρτή σε ανοιχτό διάστημα

$( \Longrightarrow )$ Έστω η $f$ κυρτή. Τότε, για κάθε $[x-t,x+t] \subset (a,b)$ ισχύει $\displaystyle f(x) \leqslant \frac{f(x+t) + f(x-t)}{2}$. Ολοκληρώνουμε για $t$ από $0$ ως $\delta$ και παίρνουμε $\displaystyle \int_0^{\delta} f(x) \mathrm{d}t \leqslant \int_0^{\delta} \frac{f(x+t) + f(x-t)}{2...
από dement
Δευ Ιαν 01, 2018 9:56 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 2018
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1141

Re: 2018

Καλή και δημιουργική χρονιά σε όλο το :logo: .
από dement
Τετ Δεκ 27, 2017 7:40 am
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Ανισότητα και ομοιομορφισμός
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 601

Re: Ανισότητα και ομοιομορφισμός

Ισχύει γενικά $|\mathcal{G}|=|\ker f| |f(\mathcal{G})|$ (πρώτο θεώρημα ισομορφισμών). Με δεδομένο αυτό έχουμε επίσης $\displaystyle |f(\mathcal{G})| = \left|\ker f|_{f(\mathcal{G})} \right| |f(f(\mathcal{G}))|$ και η ανισότητα ισοδυναμεί με $\displaystyle \left|\ker f|_{f(\mathcal{G})} \right| \leqs...
από dement
Τετ Δεκ 20, 2017 8:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 9 χρόνια mathematica.gr
Απαντήσεις: 30
Προβολές: 2742

Re: 9 χρόνια mathematica.gr

Χρόνια πολλά στο mathematica, μακάρι να συνεχίσει να μας διδάσκει μαθηματικά και ήθος για πολύ καιρό ακόμη.
από dement
Τετ Δεκ 20, 2017 6:30 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2017/B4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 717

Re: Putnam 2017/B4

Γράφουμε $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{3 \ln (4k+2)}{4k+2} - \frac{\ln (4k+3)}{4k+3} - \frac{\ln (4k+4)}{4k+4} - \frac{\ln (4k+5)}{4k+5} \right) =$ $\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{\ln (4k+2)}{4k+2} - \frac{\ln (4k+3)}{4k+3} + \frac{\ln (4k+4)}{4k+4} - \frac{\ln (4...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση