Η αναζήτηση βρήκε 1387 εγγραφές

από dement
Πέμ Μάιος 17, 2018 8:05 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κουμπαράδες στην σειρά
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 818

Re: Κουμπαράδες στην σειρά

Θα δείξουμε ότι στο σύνολο $ \{s_1, s_2 , \ldots, s_8 \}$, ένα εκ των $s_i$ έχει όλους τους προσθετέους καλούς, και στο σύνολο $\{s_9, s_{10}, \ldots, s_{15} \}$ ένα εκ των $s_j$ έχει όλους τους προσθετέους καλούς. Αν σε κανένα εκ των $s_k$ όλοι οι προσθετέοι είναι καλοί, ..., άτοπο. Προσοχή Ορέστη...
από dement
Τρί Μάιος 15, 2018 7:38 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Συνέδριο Λογικής και Θεμελίων των Μαθηματικών, Αθήνα 27-28 Ιουνίου 2018
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 2028

Re: Συνέδριο Λογικής και Θεμελίων των Μαθηματικών, Αθήνα 27-28 Ιουνίου 2018

fmak65 έγραψε:
Δευ Μάιος 14, 2018 11:32 pm
Ένας από τους ομιλητές του υποσυνεδρίου της Λογικής μου έγραψε σε mail τα παρακάτω:
...
Δεν θα μπορούσα να το θέσω καλύτερα.
από dement
Παρ Μάιος 04, 2018 2:20 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Όλοι οι διαβόλοι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 397

Re: Όλοι οι διαβόλοι

Αγνοώντας τον θετικό όρο \sqrt {\ln (x+2)} βλέπουμε ότι \displaystyle \mathrm{e}^x \geqslant 1 + x \geqslant 1 + \ln (x+1) \geqslant \cos x + \ln (x+1) με μοναδική ισότητα στο x=0. Άρα η αρχική εξίσωση είναι αδύνατη.
από dement
Παρ Απρ 27, 2018 11:38 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2018/2 Category II
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 448

Re: Vojtech Jarnik 2018/2 Category II

Παίρνουμε αρχικά την περίπτωση $x \geqslant 0$. Προφανώς, αν $\lfloor nx \rfloor = 0$, το ζητούμενο ισχύει. Θεωρούμε $\lfloor nx \rfloor > 0$. Χρησιμοποιούμε τη γνωστή έννοια της κυριαρχίας, σύμφωνα με την οποία, από δύο αύξουσες πεπερασμένες ακολουθίες $n$ αριθμών $(c_k), (d_k)$ με $\displaystyle \...
από dement
Τετ Απρ 25, 2018 11:35 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtec Jarnik 2018/4 Category I
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 439

Re: Vojtec Jarnik 2018/4 Category I

Αυτό είχε μείνει. Το δεδομένο μπορεί να διατυπωθεί και ως: Για κάθε $x \in f(\mathbb{R})$ ισχύει $f(x)^4 - f(x) = 1-x \Leftrightarrow (g \circ f) (x) = 1-x$, όπου $g(x) \equiv x^4 - x$. Η $g$ έχει ολικό ελάχιστο στο $4^{-1/3}$ με τιμή $-3 \cdot 4^{-4/3}$. Έτσι, για κάθε $x \in f(\mathbb{R})$ θα ισχύ...
από dement
Τετ Απρ 25, 2018 10:25 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Οι ρητοί είναι ακέραιοι
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 846

Οι ρητοί είναι ακέραιοι

Έστω θετικοί x, y \in \mathbb{Q} τέτοιοι ώστε x \neq y και ο x^n - y^n είναι ακέραιος για άπειρο πλήθος τιμών του n \in \mathbb{N}. Αποδείξτε ότι οι x, y είναι ακέραιοι.
από dement
Δευ Απρ 23, 2018 8:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Ευχές
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 1044

Re: Ευχές

Χρόνια πολλά και καλά σε όλους τους εορτάζοντες.
από dement
Κυρ Απρ 22, 2018 5:17 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 687

Re: Πολυώνυμα με δυνάμεις 10, 21

Το γεγονός ότι η εκφώνηση δεν λέει "(αν υπάρχουν)" με ανησυχεί λίγο, αλλά για να δούμε... Γράφουμε την εξίσωση ως $P(x)^9 \left( P(x) + 1 \right) = Q(x)^{20} \left( Q(x) + 1 \right)$. Έστω $x \in \mathbb{C}$ κοινή ρίζα των $P, Q$. Τότε, για τις αλγεβρικές της πολλαπλότητες στα δύο πολυώνυμα ισχύει $...
από dement
Παρ Απρ 20, 2018 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1164

Re: Για το καλό σας, καθίστε σπίτι!

Δεν είμαι βέβαιος αν η λύση είναι σε επίπεδα Β Λυκείου, αλλά μια και απευθύνεται σε μεγάλους... Ισχύει $\displaystyle \prod_{k=1}^{89} \sin \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \prod_{k=1}^{89} \cos \left( \frac{k \pi}{180} \right) = \sqrt{- \prod_{\substack {k=1 \\ k \neq 90}}^{179} \cos \left( \frac...
από dement
Πέμ Απρ 19, 2018 6:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση σειράς 106
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 516

Re: Σύγκλιση σειράς 106

Έχουμε (για αρκετά μεγάλα $n$) $\displaystyle \sum_{k=2n}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1} \sqrt{k}}{(-1)^k + \sqrt{k}} \sin \left( \frac{1}{\sqrt{k}} \right) = \left( \sqrt{2n+1} \sin \left( \frac{1}{\sqrt{2n+1}} \right) - \sqrt{2n} \sin \left( \frac{1}{\sqrt{2n}} \right) \right) \frac{1}{\sqrt{2n+1} - 1} +...
από dement
Δευ Απρ 16, 2018 4:14 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2018/2 Category I
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 577

Re: Vojtech Jarnik 2018/2 Category I

Αφαιρούμε την τελευταία γραμμή από όλες τις άλλες και έχουμε $D = \begin {vmatrix} 2^2 & 1 & \cdot \cdot \cdot & 1 \\ 1 & 3^2 & \cdot \cdot \cdot & 1 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ 1 & 1 & \cdot \cdot \cdot & (p+7)^2 \\ \end {vmatrix} = \begin {vmatrix} 1 \cdot ...
από dement
Σάβ Απρ 14, 2018 1:41 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2018/1 Category I
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 366

Re: Vojtech Jarnik 2018/1 Category I

Επικεντρώνουμε στα ακέραια σημεία. Κάθε γραμμή έχει $5$ σημεία και, αφού τα χρώματα είναι $4$, θα υπάρχουν δύο ομόχρωμα σημεία της. Ονομάζουμε αυτό το χρώμα της συγκεκριμένης γραμμής. Υπάρχουν $41$ γραμμές οπότε θα υπάρχουν $11$ ομόχρωμες. Αφού τα ζεύγη σημείων σε κάθε γραμμή είναι $\displaystyle \b...
από dement
Παρ Απρ 13, 2018 8:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μετρικός γεωμετρικός τόπος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 432

Re: Μετρικός γεωμετρικός τόπος

Χρειάζεται λίγη προσοχή, το πρόβλημα δεν προσδιορίζει ότι το M είναι εσωτερικό της γωνίας \angle{A}. Χωρίς αυτόν τον περιορισμό υπάρχουν κι άλλα σημεία.
από dement
Πέμ Απρ 12, 2018 4:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2018/4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 430

Re: EGMO 2018/4

Ο συμβολισμός $(m,n, \Delta)$ σημαίνει "πλακάκι με το ένα σημείο στο $(m,n)$ και το άλλο δεξιά του". Αντίστοιχα με $K$ σημαίνει "κάτω". Έστω ότι η τιμή κάθε στήλης και γραμμής είναι $k$. Τότε, αφού συνολικά υπάρχουν $2n$ στήλες και γραμμές και κάθε πλακάκι καλύπτει μία από την μία κατηγορία και δύο ...
από dement
Τρί Απρ 10, 2018 2:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Πεδίο Ορισμού
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 547

Re: Πεδίο Ορισμού

Μπορεί να κάνω λάθος, αλλά υποψιάζομαι ότι έχεις μπερδέψει τη συντέμνουσα με τη συνεφαπτομένη. Ισχύει \displaystyle \csc x = \frac{1}{\sin x}.
από dement
Κυρ Απρ 08, 2018 11:31 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Άθροισμα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 883

Re: Άθροισμα

Καλημέρα και καλό Πάσχα. Χάριν πληρότητας δίνω και μία αλγεβρική λύση. Έχουμε γενικά $\displaystyle \binom{n}{i} \binom{i}{k} = \binom{n}{k} \binom{n-k}{i-k}$. Αφού $k>0$ μπορούμε να ξεκινήσουμε την άθροιση από το $0$. Έτσι, $\displaystyle \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{i}{k} \binom{n}{i} = \binom{n}{k}...
από dement
Κυρ Απρ 08, 2018 7:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Καλό Πάσχα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 456

Re: Καλό Πάσχα

Καλό Πάσχα και χρόνια πολλά σε όλους.
από dement
Κυρ Απρ 08, 2018 12:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Σύνολο αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 555

Re: Σύνολο αριθμών

Δίνεται το σύνολο $S= \{a^2+a-1,a^3+a^2-1,\ldots ,a^{n+1}+a^n-1,\ldots\}$ όπου $a>1$ είναι θετικός ακέραιος. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο $M\subseteq S$ με άπειρα στοιχεία, έτσι ώστε κάθε 2 αριθμούς απο το σύνολο $M$ είναι πρώτοι μεταξύ τους. Πηγή: Ρουμανία 1997 Θα αποδείξουμε ότι, για κάθε...
από dement
Πέμ Απρ 05, 2018 6:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μέθοδος Newton
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 579

Μέθοδος Newton

Μια και πιάσαμε τις προσεγγιστικές μεθόδους στην Ανάλυση, ας το δούμε και αυτό. Έστω συνάρτηση $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $|f'(x)| \geqslant M > 0$ και $|f''(x)| \leqslant m$ για κάθε $x \in [a,b]$, καθώς επίσης και $f(a) f(b) < 0$. Να αποδειχθεί ότι: 1. Υπάρχει μοναδική ρίζ...
από dement
Πέμ Απρ 05, 2018 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ισότητα για ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 301

Re: Ισότητα για ολοκλήρωμα

Ισχύει (από θ. Taylor) $\displaystyle \int_{\frac{2k-1}{2n}}^{\frac{k}{n}} f(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{2n} f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) + \frac{1}{8n^2} f' \left( \frac{2k-1}{2n} \right) + \frac{1}{48n^3} f'' (\xi_k) \ (\xi_k \in \left( \frac{2k-1}{2n}, \frac{k}{n} \right) )$ καθώς και $\display...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση