Η αναζήτηση βρήκε 1387 εγγραφές

από dement
Τετ Απρ 04, 2018 7:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 599

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

Ισχύει $\displaystyle \left| \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) \right| = \left| \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left( f(x) - f\left( \frac{k}{n} \right) \right) \mathrm{d}x \right| \leqslant$ $\displaystyle \leqslant \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^...
από dement
Τρί Απρ 03, 2018 10:58 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 896

Re: Σφιχτή ανισότητα σε ολοκλήρωμα

Μπορούμε επίσης να επωφεληθούμε από την κυρτότητα της $e^{x^2}$ και να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα του τραπεζίου με διαχωρισμό στα τρία (το φράγμα από την τμηματικά γραμμική συνάρτηση μπορεί να αποδειχθεί σχολικά). Έτσι $\displaystyle \int_0^{\pi/4} e^{x^2} \mathrm{d}x < \frac{\pi}{24} \left( 1 + 2 ...
από dement
Τρί Μαρ 27, 2018 2:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με ΜΚΔ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 342

Re: Σειρά με ΜΚΔ

Γράφουμε (από τη γνωστή ιδιότητα της συνάρτησης $\phi$ του Euler) $\displaystyle \gcd(n,2016) = \sum_{d|\gcd(n,2016)} \phi (d)$. Έτσι, η σειρά γίνεται $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\gcd(n,2016)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{d|\gcd(n,2016)} \frac{\phi(d)}{n^2} = \sum_{d|2016} \sum_{\substa...
από dement
Τρί Μαρ 27, 2018 10:09 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ένα όριο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 511

Re: Ένα όριο

Ας βάλω και την δική μου... Υποδηλώνω με $S_n (f, [0,1])$ το άθροισμα Riemann της $f$ στο $[0,1]$ με ομοιόμορφη διαμέριση $n$ στοιχείων και με ετικέτες το δεξί άκρο κάθε στοιχείου. Ορίζω την ακολουθία συναρτήσεων $\displaystyle f_n (x) \equiv \mathrm{e}^{- x^2/n} n \sin \left( \frac{x^2}{n} \right)$...
από dement
Δευ Μαρ 19, 2018 1:14 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Λογικά φράγματα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 515

Re: Λογικά φράγματα

Μπορούμε επίσης να εκμεταλλευτούμε την κυρτότητα της 2^x για ένα καλύτερο κάτω φράγμα:

\displaystyle \int_0^\pi 2^{\sin x} \mathrm{d}x \geqslant \pi \cdot 2^{\frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x \mathrm{d}x} = \pi \cdot 2^{2/ \pi} = 4.884...
από dement
Κυρ Μαρ 18, 2018 11:20 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Λογικά φράγματα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 515

Re: Λογικά φράγματα

Αντικαθιστώντας το 2^{\sin x} με \min (2^x, 2, 2^{\pi - x}) παίρνουμε ως άνω φράγμα το \displaystyle \frac{2}{\ln 2} + 2\pi - 4 = 5.168.... Λογικό...;
από dement
Σάβ Μαρ 17, 2018 12:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Ασυνεχής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 526

Re: Ασυνεχής

Αλλιώς, το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του \mathbb{Q} \cup f(\mathbb{Q}), το πολύ αριθμήσιμο. Έτσι, η εικόνα του διαστήματος [0,1] δεν είναι διάστημα αφού η f δεν είναι σταθερή.
από dement
Τετ Μαρ 14, 2018 3:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με coth
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 489

Re: Σειρά με coth

Ο παλιός και δοκιμασμένος τρόπος... complex.png Παίρνω $\alpha \neq 0$ (βλέποντας και την τελική απάντηση). Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση $f$ με $\displaystyle f(z) = \frac{z \cot(i \pi z) \cot(\pi z)}{z^4 - \alpha^4}$. Αυτή έχει: 1. Aπλούς πόλους στα σημεία $z = n, n \mathrm{i} (n \in \mathbb{Z^*}...
από dement
Δευ Μαρ 12, 2018 7:15 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2018/4
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 820

Re: SEEMOUS 2018/4

Το (β) με κάπως ελαφρότερα εργαλεία. Για κάθε $x$, η ακολουθία $\displaystyle f_n (t) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(0) \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο $[0,x]$ από κριτήριο Weierstrass (οι όροι φράσσονται από την $\displaystyle |f^{(k)} (0)| \frac{x^k}{k!}$ με άθροισμα που συγκλίνει...
από dement
Πέμ Μαρ 08, 2018 5:56 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2018/3
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 505

Re: SEEMOUS 2018/3

Αφού $A^{2018} = B^{2018} = (AB)^{2018} = I$, οι $A, B, AB$ είναι διαγωνιοποιήσιμοι. Επίσης, οι ιδιοτιμές του $AB$ είναι όλες $2018$-οστές ρίζες της μονάδας και, αφού το άθροισμά τους είναι $2018$, πρέπει να είναι όλες $1$. Λόγω του διαγωνιοποιήσιμου, έχουμε $AB = I \implies B = A^{-1}$. Έτσι, για κ...
από dement
Πέμ Μαρ 08, 2018 11:42 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 809

Re: Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

Καλημέρα Γρηγόρη.

Χάθηκε ένα 17 ή 27 κάτω από τη ρίζα; Το 7 έπρεπε να υπάρχει; ;)
από dement
Πέμ Μαρ 08, 2018 10:02 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Για ποια λ συγκλίνει η ακολουθία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 340

Re: Για ποια λ συγκλινει η ακολουθια

Καλημέρα και καλώς ήρθες. 1. Διάβασε τους κανονισμούς του φόρουμ. Οι μαθηματικοί τύποι γράφονται ΠΑΝΤΑ με latex. Όπως το έγραψες δεν φαίνεται καν αν το $a(n)$ είναι στον αριθμητή ή στον παρονομαστή. 2. Βάζε τόνους στις λέξεις. Ελληνικά γράφουμε. 3. Όπως είναι γραμμένη η άσκηση δεν είναι ξεκάθαρη, γι...
από dement
Δευ Μαρ 05, 2018 6:37 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ας ανακαλύψουμε τον ... π
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 545

Re: Ας ανακαλύψουμε τον ... π

Έχουμε τη σειρά Taylor τής δίγαμμα που είναι $\displaystyle \psi(z+1) = - \gamma - \sum_{k=1}^\infty \zeta(k+1) (-z)^k$ και έτσι $\displaystyle \psi(1/4) = - \gamma - \sum_{k=1}^\infty \zeta(k+1) \left( \frac{3}{4} \right)^k$ και $\displaystyle \psi(3/4) = - \gamma - \sum_{k=1}^\infty \zeta(k+1) \le...
από dement
Κυρ Μαρ 04, 2018 10:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά με Lucas
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 566

Re: Σειρά με Lucas

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \frac{L_{n+1}^2}{1 + L_n L_{n+1}^2 L_{n+2}} = \frac{L_{n+2}L_{n+1} - L_{n+1}L_n}{1 + (L_n L_{n+1})(L_{n+1} L_{n+2})}$ Έτσι $\displaystyle \tan^{-1} \left( \frac{L_{n+1}^2}{1 + L_n L_{n+1}^2 L_{n+2}} \right) = \tan^{-1} (L_{n+2}L_{n+1}) - \tan^{-1} (L_{n+1}L_n)$. Τηλεσκ...
από dement
Παρ Μαρ 02, 2018 3:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τριπλάσιο εμβαδόν
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 375

Τριπλάσιο εμβαδόν

Σε τρίγωνο \triangle{ABC} φέρνουμε ευθείες από τα A,B,C αντίστοιχα παράλληλες προς τις διαμέσους που διέρχονται από τα B,C,A. Αποδείξτε ότι αυτές σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδόν τριπλάσιο του αρχικού.
από dement
Τετ Φεβ 28, 2018 12:28 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Παραγωγίσιμη, χωρίς ὁλοκληρώσιμη παράγωγο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 672

Re: Παραγωγίσιμη, χωρίς ὁλοκληρώσιμη παράγωγο

Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα μέσης τιμής Cauchy. Αν υπάρχει $x > a$ με $\displaystyle \frac{f(x) - f(a)}{\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}} > M$, τότε υπάρχει $\xi \in (a, x)$ με $\displaystyle \frac{f'(\xi)}{(\xi - a)^n} = \frac{f(x) - f(a)}{\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}} > M$ (άτοπο). Ομοίω...
από dement
Δευ Φεβ 26, 2018 12:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 776

Re: Ανισότητα με λογάριθμο και εκθετικό

Ας το αφήσουμε για τους μαθητές μια και δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο.
από dement
Πέμ Φεβ 22, 2018 10:54 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο πάλι...
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 674

Re: Όριο πάλι...

Παίρνουμε τον λογάριθμο της παράστασης, ο οποίος είναι $\displaystyle - \frac{1}{p+1} \ln n + \frac{1}{n^{p+1}} \sum_{k=1}^n k^p \ln k = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^p \ln \left( \frac{k}{n} \right) + \ln n \cdot \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^p - \...
από dement
Τρί Φεβ 20, 2018 8:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο ακολουθίας
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 731

Re: Όριο ακολουθίας

Από το ΘΜΤ στη συνάρτηση $x^y$ (με μεταβλητή το $y$) έχουμε $\displaystyle \frac{n^2 \sqrt[n+1]{x} \ln x}{n(n+1)} \leqslant n^2 \left( \sqrt[n]{x} - \sqrt[n+1]{x} \right) \leqslant \frac{n^2 \sqrt[n]{x} \ln x}{n(n+1)}$ από όπου προκύπτει $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2 \left( \sqrt[n]{x} - \s...
από dement
Δευ Φεβ 19, 2018 6:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εγκεντρικές αποστάσεις
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 498

Re: Εγκεντρικές αποστάσεις

Για να μην μένει... inc.png Από τα δεδομένα έχουμε $\displaystyle \angle{BPC} = \frac{\angle{B} + \angle{C}}{2} = \angle{BIC}$ και αφού το $P$ ανήκει στο ίδιο ημιεπίπεδο του $BC$ με το $I$, ανήκει στον κύκλο $(BIC)$ (με κέντρο $D$). Επίσης, αφού $\displaystyle \angle{AIB} = \frac{\pi + \angle{C}}{2}...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση